第3练 空间向量与线面的位置关系-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

第3练　空间向量与线面的位置关系 1．已知A(0,1,1)，B(－1,1,1)，C(1,0,0)，则平面ABC的一个法向量为(　　) A．(0,1，－1) B．(－1,0,1) C．(1,1,1) D．(－1,0,0) 答案　A 解析　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，由＝(－1,0,0)，＝(1，－1，－1)，可得 即令y＝1，解得x＝0，z＝－1，所以n＝(0,1，－1)． 2．已知两平行直线的方向向量分别为a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4,2－2m，2－2m)，则实数m的值为(　　) A．1 B．3 C．1或3 D．以上答案都不正确 答案　C 解析　由题意知a∥b.因为b＝(4,2－2m，2－2m)≠0，所以a∥b的充要条件是a＝λb， 即显然m＝1符合题意，当m≠1时， 由m－1＝λ(2－2m)，得λ＝－， 代入4－2m＝4λ，解得m＝3. 综上，实数m的值为1或3. 3．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　∵＝(－3，－2，－5)，＝(2,6,4)，＝(－1,4，－1)， ∴·＝－3×(－1)＋(－2)×4＋(－5)×(－1)＝0， ∴AB⊥AC.又||≠||∴△ABC是直角三角形． 4．已知A(1,2,3)，B(2,1,4)是直线AB上两点，单位向量e是直线AB的方向向量，则e等于(　　) A．(1，－1,1) B．(1，－1,1)或(－1,1，－1) C.或 D. 答案　C 解析　因为＝(1，－1,1)，所以e＝±＝±×(1，－1,1)， 即e＝或. 5．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　当a，b不共线时，由c·a＝0且c·b＝0，可推出l⊥α，当a，b为共线向量时，由c·a＝0且c·b＝0，不能够推出l⊥α，所以c·a＝0且c·b＝0不是l⊥α的充分条件； 若l⊥α，则一定有c·a＝0且c·b＝0，所以c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的必要条件． 6．(多选)在空间直角坐标系O－xyz中，平面α的法向量n＝(2,2,1)，直线l的方向向量为m，则下列说法正确的是(　　) A．x轴一定与平面α相交 B．平面α一定经过点O C．若m＝，则l⊥α D．若m＝(－1,0,2)，则l∥α 答案　AC 解析　不妨设x轴的方向向量为a＝(1，0，0)，则a·n＝(1，0，0)·(2,2,1)＝2≠0，故x轴一定与平面α相交，A正确；平面α不一定经过点O，B错误；因为(2,2,1)＝－2，即n＝－2m，故l⊥α，C正确；因为m·n＝(－1，0,2)·(2,2,1)＝－2＋2＝0，所以m⊥n，所以l∥α或l在平面α内，D错误． 7．在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(1，－2,3)，B(2,1，－1)，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为________． 答案　 解析　设点C的坐标为(x，0，z)，则＝(x－1,2，z－3)，＝(1,3，－4)， 因为与共线，所以＝＝， 解得所以点C的坐标为. 8．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________. 答案　3 解析　∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v. ∴(1,3，z)·(3，－2,1)＝0， 即3－6＋z＝0，解得z＝3. 9．若向量a＝(－1,2，－4)，b＝(2，－2,3)是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量m＝(2,3,1)，则l与α的位置关系是________(填“垂直”“平行”“相交但不垂直”)． 答案　相交但不垂直 解析　设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则 即解得令z＝2， 则n＝(2,5,2)． 因为m·n＝2×2＋3×5＋1×2≠0且m与n不平行，所以l与α相交但不垂直． 10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P为线段D1B上的动点，M，N分别为棱BC，AB的中点，若DP∥平面B1MN，则＝________. 答案　 解析　如图所示， 以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系D－xyz.设正方体ABCD－A1B1C1D1边长为2，可得D(0，0,0)，D1(0，0，2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，M(1,2,0)，N(2,1,0)， 则＝(2,2，－2)， 设＝λ，0<λ<1，所以＝λ＝(2λ，2λ，－2λ)，所以P(2λ，2λ，2－2λ)， 又＝(2λ，2λ，2－2λ).＝(－1,0，－2)，＝(0，－1，－2)， 设平面B1MN的一个法向量n＝(x，y，x)，则有即 不妨令x＝－2，则n＝(－2，－2,1)． 因为DP∥平面B1MN，所以·n＝(2λ，2λ，2－2λ)·(－2，－2,1)＝－4λ－4λ＋2－2λ＝0， 解得λ＝，即＝. 11．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2.在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成的角为30°.求证： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD. 证明　以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4， ∴C(0,0,0)，D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M， ∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝. (1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的法向量， 则即 令y＝2，得n＝(－，2,1)， ∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0. ∴n⊥. 又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD. (2)如图，取AP的中点E，连接BE，则E(，2,1)，＝(－，2,1)． ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. 又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0， ∴⊥，即BE⊥DA. 又∵PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD. ∵BE⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD. 学科网（北京）股份有限公司 $$