第5练 空间距离的计算-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

第5练　空间距离的计算 1．已知平面α的一个法向量n＝(2,0,1)，点A(－1,2,1)在平面α内，则点P(1,2,3)到平面α的距离为(　　) A．2 B. C. D. 答案　C 解析　＝(－2,0，－2)，cos〈n，〉＝＝＝－， 所以点P(1，2，3)到平面α的距离为d＝＝2×＝. 2．直线l的方向向量为m＝(1,1,0)，且l过点A(1,1,1)，则点P(2,2，－1)到直线l的距离为(　　) A. B. C．2 D．3 答案　C 解析　∵A(1,1,1)，P(2,2，－1)， ∴＝(1,1，－2)，又m＝(1,1,0)， ∴在m方向上的投影||·cos〈，m〉＝＝＝. ∴点P到l的距离d＝＝＝2 3．在三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝(0,2，－3)，＝(－2，0，－3)，＝，则该三棱柱的高为(　　) A. B. C．2 D．4 答案　B 解析　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则所以 令z＝2，则x＝－，y＝3，所以n＝(－，3,2)是平面ABC的一个法向量． 点A1到平面ABC的距离d＝＝，故该三棱柱的高为. 4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到平面AB1D1的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，建立空间直角坐标系D－xyz， 则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)， ∴＝(2,2,0)，＝(2,0，－4)，＝(0,0,4)． 设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，则n⊥，n⊥， ∴即 令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2,1)． 故点A1到平面AB1D1的距离为d＝＝. 5．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．则直线AC到平面PEF的距离为(　　) A．2 B. C. D. 答案　B 解析　以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系D－xyz，如图所示． 则P(0,0,1)，A(1,0,0)，E，F， ＝，＝. 设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2,2,3)， 因为＝，所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝.因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又EF⊂平面PEF，AC⊄平面PEF，所以AC∥平面PEF，所以AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，为. 6．(多选)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为平面ABCD上的动点，且满足·＝0.则下列说法正确的是(　　) A．点M的轨迹是圆 B．点M到直线AB的最远距离为4＋ C．直线AB到平面PDC的距离为2 D．点D到平面PBC的距离为 答案　AD 解析　建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz. 则P(2,0,2)，C(0,4,0)， 设M(a，b，0)， ∴＝(2－a，－b，2)，＝(－a，4－b，0)． ·＝0.即－2a＋a2－4b＋b2＝0，整理得(a－1)2＋(b－2)2＝5， ∴点M的轨迹是在平面ABCD内以点O(1,2)为圆心，为半径的圆，∴A正确； 由A知，点M到直线AB的最远距离为4－1＋＝3＋，∴B错误； 由题意可知AB∥平面PDC，∴点A到平面PDC的距离为直线AB到平面PDC的距离． 由题意得平面PDC的一个法向量为n＝(－，0,1)， 又∵＝(4,0,0)，∴直线AB到平面PDC的距离d1＝＝＝2，∴C错误； 由题意得平面PBC的一个法向量m＝(0，，2)，＝(0,4,0)， ∴点D到平面PBC的距离d2＝＝＝，∴D正确． 7．已知A(2,2,0)，B(1,4,2)，C(0,0,1)，则原点O到平面ABC的距离为____． 答案　 解析　由题意得＝(－1,2,2)，＝(－2，－2,1)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则 解得 令y＝－1，得x＝z＝2. ∴平面ABC的一个法向量为n＝(2，－1,2)．又＝(2,2,0)， ∴原点O到平面ABC的距离d＝＝. 8．在长方体OABC－O1A1B1C1中，若OA＝2，AB＝3，AA1＝2，则点O1到直线AC的距离为______． 答案　 解析　连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz. 则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)， ∴＝(－2,0,2)，＝(－2,3,0)， 记φ＝〈，〉， ∴cos φ＝＝＝， ∴sin φ＝＝， ∴点O1到直线AC的距离d＝||·sin φ＝2×＝. 9．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝，在△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为____． 答案　 解析　如图所示，建立空间直角坐标系C－xyz， 则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0，)，B1(0,1，)，C1(0,0，)， ∴＝(－1,1，－)，＝(－1,0，－)，＝(－1,1,0)． 设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 令z＝1，得x＝－，y＝0，∴n＝(－，0,1)． ∴点B1到平面A1BC的距离d＝＝. 10．在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C，D∈R，A2＋B2＋C2≠0)，点P(x0，y0，z0)到平面α的距离d＝，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于________． 答案　 解析　如图，以底面中心O为原点建立空间直角坐标系O－xyz， 则O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(－1,1,0)，P(0，0,2)， 设平面PAB的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，将A，B，P坐标代入计算得 解得A＝0，B＝－D，C＝－D， ∴－Dy－Dz＋D＝0， 即2y＋z－2＝0，∴d＝＝. 11．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被平面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1. (1)求BF的长； (2)求点C到平面AEC1F的距离． 解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz， 则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)． 设F(0,0，z)． 由题意得四边形AEC1F为平行四边形， ∴＝，∴(－2,0，z)＝(－2,0,2)， ∴z＝2，∴F(0,0,2)． ∴＝(－2，－4,2)， ∴||＝2，即BF的长为2. (2)设n＝(x，y，z)为平面AEC1F的法向量，由(1)可知＝(0,4,1)，＝(－2,0,2)， 则⇒ 令x＝1，则z＝1，y＝－，∴n＝. 又＝(0,0,3)，∴点C到平面AEC1F的距离d＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$