第4练 空间角的计算-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

第4练　空间角的计算 1．直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则(　　) A．α＝θ B．α＝π－θ C．cos θ＝|cos α| D．cos α＝|cos θ| 答案　D 解析　因为α＝θ或α＝π－θ，且α∈，所以cos α＝|cos θ|. 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．130° B．60° C．40° D．50° 答案　C 解析　因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，所以它们所在直线的夹角为50°， 则直线l与平面α所成的角等于90°－50°＝40°. 3．(多选)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则这两个平面所成二面角的大小可能为(　　) A．120° B．45° C．60° D．135° 答案　BD 解析　∵cos〈m，n〉＝＝＝，∴这两个平面所成二面角的大小为45°或135°. 4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， 可知∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°，设B1C1＝1，则CC1＝＝DD1. ∴C1D1＝，则有B1(，0,0)，C(，1，)，C1(，1,0)，D(0,1，)． ∴＝(0,1，)，＝(－，0，)． ∴cos〈，〉＝＝＝. ∴异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为. 5．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝2，CC1＝，则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为(　　) A．1 B. C. D. 答案　A 解析　设线段A1B1，AB的中点分别为O，D，连接OC1，OD，则OC1⊥平面ABB1A1，以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系O－xyz，如图． 则A(－1,0，)，B1(1,0,0)，B(1,0，)，C1(0，，0)，所以＝(2,0，－)，＝(－1，，－)，因为·＝(2,0，－)·(－1，，－)＝0，所以⊥，即异面直线AB1和BC1所成的角为直角，其正弦值为1. 6.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝2，AA1＝，则直线AA1与平面AB1C1所成的角为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝，即AB⊥AC，以{，，}建立空间直角坐标系A－xyz(图略)，则A(0,0,0)，B1(0,2，)，C1(2,0，)，A1(0,0，)，＝(0,0，)，＝(0,2，)，＝(2,0，)．设平面AB1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则由得令x＝1，则y＝1，z＝－，所以n＝.设直线AA1与平面AB1C1所成角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝，θ∈，所以θ＝. 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉＝________.异面直线CM与D1N所成角的余弦值是________． 答案　　 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2. 则C(0,2,0)，M(2,0,1)，D1(0,0,2)，N(2,2,1)． ∴＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)． cos〈，〉＝＝－.故异面直线CM与D1N所成角的余弦值是. ∴sin〈，〉＝. 8．如图，在空间直角坐标系D－xyz中，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，则二面角B1－A1B－E的余弦值为________． 答案　 解析　设AD＝1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，A(1,0,0)．因为E，F分别为C1D1，A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以＝(－1,1,0)，＝(0,2，－2)．设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则即 取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1,1,1)．又因为DA⊥平面A1B1B，所以＝(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cos〈m，〉＝＝＝.因为二面角B1－A1B－E为锐二面角，所以二面角B1－A1B－E的余弦值为. 9.如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为________． 答案　 解析　以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系O－xyz轴， 如图，设AB＝a，则OP＝a， 则O(0,0,0)，P，B，C，D， 所以＝， ＝，＝， 设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则可求得平面PBC的一个法向量n＝，设直线OD与平面PBC所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为. 10．在空间中，已知平面α过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy所成二面角的大小为45°，则a＝________. 答案　 解析　易得平面xOy的一个法向量为n＝(0,0,1)．设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，又＝(－3,4,0)，＝(－3,0，a)，则即即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝.而cos〈n，u〉＝＝， 又∵a>0，∴a＝. 11．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°. (1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； (2)求二面角A－A1D－B的正弦值． 解　在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E. 因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD. 如图，以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系A－xyz. 因为AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°，所以AE＝，BE＝1， 则A(0,0,0)，B(，－1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0,0，)，C1(，1，)． (1)＝(，－1，－)，＝(，1，)． 则cos〈，〉＝＝＝－. 因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为. (2)由题意知平面A1DA的一个法向量为＝(，0,0)． 设m＝(x，y，z)为平面A1BD的法向量， 又＝(，－1，－)，＝(－，3,0)， 则即 不妨取x＝3，则y＝，z＝2， 所以m＝(3，，2)为平面A1BD的一个法向量， 从而cos〈，m〉＝＝＝. 设二面角A－A1D－B的平面角为θ， 因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝＝＝. 因此二面角A－A1D－B的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$