第6章 习题课 空间向量应用的综合问题 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

习题课 空间向量应用的综合问题 第6章　空间向量与立体几何 通过对空间向量的学习，能熟练利用空间向量求点、线、面间的距离、空间角及解决有关探索性问题. 学习目标 一、利用空间向量求空间角 二、利用空间向量求距离 课时对点练 三、利用空间向量解决探索性问题 随堂演练 内容索引 利用空间向量求空间角 一 例1　如图，PA⊥平面ABCD，CF∥AP，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AP＝BC＝2. (1)求直线CP与平面BDP所成角的正弦值； 5 设n＝(x1，y1，z1)为平面BDP的法向量， 不妨令z1＝1，可得n＝(2,2,1). 6 7 8 设m＝(x2，y2，z2)为平面BDF的法向量，CF＝h， 9 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤 (1)建立恰当的空间直角坐标系. (2)求出相关点的坐标. (3)写出向量坐标. (4)结合公式进行论证、计算. (5)转化为几何结论. 反思感悟 10 跟踪训练1　如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，AF⊥DF，AF＝ ∠DFE＝∠CEF＝45°. (1)求异面直线BC，DF所成角的大小； 11 因为四边形ABEF为正方形，AF⊥DF， 所以AF⊥平面DCEF. 又∠DFE＝∠CEF＝45°， 所以在平面DCEF内作DO⊥EF，垂足为点O， 以O为坐标原点，OF所在的直线为x轴， OD所在的直线为z轴建立空间直角坐标系(如图所示). 12 D(0,0，a)，F(a,0,0)，B(－3a,4a,0)，C(－2a,0，a). 13 (2)求二面角D－BE－C的余弦值. 14 设平面DBE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 取x1＝1得平面DBE的一个法向量为n1＝(1,0，－3)， 设平面CBE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 15 取x2＝1得平面CBE的一个法向量为n2＝(1,0，－1)， 由图可知，二面角D－BE－C为锐二面角， 16 利用空间向量求距离 二 例2　已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离. 18 建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0,0,2)，E(4，－2，0)，F(2，－4,0)，B(4,0,0)， 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z). 19 ∴x＝－y，z＝－3y. 取y＝1，则n＝(－1,1，－3). 20 反思感悟 21 跟踪训练2　在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CC1的中点. (1)求证：AD∥平面A1EFD1； 因为ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以AD∥A1D1. 又A1D1⊂平面A1EFD1，AD⊄平面A1EFD1， 所以AD∥平面A1EFD1. 22 (2)求直线AD与平面A1EFD1间的距离. 23 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D－xyz， 设n＝(x，y，z)是平面A1EFD1的一个法向量， 24 点D到平面A1EFD1的距离 25 利用空间向量解决探索性问题 三 例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝ PA＝2. (1)取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB； 27 取BC的中点E，连接DE，交AC于点O，连接ON，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－1,0)，B(2，－1,0)，C(0,1,0)，D(－1,0,0)，P(0，－1,2). ∵点N为PC的中点， ∴N(0,0,1)， 设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)， 28 可得n＝(0,1,0)， 又∵DN⊄平面PAB，∴DN∥平面PAB. 29 (2)求直线AC与PD所成角的余弦值； 设直线AC与PD所成的角为θ， 30 (3)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M－AC－D的大小为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由. 31 设平面ACM的一个法向量为m＝(a，b，c)， 可得m＝(2－2λ，0，λ)， 由图知平面ACD的一个法向量为u＝(0,0,1)， 32 设BM与平面MAC所成的角为φ， 33 ∴φ＝30°. 故存在点M，使得二面角M－AC－D的大小为45°，此时BM与平面MAC所成的角为30°. 34 (1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等. (2)对于位置探索型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 反思感悟 35 跟踪训练3　如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l. (1)证明：直线l⊥平面PAC； 36 ∵E，F分别是PC，PB的中点， ∴BC∥EF， 又EF⊂平面EFA，BC⊄平面EFA， ∴BC∥平面EFA， 又BC⊂平面ABC，平面EFA∩平面ABC＝l， ∴BC∥l. ∵BC⊥AC，平面PAC∩平面ABC＝AC，平面PAC⊥平面ABC，∴BC⊥平面PAC， ∴l⊥平面PAC. 37 (2)直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由. 38 以点C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设Q(2，b,0)，平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)， 39 40 ∴b＝±1. ∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，AQ的长为1. 41 1.知识清单： (1)利用空间向量求空间角. (2)利用空间向量求距离. (3)利用空间向量解决探索性问题. 2.方法归纳：坐标法、转化化归. 3.常见误区：对于有限制条件的探索性问题求解时易忽视参数的范围. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin α的值是 √ 1 2 3 4 平面AA1C1C的一个法向量是n＝(1,0,0)， 1 2 3 4 2.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为 √ 1 2 3 4 不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，SA，SB，SC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系S－xyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)， 1 2 3 4 1 2 3 4 3.已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值 为________. 1 2 3 4 设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)， 取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系. 1 2 3 4 1 2 3 4 4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G 分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________. 1 2 3 4 1 2 3 4 所以点D1到直线GF的距离为 课时对点练 五 1.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，AB＝PA，PA⊥底面ABCD，∠ABC＝ ，E是PC上任一点，AC∩BD＝O. (1)求证：平面EBD⊥平面PAC； 1 2 3 4 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形， 所以AC⊥BD， 又因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD， 所以PA⊥BD， 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC， 因为BD⊂平面EBD， 所以平面EBD⊥平面PAC. 1 2 3 4 (2)若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值. 1 2 3 4 取BC的中点F，连接AF， 所以△ABC为等边三角形， 所以AF⊥BC，所以AF⊥AD， 如图，建立空间直角坐标系，令AB＝PA＝2， 1 2 3 4 设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)， 1 2 3 4 1 2 3 4 设直线ED与平面EBC所成角为θ， 2.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°. (1)求证：BC⊥平面PAC； ∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴PA⊥BC，∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥AC，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. 1 2 3 4 1 2 3 4 设AP＝h，取CD的中点E，则AE⊥CD， ∴AE⊥AB. 又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE，PA⊥AB， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 设平面PDC的法向量n1＝(x1，y1，z1)， 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3.如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝ O，M分别为CE，AB的中点. (1)求异面直线AB与CE所成角的大小； 1 2 3 4 ∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB⊂平面ABDE，∴DB⊥平面ABC. ∵BD∥AE， ∴AE⊥平面ABC. 如图所示，以点C为坐标原点，分别以CA，CB所在的直线为x，y轴，以过点C且与AE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系. ∵AC＝BC＝4，∴C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(4,0,4). 1 2 3 4 设直线AB与CE所成角α， 1 2 3 4 (2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值. 1 2 3 4 由(1)知O(2,0,2)，D(0,4,2)，M(2,2,0). 设平面ODM的法向量为n＝(x，y，z)， 令x＝2，则y＝1，z＝1，∴n＝(2,1,1). 设直线CD与平面ODM所成的角为θ， 1 2 3 4 1 2 3 4 4.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且 (1)求证：CD⊥平面PAD； 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD. 又AD⊥CD，AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD. 1 2 3 4 (2)求二面角F－AE－P的余弦值； 1 2 3 4 过A作AD的垂线交BC于点M. 因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥AM，PA⊥AD. 以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(2，－1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2). 因为E为PD的中点，所以E(0,1,1). 1 2 3 4 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， 1 2 3 4 令z＝1，则y＝－1，x＝－1. 于是n＝(－1，－1,1)为平面AEF的一个法向量. 易得平面PAD的一个法向量为p＝(1,0,0)， 由题意知，二面角F－AE－P为锐二面角， 1 2 3 4 (3)设点G在PB上，且 .判断直线AG是否在平面AEF 内，说明理由. 1 2 3 4 1 2 3 4 直线AG在平面AEF内.理由如下： 由(2)知，平面AEF的一个法向量n＝(－1，－1,1)， 所以直线AG在平面AEF内. 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，＝(－1,1,0)，＝ (－1,0,2)，＝(－1，－2,2). 则 即 因此有cos〈，n〉＝＝－. 所以直线CP与平面BDP所成角的正弦值为. (2)若二面角P－BD－F的余弦值为，求线段CF的长. 则即 不妨令y2＝1，可得m＝. 由题意，有|cos〈m，n〉|＝＝＝， 解得h＝.经检验，符合题意.所以线段CF的长为. 2FD， 设OF＝a，因为AF＝2FD， 所以DF＝a，AF＝4a，CD＝2a. 所以异面直线BC，DF所成角为. 则＝(a，－4a，a)，＝(a,0，－a)， 设向量，的夹角为θ， 则cos θ＝＝0， 因为E(－3a,0,0)，＝(a，－4a，a)， ＝(0，－4a,0)，＝(－3a,0，－a)， 由得 所以二面角D－BE－C的余弦值为. 由 得 则cos〈n1，n2〉＝＝， ∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)， ＝(0，－2,0). 由得 ∴点B到平面EFG的距离d＝＝＝. 求点P到平面α的距离的三个步骤 (1)在平面α内取一点A，确定向量的坐标表示. (2)确定平面α的法向量n. (3)代入公式d＝求解. 则D(0,0,0)，D1(0,0，a)，A1(a，0，a)，F， 所以＝，＝，＝(a,0,0). 则 d＝＝＝a， 所以直线AD与平面A1EFD1间的距离是a. 所以 取z＝1，得y＝， 则n＝， ，BC＝2， ∴＝(1,0,1). 由＝(0,0,2)，＝(2,0,0)， ∴·n＝0. 由(1)知，＝(0,2,0)，＝(－1,1，－2). 则cos θ＝＝＝. 存在.设M(x，y，z)，且＝λ，0<λ<1， ∴∴M(－λ，λ－1,2－2λ). 由＝(0,2,0)，＝(－λ，λ，2－2λ)， ∴＝， ∴|cos〈m，u〉|＝＝， 解得λ＝或λ＝2(舍去). ∴M，m＝. 则sin φ＝|cos〈，m〉|＝＝， 则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,4,0)，P(1,0，)， E，F， 故＝，＝(0,2,0). |cos〈，m〉|＝＝， 则 取z＝，得平面AEF的一个法向量m＝(1,0，). 又＝(1，b，－)，则|cos〈，〉|＝＝， 依题意，得|cos〈，〉|＝|cos〈，m〉|， A. B. C. D. 如图，建立空间直角坐标系，易求得点D， ∴sin α＝|cos〈n，〉|＝＝. A. B.－ C.－ D. 所以||＝，||＝，·＝－， M，N. 因为＝，＝， 所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为. cos〈，〉＝＝－， 因为异面直线所成的角的范围为， ＝为平面BCD的一个法向量. 设BC＝1，则A，B，D. 所以＝，＝，＝. 所以cos〈n，〉＝，所以sin〈n，〉＝. 故二面角A－BD－C的正弦值为. 则所以 取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)， 所以cos〈，〉＝＝， 连接GD1，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)， 则D1(0,0,2)，F(1,1,0)，G(0,2,1)，于是有＝(1，－1，－1)，＝(0，－2,1)， d＝||sin〈，〉＝. sin〈，〉＝， 因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝， 则D(0,2,0)，C(，1,0)，B(，－1,0)，P(0,0,2)，E， 所以＝，＝(0,2,0)，＝， 所以 令x＝2，则y＝0，z＝， 即 所以n＝(2,0，)， 所以直线ED与平面EBC所成角的正弦值为. 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝ ＝＝， (2)若二面角D－PC－A的余弦值为，求点A到平面PBC的距离. 则A(0,0,0)，P(0,0，h)，C，D，B(0,2,0)， ＝，＝(0,1,0)， 则 取x1＝h，∴n1＝. 即 由(1)知平面PAC的一个法向量为＝， 解得h＝， 所以点A到平面PBC的距离为d＝＝＝. ∴|cos〈n1，〉|＝＝， 同理可求得平面PBC的一个法向量n2＝(3，，2)， AE＝2， ∴＝(－4,4,0)，＝(4,0,4). ∴cos α＝|cos〈，〉|＝＝， ∴异面直线AB与CE所成角的大小为. ∴＝(0,4,2)，＝(－2,4,0)，＝(－2,2,2). 则由可得 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝， ∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为. ＝. 所以＝(0,1,1)，＝(2,2，－2)，＝(0,0,2). 所以＝＝， ＝＋＝. 则即 则cos〈n，p〉＝＝－. 所以其余弦值为. ＝ ＝＋＝. 所以·n＝－＋＋＝0， 因为点G在PB上，且＝，＝(2，－1，－2)， 所以＝＝， $$