6.1.2 空间向量的数量积 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

6.1.2　 空间向量的数量积 第6章　§6.1　空间向量及其运算 1.了解空间向量的夹角及有关概念. 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法. 3.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义. 4.会用投影向量计算空间两个向量的数量积. 学习目标 导语 在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 一、空间向量的夹角 二、空间向量的数量积 课时对点练 三、空间向量的投影向量 随堂演练 内容索引 空间向量的夹角 一 问题1　平面中两个非零向量的夹角是如何定义的？ 定义 a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作 ＝a， ＝b， ＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 范围 _______________ 特殊夹角 (1)如果〈a，b〉＝0，a与b ； (2)如果〈a，b〉＝π，a与b ； (3)如果〈a，b〉＝ ，a与b互相垂直，记作a b. ∠AOB 0≤〈a，b〉≤π 同向 反向 ⊥ 知识梳理 7 例1　(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要且不充分条件. 8 9 连接BD(图略)， 则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′， 10 (1)空间任意两个向量可平移到共同起点形成夹角. (2)对空间任意两个非零向量a，b有①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉 ＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉. 反思感悟 11 √ ＝180°－60° ＝120°. 12 空间向量的数量积 二 1.定义 设a，b是空间两个非零向量，我们把数量 叫作向量a，b的数量积，记作a·b.规定：零向量与任一向量的数量积为 . 2.数量积的运算律 |a||b|cos〈a，b〉 0 交换律 a·b＝______ 分配律 (a＋b)·c＝_________ 数乘结合律 (λa)·b＝_______(λ∈R) b·a a·c＋b·c λ(a·b) 知识梳理 14 3.数量积的性质 a·b＝0 两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔___________ ②若a与b同向，则a·b＝ ； 若反向，则a·b＝ . 特别地，a·a＝ 或|a|＝_______ ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_______ |a||b| －|a||b| |a|2 知识梳理 15 注意点： (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定. ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律. 知识梳理 16 例2　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： 17 18 19 20 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确. 反思感悟 21 跟踪训练2　(1)已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为 A.－6 B.6 C.3 D.－3 √ 由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0， |e1|＝|e2|＝1， 所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0， 即2k－12＝0，解得k＝6. 22 √ 23 空间向量的投影向量 三 问题2　平面向量中向量a在向量b上的投影向量是如何定义的？ 投影向量 2.空间向量数量积的几何意义 空间向量m，n(n在平面α内)的数量积就是向量m在平面α上的 与向量n的数量积. 知识梳理 26 例3　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点. 因为A1B1⊥平面BCC1, PC1⊥平面BCC1， 27 因为A1B1⊥B1C1, PC1⊥B1C1， 28 利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻某一向量在平面(或直线)上的投影向量是解题的关键所在. 反思感悟 29 30 方法一　∵A1A⊥平面ABC， ∴A1A⊥AB，A1A⊥AC. ∴AB⊥AC. 又BC＝2AE＝2， ∴E为BC的中点， 31 ∴A1C＝2. 方法二　∵A1A⊥平面ABC， 32 1.知识清单： (1)空间向量的夹角. (2)空间向量的数量积. (3)空间向量的投影向量. 2.方法归纳：数形结合、转化化归. 3.常见误区： (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定. (2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是 √ √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 3.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1＋e2在向量e1上的 投影向量为________. λ＝________. 1 2 3 4 由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0， 所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0， 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于 A.1 B.2 C.3 D.4 ∵p⊥q且|p|＝|q|＝1， ∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则向量2a－b在向量a上的 投影向量为____. ∵a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6， ∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________. 由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0， (a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2， 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段，又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为CA⊥AB，BD⊥AB， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，试计算： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝_____. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵OA，OB，OC两两垂直，G为△ABC的重心， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [0,1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D两点间的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在平行四边形ABCD中， ∵∠ACD＝90°， 在空间四边形ABCD中， ∵AB与CD成60°角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 此时B，D两点间的距离为2； 提示　在平面中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB就是两向量的夹角. (2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角. 所以〈，〉＝〈，〉＝45°，〈，〉＝180°－〈，〉＝135°，〈，〉＝∠D′AC＝60°，〈，〉 ＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°， 〈，〉＝〈，〉＝90°. 跟踪训练1　在正四面体ABCD中，与的夹角等于 A.30° B.60° C.150° D.120° 〈，〉＝180°－〈，〉 ＝×1×1×cos 60°＝. (1)·； ·＝· ＝||·||·cos〈，〉 (2)·； ·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1×cos 0°＝. (3)·； ·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1×cos 120°＝－. ＝[－·－·＋(－)·＋·] ＝×＝－. (4)·. ·＝(＋)·(＋) ＝[·(－)＋·(－)＋·＋·] ∴cos〈，〉＝＝－. ∴〈，〉＝120°. (2)在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与向量的夹角为 A.60° B.150° C.90° D.120° ＝＋，||＝a， ＝＋，||＝a. ∴·＝·＋·＋·＋·＝－a2. 提示　设a，b是两个非零向量，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1，向量称为向量a在向量b上的投影向量. 1.空间投影向量的定义 如图，设向量m＝，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.向量 称为向量m在平面α上的投影向量. (1)确定向量在平面BCC1上的投影向量， 并求·； 所以向量在平面BCC1上的投影向量为. 所以·＝·＝×1×cos 45°＝1. (2)确定向量在直线B1C1上的投影向量，并 求·. 所以向量在直线B1C1上的投影向量为， 故·＝·＝1. 跟踪训练3　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，求·. ∵AC＝AB＝，BC＝2， ∴＝(＋). ∵AA1＝，AC＝， ∴·＝·＝1××cos 45°＝1. ∴·＝(＋)·(－)＝2＝1. ∴在平面ABC上的投影向量为. 又AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2， A.与 B.与 C.与 D.与 所以⊥.所以cos〈，〉＝0. ·＝·(－)＝·－·＝||||cos∠AOC－ ||||·cos∠AOB＝||||－||||＝0， 2.已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为 A. B. C.－ D.0 ＝1＋1×1×＝. ∴向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为·＝e1. (e1＋e2)·e1＝e＋e1·e2 e1 4.已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则 － 即4λ＋6＝0，解得λ＝－. 所以18＋(λ＋1)·3×4cos 135°＋16λ＝0， 由题意，可得＝， 1.在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°. (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|·cos 120°＝2×4－2×5×＝13. 2.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于 A.12 B.8＋ C.4 D.13 2·＝2a2cos 120°＝－a2， A.2· B.2· C.2· D.2· 2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2， 2·＝·＝a2， 2·＝·＝－·＝－a2. 5.如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60 °，则||等于 A. B. C.13 D. ·＝||·||cos 60 °＝1×3×＝，又＝(＋)， 所以2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)＝×(1＋3＋9)＝， 所以||＝. A.(＋＋)2＝32 B.·(－)＝0 C.与的夹角为60° D.正方体的体积为|··| 如图所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32，故A为真命题； ·(－)＝·＝0，故B为真命题； 与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°，故C是假命题； 正方体的体积为||||||，故D为假命题. ＝2×22－2×6×＝2， a ∴向量2a－b在向量a上的投影向量为·＝a. 所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|， 所以cos〈a，b〉＝＝＝， 所以〈a，b〉＝60°. 所以〈，〉＝120°. 因为＝＋＋， 且·＝0，·＝0， 所以||2＝||2＋||2＋||2＋2· ＝||2＋||2＋||2＋2||||cos〈，〉 ＝62＋42＋82＋2×6×8×＝68， 所以||＝2，故CD的长为2. 取AB的中点H，连接DH，EH，易知EH⊥平面ABCD,又DD1⊥平面ABCD，所以向量在平面ABCD上的投影向量为.所以·＝·＝2＝16. (1)·； 向量在平面ABB1A1上的投影向量为.又⊥，所以·＝·＝0. (2)·. A. B. C.1 D. ∵＝＋＋， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2· ＝1＋1＋1－＝3－. 故||＝. ||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝49，所以||＝7，即PC＝7. ∴·＝·＝·＝0， 13.在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________. 且＝， 故·(＋＋)＝(＋＋)2＝(||2＋||2＋||2) ＝×(1＋4＋9)＝. 依题意，设＝λ，其中λ∈[0,1]，·＝·(＋)＝·(＋λ)＝2＋λ·＝1＋λ×1××＝1－λ∈[0,1].因此·的取值范围是[0,1]. 14.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是______. 15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为 A.8 B.4 C.2 D.1 ·＝·(＋) ＝2＋·， ∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥， ∴·＝0， ∴·＝||2＝1， 则·(i＝1,2，…8)的不同值的个数为1. ∴·＝0，同理可得·＝0. ∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°. 又＝＋＋， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2· ＝3＋2×1×1×cos〈，〉， ∴当〈，〉＝60°时，||2＝4， 当〈，〉＝120°时，||2＝2， 此时B，D两点间的距离为. $$