7.1.1 分类计数原理与分步计数原理 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

第1课时　 分类计数原理与 分步计数原理 第7章　§7.1　两个基本计数原理 1.了解分类计数原理与分步计数原理. 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题. 学习目标 导语 日常生活、生产中，计数的问题大量存在，如学校举行班级篮球赛，在确定赛制后，体育组老师需要知道共需要举行多少场比赛；用红黄绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号…如果问题中数量较少，通过列举一个个的数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，能否设计巧妙的“数法”以提高效率呢？ 一、分类计数原理 二、分步计数原理 课时对点练 三、两个计数原理的简单应用 随堂演练 内容索引 分类计数原理 一 第24届冬奥会于2022年2月2日在北京、张家口举行，某志愿者从济南赶赴北京为游客提供导游服务.假如当天适合他出行的航班有6个，高铁有14列. 问题1　该志愿者从济南到北京的方案可分几类？ 提示　两类，即乘飞机、坐高铁. 问题2　这几类方案中各有几种方法？ 提示　第1类方案(乘飞机)有6种方法，第2类方案(坐高铁)有14种方法. 问题3　该志愿者从济南到北京共有多少种不同的方法？ 提示　共有6＋14＝20(种)不同的方法. 如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法. 注意点： 理解分类计数原理的关键点 (1)定性：①明确原理中所指的“完成一件事”是什么事；②怎样才算完成这件事；③完成这件事可以有哪些方案. (2)独立性：①完成这件事的n类方案是相互独立的；②每一类方案中的方法都可以单独完成这件事，不需要用到其他的方法. m1＋m2＋…＋mn 知识梳理 8 (3)分类：这是利用分类计数原理解题的关键，①分类必须明确标准，一般地，分类标准不同，分类的结果也不同；②每一种方法都必须属于某一类，不同类的任意两种方法是不同的；③每一类中的任意两种方法也不相同. 知识梳理 9 例1　某校高三共有三个班，各班人数如下表： (1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？   男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 10 从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案. 第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法； 第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法； 第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法. 根据分类计数原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法. 11 (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？   男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 12 从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案. 第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法. 根据分类计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法. 13 利用分类计数原理，首先搞清要完成的“一件事”是什么，其次确定一个合理的分类标准，将完成“这件事”的方法进行分类，然后对每一类中的方法进行计数，最后由分类计数原理计算总方法数. 反思感悟 14 跟踪训练1　设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程 ＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有____个. 6 因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n. 当m＝4时，n＝1,2,3； 当m＝3时，n＝1,2； 当m＝2时，n＝1， 即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个). 15 分步计数原理 二 若这名志愿者从济南赶赴张家口赛区为游客提供导游服务，但需在北京中转，假如当天从济南到北京适合他出行的航班有6个，从北京到张家口的高铁有8列. 问题4　该志愿者从济南到张家口需要经历几个步骤？ 提示　两个，即先乘飞机到北京，再坐高铁到张家口. 问题5　完成每一个步骤各有几种方法？ 提示　第1个步骤有6种方法，第2个步骤有8种方法. 问题6　该志愿者从济南到张家口共有多少种不同的方法？ 提示　共有6×8＝48(种)不同的方法. 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法. 注意点： 理解分步计数原理的关键点 (1)定性：①明确原理中所指的“完成一件事”是什么事；②要经过几步才能完成这件事. (2)相关性：①完成这件事需要分成若干个步骤；②只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任一步骤，这件事都不可能完成. m1×m2×…×mn 知识梳理 19 (3)分步：这是利用分步计数原理解题的关键，①准确确定分步的标准，一般地，分步的标准不同，分成的步骤数也会不同；②要注意各步骤之间必须连续；③各步骤之间既不能重复，也不能遗漏. 知识梳理 20 例2　一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复) 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第1步，有10种拨号方式，所以m1＝10； 第2步，有10种拨号方式，所以m2＝10； 第3步，有10种拨号方式，所以m3＝10； 第4步，有10种拨号方式，所以m4＝10. 根据分步计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000(个)四位数的号码. 21 延伸探究　若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？ 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第1步，有10种拨号方式，即m1＝10； 第2步，去掉第1步拨的数字，有9种拨号方式，即m2＝9； 第3步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m3＝8； 第4步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m4＝7. 根据分步计数原理，共可以组成N＝10×9×8×7＝5 040(个)四位数的号码. 22 利用分步计数原理解题的一般思路 (1)分步：将完成这件事的过程分成若干步. (2)计数：求出每一步中的方法数. (3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果. 反思感悟 23 跟踪训练2　已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M).问： (1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？ 确定平面上的点P(a，b)可分两步完成： 第一步，确定a的值，共有6种方法； 第二步，确定b的值，也有6种方法. 根据分步计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36. 24 (2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？ 确定第二象限的点，可分两步完成： 第一步，确定a，由于a<0，所以有3种不同的确定方法； 第二步，确定b，由于b>0，所以有2种不同的确定方法. 根据分步计数原理，得到第二象限点的个数为3×2＝6. 25 两个计数原理的简单应用 三 例3　现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画. (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ 分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法.根据分类计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法. 27 (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ 分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法. 28 (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法. 所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法. 29 使用两个计数原理的原则 使用两个计数原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是把较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步计数原理. 反思感悟 30 跟踪训练3　如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点A爬到相对顶点C1，求其中经过3条棱的路线共有多少条？ 31 从总体上看有三类方法，分别经过AB，AD，AA1，从局部上看第一类又需分两步完成. 故第一类：经过AB，有m1＝1×2＝2(条)； 第二类：经过AD，有m2＝1×2＝2(条)； 第三类：经过AA1，有m3＝1×2＝2(条). 根据分类计数原理，从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N＝2＋2＋2＝6(条). 32 1.知识清单： (1)分类计数原理与分步计数原理的定义. (2)分类计数原理与分步计数原理的简单应用. 2.方法归纳：列举法、分类讨论. 3.常见误区：在分类、分步中出现重复、遗漏导致出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么从A地到B地的不同方法数为 A.1＋1＋1＝3 B.3＋4＋2＝9 C.3×4×2＝24 D.以上都不对 √ 1 2 3 4 2.已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则xy的不同的值的个数是 A.2 B.3 C.6 D.9 √ x有3种不同的选法，y有3种不同的选法， 则xy共有3×3＝9(个)不同的值. 1 2 3 4 3.某公司员工义务献血，在体检合格的人中，O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB型血的有3人.从4种血型的人中各选1人去献血，不同的选法种数为 A.1 200 B.600 C.300 D.26 √ 1 2 3 4 分四步： 第一步，选O型血的人有10种选法； 第二步，选A型血的人有5种选法； 第三步，选B型血的人有8种选法； 第四步，选AB型血的人有3种选法. 故共有10×5×8×3＝1 200(种)不同的选法. 1 2 3 4 4.一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有____种不同的取法. 由分步计数原理知，共有6×8＝48(种)不同的取法. 48 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，安排方法共有 A.8种 B.6种 C.14种 D.48种 √ 完成升旗这一任务分两类，由分类计数原理，得安排方法共有8＋6＝14(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.图书馆的书架有3层，第1层有3本不同的数学书，第2层有5本不同的语文书，第3层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，则不同的取法共有 A.120种 B.16种 C.64种 D.39种 √ 由于书架上有3＋5＋8＝16(本)书，则从中任取1本书，共有16种不同的取法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在某试验田中，分别对一种作物的用肥，用水量和温度进行实验，用肥有3种选择，用水量有3种选择，温度控制有2种选择，则该试验田应分成 A.10部分 B.8部分 C.18部分 D.15部分 √ 根据分步计数原理，试验田应分成3×3×2＝18部分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练习跑步，则他进出门的方案有 A.7种 B.14种 C.21种 D.49种 √ 学生进门有3＋4＝7(种)选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理知，进出门的方案有7×7＝49(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是 A.14 B.23 C.48 D.120 √ 分两步：第1步，取多面体，有5＋3＝8(种)不同的取法； 第2步，取旋转体，有4＋2＝6(种)不同的取法.所以不同的取法种数是8×6＝48. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡，甲使用的是移动定制手机(仅使用一张移动卡的手机)，乙使用的是联通定制手机(仅使用一张联通卡的手机)，丙使用的是双网双待机(可以使用一张移动卡和一张联通卡的手机)，则下列叙述正确的是 A.甲从装有移动手机卡的袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有10种不同的取法 B.乙从装有联通手机卡的袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有12种不同的取法 C.丙从两个袋子得到一张移动和一张联通卡供自己使用，共有22种不同的取法 D.丙从两个袋子得到一张移动和一张联通卡供自己使用，共有120种不同的取法 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 甲从装移动手机卡的袋子中取一张移动卡，共有10种取法，所以A正确； 乙从装联通手机卡的袋子中取一张联通卡，共有12种取法.所以B正确； 丙从两个袋子得到一张移动卡和一张联通卡，分两步： 第一步，从装移动手机卡的袋子中取一张移动卡，共有10种取法， 第二步，从装联通手机卡的袋子中取一张联通卡，共有12种取法. 根据分步计数原理，共有10×12＝120(种)取法，所以C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图所示的电路图，从A到B共有____条不同的线路可通电. 分三类：第一类，经过支路①有3种方法； 第二类，经过支路②有1种方法； 第三类，经过支路③有2×2＝4(种)方法， 所以总的线路条数N＝3＋1＋4＝8. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成____组. 分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果； 第二类也有30组不同的结果，共可配成30＋30＝60(组). 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加. (1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？ 选1人，可分3类： 第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法； 第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法； 第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法. 共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？ 选教师、男同学、女同学各1人，分3步进行： 第1步，选教师，有3种不同的选法； 第2步，选男同学，有8种不同的选法； 第3步，选女同学，有5种不同的选法. 共有3×8×5＝120(种)不同的选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 分两类完成： 第一类：当A或B中有一个为0时，表示直线为x＝0或y＝0，共有2条； 第二类：当A，B都不取0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成： 第一步，确定A的值，从1,2,3,5中选一个，共有4种不同的方法； 第二步，确定B的值，共有3种不同的方法. 根据分步计数原理，共确定4×3＝12(条)不同的直线. 根据分类计数原理，方程所表示的不同直线有2＋12＝14(条). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动，每位同学限报其中一个活动，且小张不能报A活动，则不同的报名方法有 A.27种 B.36种 C.54种 D.81种 √ 小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，由分步计数原理知，共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为 A.9 B.6 C.18 D.36 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　个位数为2，十位数为1，共1个； 个位数为3，十位数为2,1，共2个； 依此类推； 个位数为9，十位数为8,7,6,5,4,3,2,1，共8个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对(a，b)的个数为 A.14 B.13 C.12 D.10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得ab≤1. 当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能； 当a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能； 当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能； 当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能. ∴所求(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.从1,2,3,4,5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为 A.2 B.4 C.6 D.8 分两类： 第一类，公差大于0，有①1,2,3，②2,3,4，③3,4,5，④1,3,5，共4个等差数列； 第二类，公差小于0，也有4个等差数列，即①3,2,1，②4,3,2，③5,4,3，④5,3,1.根据分类计数原理可知，共有4＋4＝8(个)不同的等差数列. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知a∈{2,4,6,8}，b∈{3,5,7,9}，则能使logab>1的对数值有____个. 分四类，当a＝2时，b取3,5,7,9四种情况； 当a＝4时，b取5,7,9三种情况； 当a＝6时，b取7,9两种情况； 当a＝8时，b取9一种情况， 所以共有4＋3＋2＋1＝10(种)，又log23＝log49， 所以对数值有9个. 9 16.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，求第30个“渐升数”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 “渐升数”由小到大排列，则1在千位，2在百位的“渐升数”有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)；1在千位，3在百位，4在十位的“渐升数”有5个；1在千位，3在百位，5在十位的“渐升数”有4个，此时“渐升数”有21＋5＋4＝30(个)，因此按从小到大的顺序排列，第30个“渐升数”必为1 359. ＋ 方法一　＝36. 所以所求两位数的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝×8＝36. $$