6.1.3 共面向量定理 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

6.1.3　 共面向量定理 第6章　§6.1　空间向量及其运算 1.了解共面向量的概念. 2.理解空间共面向量定理，会证明直线与平面平行. 3.理解空间向量共面的充要条件，会证明空间四点共面. 学习目标 导语 在平面向量中，向量b与向量a(a≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.那么，空间任意一个向量p与两个不共线的向量a，b共面时，它们之间存在什么样的关系呢？ 一、共面向量 二、共面向量定理 课时对点练 三、空间四点共面的条件 随堂演练 内容索引 共面向量 一 问题1　如图，在长方体中，向量a，b，p与平面ABCD有怎样的位置关系？ 提示　向量a，b与平面ABCD平行，向量p在平面ABCD内. 一般地，能平移到 内的向量叫作共面向量. 注意点： (1)共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量. (2)空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了. 同一平面 知识梳理 7 例1　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量 是 A.有相同起点的向量 B.模相等的向量 C.共面向量 D.不共面向量 √ 如图所示. 三个向量的模不一定相等，故B错误； 8 若a，b不共线且同在平面α内，则p与a，b共面的意义是p在平面α内或p∥平面α. 反思感悟 9 跟踪训练1　(多选)下列说法错误的是 A.空间的任意三个向量都不共面 B.空间的任意两个向量都共面 C.三个向量共面，即它们所在的直线共面 D.若三个向量两两共面，则这三个向量一定也共面 √ √ √ 10 共面向量定理 二 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示. 知识梳理 12 √ 13 14 ∵MN不在平面ABB1A1内， ∴MN∥平面ABB1A1. 15 如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使p＝xa＋yb.在判断空间的三个向量共面时，注意“两个向量a，b不共线”的要求. 反思感悟 16 跟踪训练2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝ AD，若E，F分别为PC，BD的中点.求证：EF∥平面PAD. 17 又EF⊄平面PAD，DA，PD⊂平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 18 空间四点共面的条件 三 提示　x＋y＋z＝1. 证明如下：(1)充分性. ∴点P与A，B，C共面. (2)必要性. ∵点P在平面ABC内，且点A，B，C不共线， 且点O在平面ABC外， ∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n， ∴x＋y＋z＝1. x＋y＋z＝1 知识梳理 23 例3　(1)(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是 √ √ 24 25 由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C选项正确； 26 (2)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 27 又三向量有相同的起点A1，∴A1，B，N，M四点共面. 28 (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示. 反思感悟 29 跟踪训练3　已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： (1)E，F，G，H四点共面. 如图，连接EG，BG. 30 (2)BD∥平面EFGH. 所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH. 31 1.知识清单： (1)共面向量定理的概念及应用. (2)空间中应用共面向量定理判断共面问题. 2.方法归纳：类比法. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是 A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 √ 由向量共面定理可知，三个向量a，b,2a－b为共面向量. 1 2 3 4 2.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是 √ √ A选项中，3－1－1＝1，M，A，B，C四点共面， 1 2 3 4 且M，A，B，C四点共面， √ 1 2 3 4 共面 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则 A.m，n，p共线 B.m与p共线 C.n与p共线 D.m，n，p共面 √ 由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ，μ≠0)，则下列结论正确的是 A.a∥e1 B.a∥e2 C.a与e1，e2共面 D.以上三种情况均有可能 √ 假设a与e1共线，则a＝ke1， 所以a＝λe1＋μe2可变为(k－λ)e1＝μe2， 所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线相矛盾，故假设不成立，则A不正确，同理B不正确，则D也错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故A，B，C，D四点共面，故C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.必要且不充分条件 B.充分且不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 空间任意一点O和不共线的三点A，B，C， 则P，A，B，C四点共面等价于x＋y＋z＝1； 若x＝2，y＝－3，z＝2，则x＋y＋z＝1， 所以P，A，B，C四点共面； 若P，A，B，C四点共面，则x＋y＋z＝1，但不能得到x＝2，y＝－3，z＝2， 所以x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四点共面的充分且不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列命题中是真命题的为 A.若向量p＝xa＋yb，则p与a，b共面 B.若p与a，b共面，则p＝xa＋yb √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于选项A，由共面向量定理得p与a，b共面，A是真命题； 对于选项B，若a，b共线，p不一定能用a，b表示出来，B是假命题； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j ＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝____. ∵a，b，c三个向量共面， ∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb， 即7i＋5j＋λk＝m(2i－j＋3k)＋n(－i＋4j－2k). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又P是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点，证明：MN∥平面A′ACC′. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 且点M，N分别为A′B和B′C′的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为MN⊄平面A′ACC′， AA′，A′C′⊂平面A′ACC′， 所以MN∥平面A′ACC′. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.下面关于空间向量的说法正确的是 A.若向量a，b平行，则a，b所在直线平行 B.若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 我们可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C都不正确； 由向量平行与直线平行的区别，可知A不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ① ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内 C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 于是M，B，A1，D1四点共面. 所以M必在平面BA1D1内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P在平面ABC内 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴点P与点A，B，C共面，即P在平面ABC内. ∴点P与点A，B，C共面.即P在平面ABC内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接BD，BG(图略). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 且G，B，P，D四点共面， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵四边形ABCD是平行四边形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴点E，F，G，H共面. (2)AB∥平面EFGH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. 向量，，不是有相同起点的向量，故A错误； ，， 又在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∵＝，而线段D1A，D1C，AC构成△D1AC的三个边，故向量，，是共面向量，C正确，D错误. 由共面向量定理知，，，共面. 例2　(1)已知，是空间两个不共线的向量，＝3－2，那 么必有 A.，共线 B.，共线 C.，，共面 D.，，不共面 (2)如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，设＝a，＝b，＝c，在面对角线AC1和棱BC上分别取点M，N，使＝k，＝k(0≤k≤1).求证：MN∥平面ABB1A1. ＝k＝k(＋)＝kb＋kc， 又＝＋＝a＋k＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb， ∴＝－＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc， 又与不共线，根据共面向量定理可知，，，共面， ＝＋＝＋， 又与不共线，根据共面向量定理可知，，，共面， ＝－ ＝(＋)－ ＝＋(－) 问题2　对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一 点P满足关系式＝x＋y＋z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？ ∵＝x＋y＋z 可变形为＝(1－y－z)＋y＋z， ∴－＝y(－)＋z(－)， ∴＝y＋z， ∴，，不共面， ∴存在有序实数组(m，n)，使得＝m＋n， 即－＝m(－)＋n(－)， ∴＝(1－m－n)＋m＋n， ∵＝x＋y＋z， 若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O，存在实数x，y，z使得＝x＋y＋z，且x，y，z满足 ，则A，B，C，D四点共面. A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＝2－－ 方法一　A选项，＝＋＋，不能转化成＝x＋y的形式，所以A不正确； B选项，∵＝＋＋，∴3＝＋＋，∴－＝(－)＋(－)，∴＝＋，∴＝－－，∴P，A，B，C共面，故B正确； C选项，＝＋＋＝＋(＋)＋(＋)＝＋＋. ∴－＝＋， ∴＝＋， D选项，＝2－－，无法转化成＝x＋y的形式，所以D项不正确. 方法二　当点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，可判断出只有选项B，C符合要求. ∴＝－＝(b＋c)－a ＝(b－a)＋＝＋， 由向量共面的充要条件知，，为共面向量. 设＝a，＝b，＝c， 则＝b－a， ∵M为线段DD1的中点，∴＝c－a， 又AN∶NC＝2∶1，∴＝＝(b＋c)， 解决向量共面的策略 (1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. ＝＋＋＝＋， 因为＝＋＝＋(＋) 由向量共面的充要条件知向量，，共面， 又，，有公共起点E，所以E，F，G，H四点共面. 因为＝－＝－＝， 3.常见误区：应用＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)时，应注意，，，四向量共起点，才能四点共面. A.＝3－－ B.＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 C选项中，＝－－，∴点M，A，B，C共面. ∴x＋＋＝1，解得x＝. ∵＝x＋＋， 3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为 A.1 B.0 C.3 D. 4.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，向量，，是______向量(填“共面”或“不共面”). 而＝， 所以＋＝，所以，，是共面向量. ＋＝， 即p＝m＋n，又知m与n不共线，所以m，n，p共面. 3.已知向量e1，e2不共线，＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－5e2，则 A.与共线 B.与共线 C.A，B，C，D四点不共面 D.A，B，C，D四点共面 A中，不存在实数λ，使＝λ，故A错误； B中，＝－＝e1－13e2，不存在实数λ，使＝λ，故B错误； 若A，B，C，D四点共面，则必有＝x＋y＝(x＋2y)e1＋(x＋8y)e2＝3e1－5e2， 则即 故＝－， 4.对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四点共面的 且＝x＋y＋z(x，y，z∈R)， 5.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ等于 A. B. C.－ D.－ 方法一　＝＋＋λ＝＋(－)＋λ(－)－＝＋＋λ－，即＝＋λ－.由共面向量定理知－λ＝0，解得λ＝. 方法二　运用向量共面定理的推论，由＝＋＋λ直接得出＋＋λ＝1，解得λ＝. C.若＝x＋y，则P，M，A，B四点共面 D.若P，M，A，B四点共面，则＝x＋y 对于选项C，若＝x＋y，则，，三个向量在同一个平面内，P，M，A，B四点共面，C是真命题； 对于选项D，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不成立，D是假命题. ∴ ＝－x＋＝－x＋(－)＝－x－. 8.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为________. ∴－x－＝1，解得x＝. ∵＋＋＝3， 9.已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足＝＋＋. (1)判断，，三个向量是否共面； ∴－＝(－)＋(－)， ∴＝＋＝－－， ∴向量，，共面. 由(1)知，向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内. (2)判断M是否在平面ABC内. 因为＝＋， 所以＝＋(＋) ＝(＋)＋(＋)＝＋， 又与不共线， 所以，，共面， C.若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面 D.若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面 由A，B，C，D四点不共面知，AB，AC，AD是空间中有公共端点A但不共面的三条线段，所以向量，，不共面，D正确. 12.平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y等于 A. B. C. D. 由点A，B，C，D共面得x＋y＝， 又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝， 联立①②，解得x＝，y＝， 所以x＋3y＝. 13.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必 ＝＋7＋6－4 ＝＋＋6－4 ＝＋＋6－4 ＝＋6(－)－4(－) ＝11－6－4， 14.已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外任意一点，点P满足＋2＝6－3，则P与平面ABC的关系是__________________. 方法一　∵3－3＝＋2－3 ＝(－)＋(2－2)， ∴3＝＋2，即＝－2－3. 方法二　由题意得＝＋＋， ∵＋＋＝1，且A，B，C三点不共线， 15.如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为棱PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，则实数m的值是________. 因为＝－，＝， 所以＝－. 因为＝＋， 所以＝＋－＝－＋＋. 因为＝， 所以＝， 所以＝－＋＋. 又因为＝－， 所以＝－＋＋. 因为＝m， 所以＝m＝－＋＋. 又因为＝＋＝＋＋， 所以1－＝0， 解得m＝. 16.已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量＝k，＝k，＝k，＝k. 求证：(1)点E，F，G，H共面； ∵＋＝，∴k＋k＝k. 而＝k，＝k，∴＋k＝. 又＋＝，∴＝k. 同理，＝k，＝k. ∴＝＋， ∴＝＋， 即＝＋.又它们有同一公共点E， 由(1)知＝k， ∴∥，即AB∥EF. $$