2.3.1.3 空间向量的直角坐标表示-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

第3课时　空间向量的直角坐标表示 [学习目标]　1.理解标准正交基的概念.2.掌握空间向量的标准正交基下的坐标的求法.3.掌握向量在坐标轴正方向上的投影的概念及有关计算． 导语 前面我们已经学习了平面向量在平面直角坐标系中的坐标表示及求法等有关知识，那么空间向量又是怎样表示的呢？这就是本节课要解决的问题． 一、空间点的坐标 问题1　点P的坐标与向量的坐标有什么关系？ 提示　在空间中任意取一点O为原点，分别以标准正交基{i，j，k}中三个基向量的方向为三条坐标轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则在标准正交基{i，j，k}下的坐标(x，y，z)就是点P在这个直角坐标系中的坐标． 知识梳理 1．标准正交基 空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，把这组基称为标准正交基． 2．空间点与相应向量坐标之间的关系 在空间中任意取一点O为原点，分别以标准正交基{i，j，k}中三个基向量的方向为三条坐标轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系．将任意空间向量p＝(x，y，z)＝xi＋yj＋zk用从原点O出发的有向线段表示，则有向线段的终点P对应于这个向量p.向量p＝在标准正交基{i，j，k}下的坐标(x，y，z)就是点P在这个直角坐标系中的坐标． 例1　如图所示的空间直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，AB＝2，PA＝4，则PD的中点M的坐标为________________． 答案　 解析　方法一　由题意知PO＝ ＝＝， 点M在x轴、y轴、z轴上的投影分别为M1，O，M2，它们在坐标轴上的坐标分别为－，0，， 所以点M的坐标为. 方法二　由题意得OP＝，OD＝， 设i，j，k分别为x，y，z轴正方向上的单位向量， 所以＝(＋) ＝＋ ＝×k＋×(－i) ＝－i＋k， 所以点M的坐标为. 反思感悟　求空间一点P的坐标的方法 (1)利用点在坐标轴上的投影求解． (2)利用标准正交基表示向量，的坐标就是点P的坐标． 跟踪训练1　如图所示，在四棱锥D－OABC中，建立空间直角坐标系O－xyz，若OD＝2，OA＝4，OC＝6，M是BD的中点，求点M的坐标． 解　方法一　点M在x轴、y轴、z轴上的投影分别为M1，M2，M3，它们在坐标轴上的坐标分别为2,3,1，所以点M的坐标是(2,3,1)． 方法二　设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，则 ＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＋(－) ＝＋＋[－(＋)] ＝＋＋ ＝×4i＋×6j＋×2k ＝2i＋3j＋k， 所以点M的坐标为(2,3,1)． 二、空间向量的坐标 问题2　如果P1，P2为空间直角坐标系中任意两点，那么向量的坐标如何表示呢？ 提示　设P1，P2的坐标分别为(x1，y1，z1)和(x2，y2，z2)， 则＝x1i＋y1j＋z1k， ＝x2i＋y2j＋z2k. 因为＝－ ＝(x2i＋y2j＋z2k)－(x1i＋y1j＋z1k) ＝(x2－x1)i＋(y2－y1)j＋(z2－z1)k， 因此，的坐标为(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． 知识梳理 1．空间每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和：p＝xi＋yj＋zk，系数x，y，z按顺序排成的实数组(x，y，z)，称为向量p的坐标，记为p＝(x，y，z)． 2．一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标．即若P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则的坐标为(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． 例2　已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标． 解　建立如图所示的空间直角坐标系，设＝i， ＝j，＝k， ＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0)． ＝＋ ＝0i＋4j＋4k ＝(0,4,4)． ＝＋ ＝＋＋ ＝－4i＋4j＋4k ＝(－4,4,4)． 反思感悟　用坐标表示空间向量的步骤 跟踪训练2　如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，并求向量的坐标． 解　因为PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， 所以，，是两两垂直的单位向量． 以点A为原点，以，，为标准正交基方向，均以1为单位长度，建立空间直角坐标系A－xyz. 因为＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋(＋) ＝－AB＋＋(＋＋) ＝＋ ＝j＋k， 所以＝. 三、空间向量的投影 问题3　如何求向量p＝(x，y，z)在三条坐标轴正方向上的投影呢？ 提示　在以{i，j，k}为标准正交基的空间直角坐标系中，p＝xi＋yj＋zk在三条坐标轴正方向上的投影向量分别为xi，yj，zk，因此p在三条坐标轴正方向上的投影分别是x，y，z. 知识梳理 1．向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标． 2．向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标分别等于p与各个基向量的数量积，即 注意点： 单位向量p的坐标分别等于p与各个基向量夹角的余弦：p＝(cos α，cos β，cos γ)． 例3　在标准正交基{i，j，k}下，已知向量m＝2i＋5j＋k，n＝2i－j－6k，p＝2i＋3j，求向量a＝－m＋2n－2p在i上的投影． 解　因为a＝－m＋2n－2p ＝－(2i＋5j＋k)＋2(2i－j－6k)－2(2i＋3j) ＝－2i－13j－13k， 所以向量a在i上的投影等于－2. 反思感悟　求向量在坐标轴正方向上的投影的方法 (1)通过运算表示出待求向量，i，j，k的系数即为在i，j，k上的投影． (2)利用向量p与三条坐标轴正方向的夹角α，β，γ来求投影，即x＝|p|cos α，y＝|p|cos β，z＝|p|cos γ. 跟踪训练3　在标准正交基{i，j，k}下，已知向量a＝(－1,1,2)，b＝(2,3,1)，求向量m＝a＋2b在i和k上的投影． 解　因为a＝(－1,1,2)＝－i＋j＋2k， b＝(2,3,1)＝2i＋3j＋k， 所以m＝a＋2b ＝(－i＋j＋2k)＋2(2i＋3j＋k) ＝3i＋7j＋4k， 故向量m在i上的投影为3，在k上的投影为4. 1．知识清单： (1)标准正交基概念的理解． (2)空间点和空间向量的坐标． (3)空间向量在坐标轴正方向上的投影． 2．方法归纳：数形结合、类比联想． 3．常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同． 1．已知i，j，k分别是空间直角坐标系O－xyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，且＝i＋j－2k，则点B的坐标是(　　) A．(1,1，－2) B．(i，j，－2k) C．(－1,1,2) D．不确定 答案　A 2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在标准正交基{i，j，k}下的坐标是(　　) A．(3,2,5) B．(2,3,5) C．(2,5,3) D．(3,5,2) 答案　A 解析　＝＋＋ ＝＋＋ ＝3i＋2j＋5k， 所以向量在标准正交基{i，j，k}下的坐标是(3,2,5)． 3．在标准正交基{i，j，k}下，已知向量a＝i＋2j＋3k，b＝2i＋3k，则向量m＝a＋b在i上的投影为(　　) A．3 B．2 C．6 D．4 答案　A 解析　因为m＝a＋b＝i＋2j＋3k＋2i＋3k＝3i＋2j＋6k， 所以向量m在i上的投影为3. 4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4，0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则向量 的坐标为________． 答案　 (－4,2,3) 解析　＝＋＝＋＋＝＋＋＝－4i＋2j＋3k＝(－4,2,3)． 1．已知e1，e2，e3是空间直角坐标系O－xyz中与x，y，z轴的正方向相同的单位向量，若＝－e1＋e2－e3，则点B的坐标为(　　) A．(－1,1，－1) B．(－e1，e2，－e3) C．(1，－1，－1) D．不确定 答案　D 解析　向量的坐标与点B的坐标不同，由于点A的坐标未知，故无法确定点B的坐标． 2．在空间直角坐标系O－xyz中，下列说法正确的是(　　) A．向量的坐标与点B的坐标相同 B．向量的坐标与点A的坐标相同 C．向量的坐标与向量的坐标相同 D．向量的坐标与向量－的坐标相同 答案　D 解析　因为点A不一定为坐标原点，所以A，B，C都不正确； 由于＝－，所以D正确． 3.如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为(　　) A．(3,5,4) B. C. D. 答案　C 解析　方法一　由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的投影分别为P1，P2，P3， 它们在坐标轴上的坐标分别是，5,4， 故点P的坐标是. 方法二　在标准正交基{i，j，k}下， ＝＋＝＋＋＝＋＋＝i＋5j＋4k， 所以点P的坐标为. 4．在标准正交基{i，j，k}下，已知向量a＝(1,1,1)，b＝(2,0,1)，则向量m＝a＋2b在j上的投影为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　C 解析　因为a＝i＋j＋k，b＝2i＋k， 所以m＝a＋2b＝i＋j＋k＋2(2i＋k)＝5i＋j＋3k＝(5,1,3)． 故向量m在j上的投影为1. 5．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，向量a在基{，，}下的坐标为(2,1，－3)，则向量a在基{，，}下的坐标为(　　) A．(2,1，－3) B．(－1,2，－3) C．(1，－8,9) D．(－1,8，－9) 答案　B 解析　∵a＝2＋－3 ＝2－－3 ＝－＋2－3， ∴向量a在基{，，}下的坐标为(－1,2，－3)． 6.已知在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA＝AB＝AC＝1，如图建立空间直角坐标系A－xyz，设G为△PBC的重心，则的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　取BC的中点M，连接PM.记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k. 则＝i，＝j，＝k. 所以＝＋ ＝＋＋＝－＋＋(＋) ＝－＋＋[－＋(＋)] ＝－＋＋ ＝－i＋j＋k. 所以的坐标为. 7．设{i，j，k}是标准正交基，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a＋b的坐标是________． 答案　(3，－2,2) 解析　a＋b＝2i－4j＋5k＋i＋2j－3k＝3i－2j＋2k. 所以向量a＋b的坐标是(3，－2,2)． 8.在三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，则向量的坐标为________． 答案　 解析　记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则＝i，＝j，＝k，所以＝＋＝－(＋)＋(＋)＝－＝i－k. 所以向量的坐标为. 9．已知在标准正交基{i，j，k}下，向量a＝4i＋3j－8k，b＝2i－3j＋7k，c＝－i＋2j－4k，求向量m＝a＋2b＋c在i，k上的投影． 解　因为m＝a＋2b＋c＝4i＋3j－8k＋2(2i－3j＋7k)＋(－i＋2j－4k)＝7i－j＋2k， 所以向量m在i上的投影为7，在k上的投影为2. 10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，DC＝5，DD1＝4，建立如图所示的空间直角坐标系，求点B1与向量的坐标． 解　记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k， 则＝3i，＝5j，＝4k， 所以＝＋＋ ＝＋＋ ＝3i＋5j＋4k， 所以点B1的坐标为(3,5,4)． ＝＋＋ ＝－＋ ＝5j－3i＋4k ＝－3i＋5j＋4k， 所以的坐标为(－3,5,4)． 11.如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过点D的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4,3,2)，则点C1的坐标是(　　) A．(0,3,2) B．(0,4,2) C．(4,0,2) D．(2,3,4) 答案　A 解析　记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k， 因为的坐标为(4,3,2)， ∴＝4i＋3j＋2k＝＋＋， ∴＝4i， ∴＝＋＝－ ＝4i＋3j＋2k－4i＝3j＋2k， ∴点C1的坐标是(0,3,2)． 12.已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，且BP＝BD′，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则＝i，＝j，＝k. 因为＝＋＝＋ ＝＋(＋) ＝＋(－＋＋) ＝＋＋ ＝i＋j＋k， 所以点P的坐标为. 13．设{i，j，k}是标准正交基，已知向量p在基{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基{i，j，k}下的坐标是(　　) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,12,10) D．(4,3,2) 答案　A 解析　因为向量p在基{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)， 所以p＝8a＋6b＋4c，又a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i， 所以p＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i) ＝12i＋14j＋10k. 所以向量p在基{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)． 14．已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，设点A，B在yOz平面上的投影分别为A1，B1，则向量的坐标为________． 答案　(0，－1,10) 解析　点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的投影分别为A1(0,5，－7)，B1(0,4,3)， 所以＝5j－7k，＝4j＋3k， 则＝－＝4j＋3k－(5j－7k)＝－j＋10k， 所以向量的坐标为(0，－1,10)． 15．定义：设{a1，a2，a3}是空间的一组基，若向量p＝xa1＋ya2＋za3，则称实数组(x，y，z)为向量p在基{a1，a2，a3}下的坐标．已知{a，b，c}是空间向量的标准正交基，{a＋b，a－b,2c}是空间向量的另一组基，若向量p在基{a＋b，a－b,2c}下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基{a，b，c}下的坐标是________，向量p的模是________． 答案　(3，－1,6)　 解析　因为向量p在基{a＋b，a－b,2c}下的坐标为(1,2,3)， 所以p＝(a＋b)＋2(a－b)＋3×2c＝3a－b＋6c， 所以向量p在基{a，b，c}下的坐标是(3，－1,6)， 又因为{a，b，c}是空间向量的标准正交基， 所以|a|＝|b|＝|c|＝1，且a·b＝b·c＝c·a＝0， 所以|p|＝＝ ＝ ＝＝. 16.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别在线段A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC，以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图所示)． (1)试求向量的坐标； (2)求证：EF∥BD1. (1)解　∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， 根据题意知{，，}为标准正交基，设＝i，＝j，＝k， ∴向量可用标准正交基{i，j，k}表示． ∵EF＝＋＋，与共线，与共线， ∴设＝λ，＝μ， 则＝λ＋＋μ＝λ(＋)＋＋μ(－)＝(λ＋μ)＋(1－μ)＋λ＝(λ＋μ)i＋(1－μ)j＋λk， ∵EF⊥A1D，EF⊥AC， 即⊥，⊥， ∴·＝0，·＝0， 又＝－i－k，＝－i＋j， ∴ 整理得 即解得 ∴＝i＋j－k， ∴的坐标是. (2)证明　∵＝＋＝－i－j＋k， 又由(1)知＝i＋j－k， ∴＝－， ∴与平行， 又EF与BD1无公共点， ∴EF∥BD1. 学科网（北京）股份有限公司 $$