6.2.2.2 空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

第2课时　 空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式 第6章　6.2.2　空间向量的坐标表示 1.会用坐标法计算空间向量的数量积，会判断空间向量的垂直，会求空间两向量的夹角. 2.理解空间两点间距离公式的推导方法. 3.掌握空间两点间的距离公式及简单应用. 学习目标 导语 对于平面内两个非零向量a＝(x1，y1)和b＝(x2，y2)，有a·b＝x1x2＋y1y2.那么，对于空间两个非零向量，它们的数量积的坐标表示又是怎样的呢？ 一、空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示 二、空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 课时对点练 三、利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 随堂演练 内容索引 空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示 一 问题1　设空间两个非零向量为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2成立吗？该计算公式如何推导？ 提示　a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2成立，证明推导过程如下： 设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则 a＝(x1，y1，z1)＝x1i＋y1j＋z1k， b＝(x2，y2，z2)＝x2i＋y2j＋z2k. a·b＝(x1i＋y1j＋z1k)·(x2i＋y2j＋z2k) ＝x1x2i2＋y1y2j2＋z1z2k2＋x1y2i·j＋x1z2i·k＋y1x2j·i＋y1z2j·k＋z1x2k·i＋z1y2k·j ＝x1x2＋y1y2＋z1z2. 设空间两个非零向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，它们的夹角为〈a，b〉，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a·b |a||b|·cos〈a，b〉 ________________ a⊥b a·b＝0 ___________________ 模 |a|＝ ________________ 夹角余弦 cos〈a，b〉＝ x1x2＋y1y2＋z1z2 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 知识梳理 7 注意点： (1)数量积的结果为实数. (2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 知识梳理 8 例1　(1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝_____. 易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)， 则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4. －4 9 (2)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝ CD，H为C1G的中点. ①求证：EF⊥B1C； 10 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz， 11 12 13 14 15 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标. 反思感悟 16 跟踪训练1　已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c. (1)求x，y，z的值； ∵a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c， 17 (2)求向量(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值. 18 由(1)知a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)， ∴a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1). ∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5， 19 空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 二 问题2　你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 提示　如图，建立空间直角坐标系O－xyz， 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 问题3　如何用向量的方法推导出线段AB的中点坐标公式？ 提示　设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，线段AB的中点为P， 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 (1)AB＝ . (2)线段AB的中点M的坐标为 . 知识梳理 23 注意点： (1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆. (2)空间两点间的距离公式是平面两点间的距离公式的推广.动点P(x，y，z)到定点P0(x0，y0，z0)的距离等于定长r(r>0)的轨迹方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2，此方程表示以点P0为球心，以r为半径的球面. 知识梳理 24 例2　如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C＝CB＝CA＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度. 25 以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为C1C＝CB＝CA＝2， 所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式， 可得D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)， 26 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤 反思感悟 27 跟踪训练2　已知点M(3,2,1)，N(1,0,5)，求： (1)线段MN的长度； 28 (2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件. 因为点P(x，y，z)到M，N两点的距离相等. 化简得x＋y－2z＋3＝0， 因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0. 29 利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 三 31 所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)， 32 由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)， 33 34 延伸探究 若本例中的“PQ⊥AE”改为“B1Q⊥EQ”，其他条件不变，结果如何？ 35 以D为原点， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，点Q的坐标为(c，c,0)， 整理得4c2－4c＋1＝0， 36 所以点Q是线段BD的中点， 37 2.本例中若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置. 38 39 40 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解. (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明. 反思感悟 41 跟踪训练3　已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，若直线OA上 的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为_____________. 42 因为BH⊥OA， 即－x＋y－1＝0， ① 又点H在直线OA上， 43 ② 44 1.知识清单： (1)空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示. (2)空间两点间的距离公式及线段的中点坐标公式. (3)利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题. 2.方法归纳：坐标法. 3.常见误区： (1)把两直线的夹角混淆为两个向量的夹角，导致出错. (2)混淆空间向量平行与垂直的条件. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若向量a＝(4,2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(2a－3b)·(a＋2b)等于 A.－212 B.－106 C.106 D.212 √ (2a－3b)·(a＋2b) ＝(－10,13，－14)·(16，－4,0) ＝－10×16＋13×(－4)＝－212. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 3.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是 依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0， 所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0， 而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1， √ 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离CM的值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝ ，且λ>0，则λ等于 A.5 B.4 C.3 D.2 λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)， √ 且λ>0，解得λ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝ ，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a， 故(a＋b)·c＝－a·c＝7， 得a·c＝－7， 所以〈a，c〉＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以BC⊥AC， 所以△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.从点P(1,2,3)出发，沿着向量v＝(－4，－1,8)的方向取点Q，使PQ＝18，则点Q的坐标为 A.(－1，－2,3) B.(9,4，－13) C.(－7,0,19) D.(1，－2，－3) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即(x0－1，y0－2，z0－3)＝λ(－4，－1,8). 所以λ＝2， 所以(x0－1，y0－2，z0－3)＝2(－4，－1,8)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知向量a＝(1,1，－1)，b＝(2，－1,0)，c＝(0,1，－2)，则下列结论正确的是 A.a·(b＋c)＝4 B.(a－b)·(b－c)＝－8 C.记a与b－c的夹角为θ，则cos θ＝ D.若(a＋λb)⊥c，则λ＝3 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得a·(b＋c)＝(1,1，－1)·(2,0，－2)＝2＋0＋2＝4. (a－b)·(b－c)＝(－1,2，－1)·(2，－2,2) ＝－2－4－2＝－8. 因为(a＋λb)⊥c，所以(a＋λb)·c＝0， 即(1＋2λ，1－λ，－1)·(0,1，－2)＝0， 得1－λ＋2＝0，解得λ＝3.综上可知，选项ABD正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝____. ∵p＝a－b＝(1,0，－1)， q＝a＋2b－c＝(0,3,1)， ∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是________. ∵a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)， ∴a＋b＝(sin α＋cos α，2，sin α＋cos α)， a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)， ∴(a＋b)·(a－b)＝cos2α－sin2α＋sin2α－cos2α＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b).∴向量a＋b与a－b的夹角是90°. 90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知向量a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c. (1)求向量a，b，c； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得x＝2，y＝－4， 此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1). 又由b⊥c得b·c＝0， 故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0， 得z＝2，此时c＝(3，－2,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求向量a＋c与向量b＋c所成角的余弦值. 由(1)得， a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)， 因此向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，△ABC是以角B为直角顶点的直角三角形，AB＝BC＝ ，又PA＝PB＝PC＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，在这个坐标系中， (1)求点A，B，C，P的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取AC的中点O，连接OB，OP. 所以AC＝4，OB＝2. 因为PA＝PB＝PC，所以点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即点O. 故PO⊥平面ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求AB，PC的中点之间的距离. 由(1)得AB的中点坐标为(1，－1,0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 A.(－2，－4，－1) B.(－2，－4,1) C.(－2,4，－1) D.(2，－4，－1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即(x＋2，－1－y,3＋4z)＝(0,3，－1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则异面直线ON，AM所成角的大小为________， 线段MN的长度为_____. 90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A为原点，分别以 的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1， ∴异面直线ON与AM所成角的大小为90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以a·b<0， 若a与b的夹角为180°， 则存在实数λ<0，使a＝λb， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.一束光线自点P(1,1,1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经过的路程是________. 点P关于xOy平面对称的点为P′(1,1，－1)，则光线所经过的路程为 16.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点. (1)求BM，BN的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图. (2)求△BMN的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G， ＝－＝， ＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1). ∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0， ∴⊥，即EF⊥B1C. ②求cos〈，〉； 所以cos〈，〉＝＝. 因为＝－(0,1,1) ＝. 所以||＝. 又·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝， ∴||＝＝. ③求||. H， ＝－＝. ∴ 解得 |a＋c|＝＝， |b＋c|＝＝. ∴向量(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值为＝. ＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)， 于是||＝ ＝， 所以P1P2＝||＝. 则＝(＋)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)＝. 所以DE＝＝， EF＝＝. 根据空间两点间的距离公式得MN＝＝2. 所以＝， 例3　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值. 如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)， 由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，因为3＝， 所以3a－3＝－a，解得a＝， 即－－＝0， 解得b＝， 所以点P的坐标为. 因为PQ⊥AE，所以·＝0， 所以·＝0， 所以＝－1，故λ＝－4. 因为＝λ， 所以点Q的坐标为， 所以(－1，－1,0)＝λ， 解得c＝， ，， 因为B1Q⊥EQ，所以·＝0， 所以(c－1，c－1，－1)·＝0， 即c(c－1)＋c(c－1)＋＝0， 所以点Q的坐标为， 所以＝－2，故λ＝－2. 以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)， 设正方体的棱长为1，因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为， 因为点H在xDy平面上，设点H的坐标为(m，n,0)，因为＝(m，n,0)－＝，＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1，1)，且∥， 所以＝＝，解得m＝1，n＝，所以点H的坐标为，所以H为线段AB的中点. 设H(x，y，z)，则＝(x，y，z)， ＝(x，y－1，z－1)，＝(－1,1,0). 所以·＝0， 所以＝λ， 即 所以点H的坐标为. 联立①②解得 ||＝＝3. 2.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上的两个点A，B的坐标分别为(1,2,2)，(2，－2,1)，则||等于 A.18 B.12 C.2 D.3 所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝. A.1 B. C. D. 4.已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角 为________. ∴||＝3，||＝， ·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos〈，〉＝＝， 又∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝. ∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)， A. B. C. D. ∵A(3,3,1)，B(1,0,5)，∴AB的中点M，∴＝， 故CM＝||＝＝. 由已知得|λa＋b|＝＝， 而|a|＝＝， 所以cos〈a，c〉＝＝－， 因为＝(3,4，－8)，＝(2，－3,1)， ＝(5,1，－7)， ·＝10－3－7＝0， 而||＝，||＝5， 设Q(x0，y0，z0)，则＝λv(λ>0)， 由PQ＝18，得＝18， 所以所以Q(－7,0,19). cos θ＝＝＝－. 因为a∥b，所以＝＝，且y≠0， cos θ＝＝＝－. 2 因为△ABC是直角三角形，且AB＝BC＝2. 因为PA＝3，所以PO＝＝＝. 则P(0,0，)，A(0，－2,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0). PC的中点坐标为. 这两个中点之间的距离为d＝＝. 11.已知向量＝(2，－2,3)，向量＝(x,1－y,4z)，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为，则(x，y，z)等于 由题意得(2，－2,3)＋(x,1－y,4z)＝2， 所以解得 12.已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为 A. B. C. D. 设＝λ， 则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， ＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， 所以·＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ) ＝2(3λ2－8λ＋5)＝2. 当λ＝时，·取得最小值，此时点Q的坐标为. 则A(0,0,0)，M，O，N. ，， ·＝·＝0， ∴⊥， 又＝， ∴MN＝||＝＝. 14.已知向量a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实 数t的取值范围为______________________. ∪ 由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，因为a与b的夹角为钝角， 即3t－<0， 所以t<. 即(5,3,1)＝λ， 所以所以t＝－， 故t的取值范围是∪. P′Q＝＝. 则B(0,1,0)，M(1,0,1)，N. ∵＝(1，－1,1)，＝， ∴||＝＝， ||＝＝. 故BM的长为，BN的长为. ∵cos∠MBN＝cos〈，〉 ＝＝＝， ∴sin∠MBN＝＝， ∴S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN＝×××＝. 即△BMN的面积为. $$