7.2.1 排 列 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

第1课时　 排　列 第7章　§7.2　排　列 1.理解并掌握排列的概念. 2.能应用排列知识解决简单的实际问题. 学习目标 导语 经历了六月高考的洗礼，考生们就可以填报自己理想的大学了.大学录取的依据是根据考生的高考分数和填报的志愿.假设某生在第一志愿中选择 了三个喜欢的专业：电子商务、机械设计及自动化、临床医学，这三个专业在填报时填在前面和填在后面有区别吗？ 一、排列概念的理解 二、画“树形图”写排列 课时对点练 三、简单的排列问题 随堂演练 内容索引 排列概念的理解 一 问题　从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 提示　 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照 排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 注意点： (1)要求m≤n. (2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同. 一定的顺序 知识梳理 7 例1　判断下列问题是否为排列问题. (1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题一样与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题. 8 (2)从1,3,5,7,9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成不同的三位数，又有多少种方法？ 第一问不是排列问题，第二问是排列问题，从5个数中取3个数，与顺序无关；若这3个数组成不同的三位数，则与顺序有关. 9 10 11 判断一个具体问题是否为排列问题的方法 反思感悟 12 跟踪训练1　判断下列问题是否为排列问题？ (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互写信. 13 (1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题. (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题. (5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题. 所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题. 14 画“树形图”写排列 二 例2　写出A，B，C，D四名同学站成一排照相的所有可能站法. 由题意作“树形图”，如图， 故所有可能的站法是ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA. 16 延伸探究　写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法. 由题意作“树形图”，如图， 故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB. 17 利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式. (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列. 反思感悟 18 跟踪训练2　从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数，能组成多少个不同的三位数？并写出这些三位数. 画出下列树形图： 由树形图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210, 213,230,231,301,302,310,312,320,321. 19 简单的排列问题 三 例3　(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； (2)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； 从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99＝9 900(个). 因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除， 所以这个四位数的个位数字一定是“0”， 故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1＝6(个). 21 (3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数. 可以理解为从5家单位中选出4家单位， 分别把4名大学生安排到4家单位， 共有5×4×3×2＝120(个)分配方案. 22 对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步计数原理进行，即采用元素分析法和位置分析法求解. 反思感悟 23 跟踪训练3　(1)3盆不同品种的花排成一排，共有_____种不同的排法. 6 共有3×2×1＝6(种)不同的排法. 24 (2)沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为 A.15 B.30 C.12 D.36 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30(种). √ 25 1.知识清单： (1)排列的定义：顺序性. (2)“树形图”法列举排列. (3)排列的简单应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：排列的定义不明确. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，可以看作排列问题的有 A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法 √ 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题. √ 1 2 3 4 2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为 A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B.甲乙，丙乙、丙甲 C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D.甲乙，甲丙，乙丙 √ 1 2 3 4 3.从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有_____个. 24 1 2 3 4 4.有8种不同的菜种，任选4种分别种在不同土质的4块地里，每种菜种种在一块地里，有________种不同的种法. 将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种分别种在4块不同土质的地里，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有8×7×6×5＝1 680(种). 1 680 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.(多选)下列问题是排列问题的为 A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组 B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动 C.从a，b，c，d中选出3个字母 D.从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个没有重复数字的两位数 √ 由排列的定义知AD是排列问题. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法数为 A.5 B.10 C.20 D.60 √ 不同的送书方法数为5×4＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法数为 A.3 B.24 C.34 D.43 √ 3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，其选法种数为4×3×2＝24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列数为 A.6 B.4 C.8 D.10 √ 列树形图如图. 故所有的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为 A.6 B.9 C.12 D.24 √ 这四位数列举如下： 1 012,1 021,1 102,1 120,1 201，1 210,2 011,2 101,2 110，共9个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是 A.9 B.10 C.18 D.20 √ 首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共有5×4＝20(种)排法， 因为 所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是20－2＝18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.从a，b，c，d，e 5个元素中每次取出3个元素，可组成_____个以b为首的不同的排列，它们分别是_______________________________________ ___________________. 画出树形图如图. 12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc， bde，bea，bec，bed 可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是________. 从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为8×7×6＝336，故共有336种不同的选派方案. 336 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.写出下列问题的所有排列： (1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种直达机票？ 列出每一个起点和终点情况，如图所示. 故符合题意的机票有 北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？ 因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，画出树形图如图. 所以符合题意的所有排列是 BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.将玫瑰花、月季花、莲花各一束分别送给甲、乙、丙三人，每人一束，共有多少种不同的分法？请将它们列出来. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 按分步计数原理的步骤： 第一步，分给甲，有3种分法； 第二步，分给乙，有2种分法； 第三步，分给丙，有1种分法. 故共有3×2×1＝6(种)不同的分法. 列出这6种分法，如右： 甲 乙 丙 玫瑰花 月季花 莲花 玫瑰花 莲花 月季花 月季花 玫瑰花 莲花 月季花 莲花 玫瑰花 莲花 玫瑰花 月季花 莲花 月季花 玫瑰花 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序数为 A.4 B.44 C.24 D.48 √ 一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序数为4×3×2×1＝24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有 A.4种 B.5种 C.6种 D.12种 √ 若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3×2×1＝6(种)不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，所以共有6×2×1＝12(种)不同的排法. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.从集合{0,1,2,5,7,9,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有_____条. 易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，属于排列问题，所以符合条件的直线条数为6×5＝30(条). 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.(多选)我国古代的《易经》与“二进制”有着一定的联系，该书中有两类最基本的符号：“——”和“－－”，其中“——”在二进制中记作“1”，“－－”在二进制中记作“0”，其转化原理与“逢二进一”的法则相通，如符号“ ”对应的二进制数011(2)转化为十进制数的计算为011(2)＝0×22＋1×21＋1×20＝3.若从两类符号中任取2个符号排列，则组成的十进制数可以为 A.1 B.2 C.4 D.6 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，从两类符号中任取2个符号排列的情况可分为三类.第一类，由两个“——”组成，二进制数为11(2)，转化为十进制数为1×21＋1×20＝3； 第二类，由两个“－－”组成，二进制数为00(2)，转化为十进制数为0×21＋0×20＝0； 第三类，由一个“——”和一个“－－”组成，二进制数为10(2)或01(2)，转化为十进制数为1×21＋0×20＝2或0×21＋1×20＝1. 所以从两类符号中任取2个符号排列，可以组成的不同的十进制数为0,1,2,3.故选AB. 16.某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下： a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种. (3)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1? 第一问不是排列问题，第二问是排列问题，若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a>b还是a<b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题. ＝，＝， $$