第9章 统计 章末复习课 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

章末复习课 第9章　统　计 知识网络 内容索引 一、变量的相关性 二、线性回归方程 三、独立性检验 变量的相关性 一 1.变量的相关关系与相关系数是学习线性回归模型的前提和基础，前者可借助散点图从直观上分析变量间的相关性，后者从数量上准确刻画了两个变量的相关程度. 2.在学习该部分知识时，体会直观想象和数学运算的素养. 例1　(1)某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩对应如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩y 72 77 80 84 88 90 93 95 绘出散点图如右. 6 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩y 72 77 80 84 88 90 93 95 根据以上信息，判断下列结论： ①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系； ③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高. 其中正确的个数为 A.0 　　　　B.3 　　　　C.2 　　　　D.1 √ 7 对于①，根据此散点图知，各点都分布在一条直线附近，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，①正确； 对于②，根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，不是一次函数关系，②错误； 对于③，甲同学数学考了80分，他的物理成绩 可能比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要 高，所以③错误. 综上，正确的命题是①，只有1个. 8 (2)在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别为(1,2)，(2,0)，(4，－4)， (－1,6)，则y与x的相关系数为_____. －1 方法二　观察四个点，发现其在一条单调递减的直线y＝－2x＋4上， 故y与x的相关系数为－1. 9 判断变量相关性的两种方法 (1)散点图法：直观形象. (2)公式法：可用公式精确计算，需注意特殊情形的相关系数.如点在一条直线上，|r|＝1，且当r＝1时，正相关；r＝－1时，负相关. 反思感悟 10 跟踪训练1　(1)(多选)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得线性回归方程，下列选项中，正确的是 √ √ 11 A.0<r1<r2<1 B.0<r2<r1<1 C.－1<r1<r2<0 D.－1<r2<r1<0 √ 12 由散点图得两个变量呈负相关关系，所以r1<0，r2<0，因为剔除点(10,21)后，剩下点的数据的线性相关性更强，|r|更接近1，所以－1< r2<r1<0.故选D. 13 二 线性回归方程 1.主要考查两个变量线性相关的判定，以及利用最小二乘法求线性回归方程. 2.掌握求线性回归方程的方法和步骤，提升数学运算、数据分析素养. 例2　如图所示的是某高校2016至2022年高考报名学生人数(单位：千人)的折线图. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明； 16 17 y与t之间存在较强的正相关关系. 18 (2)建立y关于t的线性回归方程，并预测2023年该高校高考报名人数. 19 预测2023年该高校高考报名人数约为57 000人. 20 解决回归分析问题的一般步骤 (1)画散点图.根据已知数据画出散点图. (2)判断变量的相关性并求线性回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出线性回归方程. (3)实际应用.依据求得的线性回归方程解决实际问题. 反思感悟 21 跟踪训练2　为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某知名电商平台决定为脱贫乡村的特色水果开设直播带货专场.该特色水果的热卖黄金时段为7月10日至9月10日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的7月10日至7月14日时段中的相关数据，这5天的第x天到该电商平台专营店购物的人数y(单位：万人)的数据如下表： 日期 7月10日 7月11日 7月12日 7月13日 7月14日 第x天 1 2 3 4 5 人数y(单位：万人) 75 84 93 98 100 22 日期 7月10日 7月11日 7月12日 7月13日 7月14日 第x天 1 2 3 4 5 人数y(单位：万人) 75 84 93 98 100 (1)依据表中的统计数据，请判断该电商平台直播的第x天与到该电商平台专营店购物人数y(单位：万人)是否具有较高的线性相关程度？(参考：若0.3<|r|<0.75，则线性相关程度一般，若|r|>0.75，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01) 23 24 所以该电商平台直播的第x天与购物人数y具有较高的线性相关程度. 所以可用线性回归模型拟合人数y与第x天之间的关系. 25 (2)求购物人数y与直播的第x天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测从7月10日起的第38天到该专营店购物的人数(单位：万人). 日期 7月10日 7月11日 7月12日 7月13日 7月14日 第x天 1 2 3 4 5 人数y(单位：万人) 75 84 93 98 100 26 日期 7月10日 7月11日 7月12日 7月13日 7月14日 第x天 1 2 3 4 5 人数y(单位：万人) 75 84 93 98 100 27 三 独立性检验 1.主要考查根据样本制作2×2列联表，由2×2列联表计算χ2，查表分析并判断相关性结论的可信程度. 2.通过计算χ2的值，进而分析相关性结论的可信程度，提升数学运算、数据分析素养. 例3　为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动.为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩(满分为100分)分为5组：[50,60)， [60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如 图所示的频率分布直方图： (1)估计这100名学生的竞赛成绩的中位数(结 果保留整数)； 30 因为(0.010＋0.030)×10＝0.4<0.5,0.4＋0.045×10＝0.85>0.5， 所以竞赛成绩的中位数在[70,80)内. 设竞赛成绩的中位数为m，则(m－70)× 0.045＋0.4＝0.5，解得m≈72， 所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72. 31 (2)在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于70分为“优秀”，竞赛成绩低于70分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”.(精确到0.001)   优秀 非优秀 合计 男   30   女     50 合计     100 32 P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 33 由(1)知，在抽取的100名学生中， 竞赛成绩为“优秀”的有100×(0.45＋0.10＋0.05)＝100×0.6＝60(人)， 由此可得完整的2×2列联表：   优秀 非优秀 合计 男 20 30 50 女 40 10 50 合计 60 40 100 提出假设H0：竞赛成绩是否优秀与性别无关. 因为当H0成立时，P(χ2≥6.635)≈0.01，所以有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”. 34 独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式χ2＝ 计算χ2的值； (3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作出统计判断. 反思感悟 35 跟踪训练3　甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：   一级品 二级品 合计 甲 150 50 200 乙 120 80 200 合计 270 130 400 (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ 36 根据2×2列联表知：   一级品 二级品 合计 甲 150 50 200 乙 120 80 200 合计 270 130 400 37 (2)依据独立性检验，能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？   一级品 二级品 合计 甲 150 50 200 乙 120 80 200 合计 270 130 400 P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 38 提出假设H0：甲机床的产品质量与乙机床的产品质量没有差异，由2×2列联表， 因为当H0成立时，P(χ2≥6.635)≈0.01，所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.   一级品 二级品 合计 甲 150 50 200 乙 120 80 200 合计 270 130 400 39 方法一　＝1.5，＝1，＝22，＝56，iyi＝－20， 相关系数r＝＝－1. A.y与x负相关且＝2.347x－6.423 B.y与x负相关且＝－3.476x＋5.648 C.y与x正相关且＝5.437x＋8.493 D.y与x正相关且＝－4.326x－4.578 若y与x负相关，则＝x＋中<0，故A不正确，B正确； 若y与x正相关，则＝x＋中>0，故C正确，D不正确. (2)相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程为＝1x＋1，相关系数为r1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归方程为＝2x＋2，相关系数为r2.则 附注：参考数据：＝54，(ti－)(yi－)＝21，≈3.74，(yi－)2＝18. 参考公式：相关系数r＝， 线性回归方程＝＋t中的系数分别为＝，＝－. 由图中数据可得，＝4，(ti－)2＝28，又(ti－)(yi－)＝21， ∴r＝ ＝≈0.94. 当t＝8时，＝×8＋51＝57， 由题意得，＝54，＝＝＝， ＝－＝54－×4＝51， ∴y关于t的线性回归方程为＝t＋51. 参考数据：(yi－)2＝434，(xi－)(yi－)＝64，≈65.879. 附：相关系数r＝，回归系数＝， 回归截距＝－. 由表中数据可得＝3，＝90，所以(xi－)2＝10. 又(yi－)2＝434，(xi－)(yi－)＝64， 所以r＝＝≈0.97>0.75， 令x＝38，可得＝6.4×38＋70.8＝314(万人). 由表中数据可得＝＝＝6.4， 则＝－＝90－6.4×3＝70.8， 所以＝6.4x＋70.8， 参考公式及数据：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 易得χ2＝＝≈16.667>6.635， 甲机床生产的产品中一级品的频率为＝75%， 乙机床生产的产品中一级品的频率为＝60%. 附：χ2＝， 得χ2＝≈10.256>6.635. $$