6.2.1 空间向量基本定理 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

6.2.1　 空间向量基本定理 第6章　§6.2　空间向量的坐标表示 1.掌握空间向量基本定理及其推论. 2.会选择适当的基底表示任何一个空间向量. 学习目标 导语 回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底.类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量e1，e2，e3表示呢？ 一、空间向量基本定理及其推论 二、用基底表示向量 课时对点练 三、空间向量基本定理的应用 随堂演练 内容索引 空间向量基本定理及其推论 一 问题1　如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝ ，p能否用i，j，k表示呢？ 问题2　你能证明问题1中结论的唯一性吗？ 提示　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk. 不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k. 由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.所以有序实数组(x，y，z)是唯一的. 1.空间向量基本定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在 的有序实数组(x，y，z)，使 . 2.基底的有关概念 唯一 p＝xe1＋ye2＋ze3 定义 在空间向量基本定理中，如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示.我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个 ， 叫作基向量 正交基底与单位正交基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相 ，那么这个基底叫作正交基底.特别地，当一个正交基底的三个基向量都是_____ 时，称这个基底为单位正交基底，通常用 表示 基底 e1，e2，e3 垂直 单位 向量 {i，j，k} 知识梳理 9 3.空间向量基本定理的推论 设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 ＝ . 注意点： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同. 知识梳理 10 (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念. (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 知识梳理 11 12 ∴e1＋2e2－e3 ＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3， ∵e1，e2，e3不共面， 13 14 基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底. (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 反思感悟 15 跟踪训练1　(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间的一个基底的向量组有 A.{a，b，x} B.{x，y，z} C.{b，c，z} D.{x，y，a＋b＋c} √ √ √ 由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面. 16 用基底表示向量 二 ∵P是C1D1的中点， 18 ∵N是BC的中点， 19 ∵M是AA1的中点， 20 延伸探究 1.本例的条件不变，试用a，b，c表示向量 因为P，N分别是D1C1，BC的中点， 21 22 用基底表示向量的方法 (1)若基底确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量的数乘运算. (2)若未给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求. 反思感悟 23 24 如图，连接BO， 25 26 空间向量基本定理的应用 三 例3　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC1的长； 28 则|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a) 29 (2)求BD1与AC所成角的余弦值. 30 ＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1. 31 用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤：首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个正交基底.然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算. 反思感悟 32 跟踪训练3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1. 33 34 35 1.知识清单： (1)空间向量基本定理及其推论. (2)基底的概念以及判断. (3)用基底表示向量. (4)空间向量基本定理的应用. 2.方法归纳：类比法、转化化归. 3.常见误区：对基底的概念理解不清，导致出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间的一个基底的是 可以作为空间的一个基底. √ 1 2 3 4 A.a＋b－c B.a－b＋c C.－a＋b＋c D.－a＋b－c √ 1 2 3 4 3.若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是_____________. 由于{a，b，c}是空间的一个基底，所以当xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0. x＝y＝z＝0 1 2 3 4 4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别 是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E，FG所成角的大小为_____. 1 2 3 4 这三个向量不共面且两两垂直，故{a，b，c}为空间的一个单位正交基底. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量.因此p⇏q，q⇒p，即p是q的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(多选)已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列选项中不能构成空间的一个基底的是 A.{a，a－2b,2a＋b} B.{b，b＋c，b－c} C.{2a－3b，a＋b，a－b} D.{a＋b，b－c，c＋2a} √ 只有D选项中的三个向量不共面，其他选项中的三个向量都共面. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选项D中，四点M，A，B，C显然共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°. 求证：AB⊥AC1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°， 所以a·b＝0，a·c＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为AB＝AD＝1，PA＝2， 所以|a|＝|b|＝1，|c|＝2. 又因为AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°， 所以a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos 60°＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3a＋3b－5c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设G为BC的中点，连接EG，FG(图略)， ＝3a＋3b－5c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示为_______________________. 4(a＋b)－(a－b)＋3(3c) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，m＝3a＋5b＋9c， 设m＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z(3c)， 则m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示为 m＝4(a＋b)－(a－b)＋3(3c). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所 成角的余弦值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则〈a，b〉＝120°，c⊥a，c⊥b， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵点D，E，F，M共面， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　如图，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则＝＋. 又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zk，从而＝＋zk. 在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数组(x，y)，使得＝xi＋yj. 从而p＝＝＋zk＝xi＋yj＋zk. 两边同除以(x′－x)，得i＝ j＋k. x＋y＋z 例1　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底. 假设，，共面. 则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， ∴此方程组无解， ∴，，不共面， ∴{，，}可以作为空间的一个基底. 如图所示，令a＝，b＝，c＝， 则x＝，y＝，z＝， a＋b＋c＝， ＝a＋c＋＝a＋b＋c. 例2　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)； ∴＝＋＋＝a＋＋ ∴＝＋＋＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. (2)； ∴＝＋＝＋ ＝－a＋＝a＋b＋c. (3). . 所以＝＋＋＝＋(－)＋＝－a＋b－c. ＝＋＝＋＋＝a＋c＋b. 2.若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？ 跟踪训练2　如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，. ＝－a－b＋c. 则＝ ＝(＋) ＝(＋＋) ＝(c－b－a) ＝＝＝a. ＝＋＝－a＋ ＝－a＋(＋)＝－a－b＋c. ＝＋＝＋＋(＋) ＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c. 所以||＝，即AC1的长为. 设＝a，＝b，＝c， 所以a·b＝b·c＝c·a＝. ||2＝(a＋b＋c)2 ＝1＋1＋1＋2×＝6， 所以BD1与AC所成角的余弦值为. ＝b＋c－a，＝a＋b， 所以||＝，||＝， ·＝(b＋c－a)·(a＋b) 所以cos〈，〉＝＝. ＝(－a＋b＋c)， ＝＋＝＋＝a＋b. 设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＝(＋) ＝(＋) ＝(＋－) 所以·＝(－a＋b＋c)·(a＋b) ＝(|b|2－|a|2)＝0， 所以⊥，即EF⊥AB1. 由题意知，，，不共面， A.{，，} B.{，，} C.{，，} D.{，，} ＝＋＋＝－－＋＝－a＋b－c. 2.在三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于 ＝＋＋＝－2a＋c＋a＝－a＋c， ＝＋＋＝a＋b＋c， 从而·＝(－a＋c)·(a＋b＋c)＝－a2＋c2＝0， 所以⊥，即A1E⊥FG， 所以异面直线A1E，FG所成角的大小为. 设＝2a，＝2b，＝c， ＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k. 3.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则等于 A.i＋j＋k B.i＋j＋k C.3i＋2j＋5k D.3i＋2j－5k ＝＋＝＋(＋)＝＋(＋) ＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c. 4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝c，＝b，则下列向量与相等的是 A.－a＋b＋c B.a＋b＋c C.－a－b＋c D.a－b＋c 5.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z等于 A.－1 B.0 C. D.1 因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝. 6.(多选)若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，则满足下列哪一关系(O是空间任一点)时，{，，}不能作为空间的一个基底 A.＝＋＋ B.≠＋ C.＝＋＋ D.＝2－ 若{，，}为空间的一个基底，则M，A，B，C四点不共面.选项A中，因为＋＋＝1，所以点M，A，B，C共面； 选项B中，≠＋，但可能存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，所以点M，A，B，C可能共面； ∵2＝2＋2＋2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋，∴＝(＋＋). 7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则＝__________________. (＋＋) 8.如图，O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点，若＝λ与＝＋＋同时成立，则实数λ的值为_____. ＝＋＝＋λ ＝＋(＋) ＝＋(－＋－) ＝(1－λ)＋＋ ＝＋＋， 所以1－λ＝，＝， 解得λ＝. 设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＝b＋c. 所以·＝a·(b＋c)＝a·b＋a·c， 所以·＝0，故AB⊥AC1. 10.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点. (1)用基底{a，b，c}表示向量，，； ＝＋＝＋－＝a－b＋c. ＝＋＋＝－a＋b＋c. ＝＋＝a＋(b＋c) ＝a＋b＋c. (2)化简＋＋，并在图中标出化简结果表示的向量. ＋＋＝＋(＋) ＝＋＝＋＝. 如图，连接DA1，则即为所求. 11.已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为 A. B. C. D. ＝(＋) ＝(－2＋)， ＝＝(－2＋)， ∵＝3＝3(－)， ∴＝＝(＋) ＝ ＝＋＋. ∴x＝，y＝，z＝. 12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则||等于 A. B. C. D. 记＝a，＝b，＝c， 易得＝(－a＋b＋c)， 所以||2＝(－a＋b＋c)2 ＝[a2＋b2＋c2＋2×(－a·b－a·c＋b·c)] ＝×[12＋12＋22＋2×(0－1＋1)] ＝，所以||＝. 13.如图，已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝______________.(用向量a，b，c表示) 则＝＋＝＋ ＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c) 则有解得 设＝a，＝b，＝c， 因为＝＋＝－a＋c， ＝＋＝b＋c， 所以cos〈，〉＝＝ ＝＝＝＝. 16.如图，在三棱锥P－ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证：＋＋为定值，并求出该定值. 由题意，可令{，，}为空间的一个基底， ＝＝(＋)＝＋× ＝＋× ＝＋(－)＋(－) ＝＋＋. ∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， 即－＝λ(－)＋μ(－)， ∴＝(1－λ－μ)＋λ＋μ ＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt， 由空间向量基本定理，知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt， ∴＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值. $$