2.3.2 空间向量运算的坐标表示-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

2.3.2　空间向量运算的坐标表示 [学习目标]　1.掌握空间向量的线性运算和数量积运算及其坐标表示.2.能利用空间向量的坐标运算解决一些简单的几何问题． 导语 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来．那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？ 一、空间向量的坐标运算 问题1　平面向量学习了哪些运算？ 提示　加法、减法、数乘、数量积． 知识梳理 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2) 数乘 λa＝(λx1，λy1，λz1)，λ∈R 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致． (2)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量． 例1　(1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________. 答案　－4 解析　 易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)， 则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4. (2)在△ABC中，A(2，－5,3)，＝(4,1,2)，＝(3，－2,5)． ①求顶点B，C的坐标； ②求·； ③若点P在AC上，且＝，求点P的坐标． 解　①设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以＝(x－2，y＋5，z－3)，＝(x1－x，y1－y，z1－z)． 因为＝(4,1,2)， 所以解得 所以顶点B的坐标为(6，－4,5)． 因为＝(3，－2,5)， 所以解得 所以顶点C的坐标为(9，－6,10)． ②因为＝(－7,1，－7)，＝(3，－2,5)， 所以·＝－21－2－35＝－58. ③设P(x2，y2，z2)， 则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)， ＝(9－x2，－6－y2,10－z2)， 由＝，得 (x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2，10－z2)， 所以解得 故点P的坐标为. 反思感悟　空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 跟踪训练1　已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则a＝__________，b＝__________，a·b＝________. 答案　(1，，)　 (1,0，)　4 解析　∵a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)， ∴a＝(1，，)，b＝(1,0，)， ∴a·b＝1＋0＋3＝4. 二、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 知识梳理 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b b＝λa(a≠0，λ∈R) x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1(λ∈R) a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 注意点： (1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明b＝λa(a≠0，λ∈R)． (2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，则＝＝成立的条件是x2y2z2≠0. 例2　如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.求证： (1)AF∥平面BDE； (2)CF⊥平面BDE. 证明　(1)设AC与BD交于点G，连接EG，如图所示． 因为EF∥AC，且EF＝1，AG＝AC＝1， 即EF＝AG， 所以四边形AGEF为平行四边形， 所以AF∥EG. 因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE， 所以AF∥平面BDE. (2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，两平面的交线为AC，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD. 如图，以C为原点，CD，CB，CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则C(0,0,0)，B(0，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，F. 所以＝，＝(0，－，1)，＝(－，0,1)． 所以·＝0－1＋1＝0，·＝－1＋0＋1＝0， 所以⊥，⊥， 即CF⊥BE，CF⊥DE. 又BE∩DE＝E， 且BE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE， 所以CF⊥平面BDE. 反思感悟　(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解． (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． 跟踪训练2　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设＝a，＝b. (1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？ (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 解　(1)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)， 所以2a－b＝(3,2，－2)， 又c＝， 所以2a－b＝－2c， 所以(2a－b)∥c. (2)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)， 所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． 又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)， 所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或k＝－. 三、夹角和距离的计算 问题2　类比平面向量的模长公式和平面向量的夹角公式，对于空间向量又是怎样计算向量的模和夹角的呢？ 提示　计算公式和平面向量中求模和向量夹角的计算公式基本一致． 知识梳理 1．空间向量的模长公式的坐标表示 (1)若a＝(x1，x2，x3)，则|a|＝. (2)设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间任意两点，则P1P2＝||＝. 2．空间向量夹角公式的坐标表示 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(a≠0，b≠0)， 则cos〈a，b〉＝ ＝. 注意点： (1)求空间线段的长度即求空间对应向量的模，因此两点间距离的计算转化为向量模的计算． (2)求空间两直线的夹角转化为两向量的夹角．设直线AB与CD所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|. 例3　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为AA1的中点． (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值． 解　如图，以C为坐标原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系． (1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)， ∴||＝＝， ∴线段BN的长为. (2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， ∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)， ∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又||＝，||＝， ∴cos〈，〉＝＝. 故A1B与B1C所成角的余弦值为. 反思感悟　利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题． 跟踪训练3　如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点． (1)求证：EF⊥B1C； (2)求FH的长； (3)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值． (1)证明　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．则E，F，C(0,1,0)，B1(1,1,1)， ＝，＝(－1,0，－1)． ∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0， ∴⊥，即EF⊥B1C. (2)解　∵F，H， ∴＝， ∴||＝＝. ∴FH的长为. (3)解　∵C1(0,1,1)，G， ∴＝. ∴||＝. 由(1)得＝， 则·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝， ∴|cos 〈，〉|＝＝. 即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. 1．知识清单： (1)空间向量的坐标运算． (2)空间向量坐标表示的应用． 2．方法归纳：类比、转化． 3．常见误区： (1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等． (2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况． 1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若＝，则点B的坐标应为(　　) A．(－1,3，－3) B．(9,1,1) C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1) 答案　B 解析　因为＝＝－， 所以＝＋＝(9,1,1)． 2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案　C 解析　λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝＝，且λ>0，解得λ＝3. 3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　) A．1 B. C. D. 答案　D 解析　依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0， 所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0， 而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1， 所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝. 4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________． 答案　 解析　∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)， ∴||＝3，||＝， ·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos〈，〉＝＝， 又∵〈，〉∈[0，π]， ∴〈，〉＝. 1．若向量a＝，b＝，则2a－b等于(　　) A．(－4,1,0) B．(－4,1，－4) C．(4，－1,0) D．(4，－1，－4) 答案　C 解析　a＝，b＝， 则2a－b＝2－＝. 2．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则点C的坐标是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设点C的坐标为(x，y，z)， 则＝(x，y，z)， 又＝(－3，－2，－4)，＝， 所以x＝－，y＝－，z＝－， 所以C. 3．设x，y∈R，向量a＝，b＝，c＝，且a⊥c，b∥c，则等于(　　) A．2 B. C．3 D．4 答案　C 解析　因为b∥c，所以存在λ∈R，使得b＝λc， 所以，解得 所以b＝(1，－2,1)， 因为a⊥c，所以2x－4＋2＝0，解得x＝1， 所以a＝(1,1,1)， 所以a＋b＝(2，－1,2)， 所以|a＋b|＝＝3. 4．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　因为＝(3,4，－8)，＝(2，－3,1)，＝(5,1，－7)， ·＝10－3－7＝0，所以BC⊥AC， 而||＝，||＝5， 所以△ABC是直角三角形． 5．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　C 解析　由题意a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a， 故(a＋b)·c＝－a·c＝7， 得a·c＝－7， 而|a|＝＝， 所以cos〈a，c〉＝＝－， 所以〈a，c〉＝120°. 6．(多选)已知空间向量m＝(－1,2,5)，n＝(2，－4，x)，则下列选项中正确的是(　　) A．当m⊥n时，x＝2 B．当m∥n时，x＝－10 C．当|m＋n|＝时，x＝－4 D．当x＝时，cos〈m，n〉＝ 答案　ABD 解析　因为m⊥n，m＝(－1,2,5)，n＝(2，－4，x)，所以m·n＝(－1)×2＋2×(－4)＋5x＝－10＋5x＝0，解得x＝2，故A正确；因为m∥n，所以存在λ∈R，使得m＝λn，则(－1,2,5)＝λ(2，－4，x)＝(2λ，－4λ，λx)，即解得故B正确；因为m＋n＝(1，－2,5＋x)， 所以由|m＋n|＝＝＝，解得x＝－5，故C错误；当x＝时，则m＝(－1,2,5)，n＝(2，－4，)，所以cos〈m，n〉＝＝＝，故D正确． 7．已知向量a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，若a与b的夹角为120°，则实数k的值为________． 答案　－ 解析　由题意知，cos 120°＝＝＝－，即＝，k2＝39，显然k<0，所以k＝－. 8．已知向量a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________． 答案　∪ 解析　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－， 因为a与b的夹角为钝角， 所以a·b<0， 即3t－<0， 所以t<. 当a与b的夹角为180°时，a·b<0， 此时存在λ<0，使a＝λb， 即(5,3,1)＝λ， 所以解得 综上可得，t<且t≠－. 故t的取值范围是∪. 9．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求||取最小值时，A，B两点的坐标，并求此时的||. 解　由题意得||＝ ＝＝， 故当x＝时，||有最小值为. 此时A，B. 10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．求AC与PB所成角的余弦值． 解　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(，0,0)，C(，1,0)，D(0,1,0)，P(0,0，2)，E， 则＝(，1,0)，＝(，0，－2)． 设AC与PB的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝. 所以AC与PB所成角的余弦值为. 11．已知点A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点间的距离的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为点A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)， 所以|AB|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋(t－t)2＝5t2－2t＋2＝52＋， 所以当t＝时，|AB|2取得最小值为， 所以A，B两点间的距离的最小值为. 12．(多选)从点P(1,2,3)出发，沿着向量v＝(－4，－1,8)的方向取点Q，使PQ＝18，则点Q的坐标为(　　) A．(－1，－2,3) B．(9,4，－13) C．(－7,0,19) D．(1，－2，－3) 答案　BC 解析　设Q(x0，y0，z0)，则＝λv， 即(x0－1，y0－2，z0－3)＝λ(－4，－1,8)． 由PQ＝18，得＝18， 解得λ＝±2， 所以(x0－1，y0－2，z0－3)＝±2(－4，－1,8)， 所以或 即点Q的坐标为(－7,0,19)或(9,4，－13)． 13．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A，B，C.则△ABC的面积为________，△ABC中AB边上的高为________． 答案　3　3 解析　由已知得＝，＝， ∴＝＝， ＝＝2， ·＝1×2＋×0＋2×＝－14， cos〈，〉＝＝＝， sin〈，〉＝＝. ∴S△ABC＝sin〈，〉＝××2×＝3， 设AB边上的高为CD， 则CD＝＝3. 14.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是________，若D1E⊥EC，则AE＝________. 答案　　1 解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，C(0,2,0)， 设E(1，m,0)，0≤m≤2， 则＝(1，m，－1)，＝(－1,0，－1)， ∴·＝－1＋0＋1＝0，即D1E⊥A1D， ∴直线D1E与A1D所成角的大小是. ∵＝(－1,2－m,0)， D1E⊥EC， ∴·＝－1＋m(2－m)＋0＝0， 解得m＝1，∴AE＝1. 15．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是底面ABCD(含边界)上一动点，且满足A1P⊥AC1，则线段A1P长度的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图，以A为坐标原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，A1(0,0,1)，C1(1,1,1)， 因为P是底面ABCD(含边界)上一动点， 设P(x，y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1)， 则＝(x，y，－1)，＝(1,1,1)， 因为A1P⊥AC1， 所以·＝x＋y－1＝0，所以y＝1－x， 所以||2＝x2＋y2＋1＝x2＋(1－x)2＋1＝2x2－2x＋2＝22＋， 所以当x＝时，||2取得最小值， 此时线段A1P的长度为， 当x＝0或x＝1时，||2取得最大值2， 此时线段A1P的长度为， 所以线段A1P长度的取值范围是. 16．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？ 解　如图，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz. 由题意知A(0,0,0)，B1(，1,2)，C(0,2,0)，B(，1,0)，M. 又点N在棱CC1上，可设N(0,2，m)(0≤m≤2)， 则＝(，1,2)，＝， 所以||＝2，||＝， ·＝2m－1. 若异面直线AB1和MN所成的角等于45°， 则cos 45°＝|cos 〈，〉|＝＝＝， 解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾． 所以在棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°. 学科网（北京）股份有限公司 $$