7.2.2 排列数公式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

第2课时　 排列数公式 第7章　§7.2　排　列 1.能用计数原理推导排列数公式. 2.能用排列数公式进行化简与证明. 学习目标 导语 2021年是中国共产党成立100周年，1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章，百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗.有30位老革命家参观 完一大会址后，要在一大会址旁站成一排 照相，那么这30位老革命家的排列顺序有 多少种？这样的排列问题能否用一个公式 来表示呢？ 一、排列数公式 二、阶乘的概念及性质 课时对点练 三、与排列数公式有关的证明问题 随堂演练 内容索引 排列数公式 一 问题　从n个不同的元素中取出m(m，n∈N*，m≤n)个元素排成一列，有多少个不同的排列？ 提示　一般地，为了求出从n个不同元素中任意取出m个元素的排列数，可以把这m个元素所排列的位置划分为第1位、第2位、……、第m位(如图). 第一步，第1位可以从n个元素中任取1个来填，有n种不同方法； 第二步，第2位只能在余下的n－1个元素中任取1个来填，有n－1种不同方法； 第三步，第3位只能在余下的n－2个元素中任取1个来填，有n－2种不同方法； …… 第m步，第m位只能在余下的n－(m－1)个元素中任取1个来填，有n－m＋1种不同方法. 根据分步计数原理，我们得到从n个不同元素中任取出m个元素的排列，共有n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]个. 1.排列数公式 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示， ＝________ ，其中n，m∈N*，且m≤n. 2.n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排列. 所有排列的个数 n(n－1) (n－2)…(n－m＋1) 注意点： (1)乘积是m个连续正整数的乘积. (2)第一个数最大，是A的下标n. (3)第m个数最小，是n－m＋1. 知识梳理 9 例1　计算下列各题： 10 11 应用排列数公式时应注意三个方面的问题 (1)准确展开.应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确. (2)合理约分.若运算式是分式形式，则要先约分后计算. (3)合理组合.运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性. 反思感悟 12 √ ∴由n(n－1)＝156，可知n＝13. 13 ∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n， 且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数， (2)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55) ＝________. 14 阶乘的概念及性质 二 2.阶乘的相关应用 (1)规定：0！＝ . n(n－1)(n－2)×…×3×2×1 1 知识梳理 16 化简得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 所以原方程的解为x＝6. 17 解得6<x<13，故6<x≤8，∴x＝7或8， ∴原不等式的解集为{7，8}. 18 排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算. 反思感悟 19 化简得x2－21x＋104＞0，解得x＜8或x＞13. 解得2<x≤9且x∈N*， ∴2<x<8且x∈N*， ∴原不等式的解集为{3,4,5,6,7}. 20 与排列数公式有关的证明问题 三 22 23 含有a1的可这样进行排列： 24 对含有字母的排列数的式子进行变形式有关的论证时，一般用阶乘式. 反思感悟 25 跟踪训练3　(多选)下列等式正确的是 √ √ √ 26 27 1.知识清单： (1)排列数、排列数公式. (2)阶乘的概念及性质. (3)与排列数公式有关的证明问题. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区：忽视 中“n，m∈N*”这个条件. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1. 等于 A.9×3 B.93 C.9×8×7 D.9×8×7×6×5×4×3 √ 1 2 3 4 2.4×5×6×…×(n－1)×n等于 √ 1 2 3 4 由排列数公式可知m＝4，故选B. √ 1 2 3 4 120 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.设m∈N*，且m<15，则 A.(20－m)(21－m)(22－m)(23－m)(24－m)·(25－m) B.(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m) C.(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)·(15－m) D.(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m) √ 是指从20－m开始依次小1的连续的6个数相乘，即(20－m)(19－m)(18－m)(17－m).(16－m)(15－m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 即－1<n<5，又因为n∈N*且n－1≥2，所以n＝3或4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以2n·(2n－1)·(2n－2)＝2(n＋1)·n·(n－1)·(n－2)， 由题意知n≥3，且n∈N*，整理方程， 解得n＝5，所以logn25＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m)＝________.(用排列数表示) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.(多选)满足不等式 >12的n的值可能为 A.12 B.11 C.10 D.8 √ 则(n－5)(n－6)>12， 解得n>9或n<2(舍去)， 又n∈N*，根据选项可知，n可以取10,11,12. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又1！＋2！＋3！＋4！＝1＋2＋6＋24＝33. 故S的个位数字为3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.下列各式中等于n！的是________.(填序号) ①②④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 得3(n＋1)n(n－1)＝2(n＋2)(n＋1)＋6(n＋1)n， 整理得3n2－11n－4＝0， 由于n∈N*，所以n＝4， 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意得，(n＋1)！≥3 000， (5＋1)！＝6×5×4×3×2×1＝720， (6＋1)！＝7×6×5×4×3×2×1 ＝5 040>3 000， 所以n的最小值是6. 16.一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62， 所以m(2n＋m－1)＝62＝2×31， 因为m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*， 故原有15个车站，现有17个车站. A A (1)A； A＝10×9×8＝720. ＝ (2). ＝＝＝. 跟踪训练1　(1)已知A＝156，则n等于 A.11 B.12 C.13 D.14 A＝n(n－1)， ∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝A. A 1.阶乘的概念 A＝ .A称为n的阶乘，通常用n！表示，即A＝n！. (2)排列公式的阶乘式：A＝ (n≥m). 例2　解方程：3A＝4A. 3A＝4A可化为＝， 即＝， 由题意知解得1<x≤8且x∈N*， 即1<，∴x2－19x＋78<0， 延伸探究　解不等式3A<4A. 由排列数的意义得即1<x≤8，且x∈N*， 由排列数公式得3·<4·， 即3·<4·， 跟踪训练2　求不等式A＞6A的解集. 原不等式可化为>， 又 例3　求证：A－A＝mA. ＝· 所以A－A＝mA. 方法一　因为A－A ＝－ ＝· ＝m·＝mA， 所以mA＝A－A. 先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素排在剩下的m－1个位置上，有A种排法. 方法二　A表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列数，其中不含元素a1的有A个. 故A＝mA＋A， A.(n＋1)A＝A B.＝(n－2)! C.A＝ D.A＝A 对于A，(n＋1)A＝(n＋1)·＝＝＝A，故A正确； 对于B，＝＝(n－2)！，故B正确； 对于C，A≠，故C错误； 对于D，A＝·＝＝A，故D正确. A A 由题意知4×5×6×…×(n－1)×n＝n×(n－1)×…×6×5×4＝A. A.A B.A C.n！－4! D.A 3.A＝9×10×11×12，则m等于 A.3 B.4 C.5 D.6 4.A－6A＋5A＝__________. 原式＝A－A＋A＝A＝5×4×3×2×1＝120. A等于 A ＝＝＝. 2.等于 A. B. C. D. 由A－A＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5. 3.已知A－A＝10，则n的值为 A.4 B.5 C.6 D.7 A·A＝10×9×8×7！＝A＝10A＝A，81A＝9A. 4.(多选)与A·A相等的是 A.A B.81A C.10A D.A 5.不等式A－n<7的解集为 A.{n|－1<n<5} B.{1,2,3,4} C.{3,4} D.{4} 由A－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7， 6.(多选)下列各式中与排列数A相等的是 A. B.n(n－1)(n－2)…(n－m) C. D.AA A＝， 而AA＝n×＝， 所以AA＝A，故选AD. 因为A＝2A， 7.已知A＝2A，则logn25的值为________. 由排列数公式可知n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m)＝A. A ＝·(n－m)！·＝1. 9.计算：. 10.求证：A＝A＝(n＋1)A. 因为A＝(n＋1)·n·(n－1)×…×3×2×1， A＝(n＋1)·n·(n－1)×…×3×2， (n＋1)A＝(n＋1)·n! ＝(n＋1)·n·(n－1)×…×3×2×1， 所以A＝A＝(n＋1)A. 由排列数公式得>12， ∵A＝120， ∴当n≥5时A的个位数都为零， 12.若S＝A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是 A.0 B.3 C.5 D.8 A＝n！，·A＝＝n！， ①A，②A，③A，④nA. A＝＝(n＋1)！， nA＝n·(n－1)！＝n！. 所以＝＝4. 14.已知自然数n满足3A＝2A＋6A，则n＝___，＝__. 由3A＝2A＋6A， 15.英国数学家泰勒(B.Taylor,1685－1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世，由泰勒公式，我们能得到e＝1＋＋＋＋…＋＋(其中e为自然对数的底数，0<θ<1，n！＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1)，其拉格朗日余项是Rn＝.可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项Rn，Rn不超过时，正整数n的最小值是 A.5 B.6 C.7 D.8 由题意可知，原有车票A种， 现有车票A种， 所以A－A＝62， 所以解得 $$