第2练 空间向量的坐标表示-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

第2练　空间向量的坐标表示 1．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则不能与a，b构成空间的一个基底的是(　　) A. B. C. D.或 答案　C 解析　∵＝(a－b)，∴与a，b共面， ∴a，b，不能构成空间的一个基底． 2．已知i，j，k分别是空间直角坐标系O－xyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则点B的坐标是(　　) A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定 答案　A 解析　由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1,1，－1)． 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且＝＋m－n，则m＋n等于(　　) A. B．0 C．－2 D．－ 答案　B 解析　根据空间向量基本定理，有＝＋＋， 所以m＝，－n＝，即n＝－，则m＋n＝0. 4．(多选)若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则(　　) A．cos〈a，b〉＝－ B．a⊥b C．a∥b D．|a|＝|b| 答案　AD 解析　∵向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)， ∴|a|＝，|b|＝，∴D正确； 又a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，∴B错误； 很明显a，b不共线，∴C错误； ∵cos〈a，b〉＝＝－，∴A正确． 5．若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，(a＋λb)⊥a，则实数λ的值是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－2 答案　D 解析　∵a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)， ∴a＋λb＝(λ，1＋λ，－1)． ∵(a＋λb)⊥a，∴(a＋λb)·a＝0， 即1＋λ＋1＝0，∴λ＝－2. 6．向量a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，d＝(1,0，－1)中，共面的三个向量是(　　) A．a，b，c B．b，c，d C．c，d，a D．d，a，b 答案　D 解析　对于A，若a，b，c共面，则a＝xb＋yc，即(1,1,0)＝(0，x，x)＋(y，0，y)， 即y＝1，x＝1，x＋y＝0，显然不存在x，y满足题意，故a，b，c不共面； 同理，B，C中的三个向量也不共面； 对于D，若d，a，b共面，则d＝xa＋yb，即(1,0，－1)＝(x，x，0)＋(0，y，y)， 即x＝1，x＋y＝0，y＝－1，故存在x＝1，y＝－1满足题意，则d，a，b共面． 7．已知点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________． 答案　 解析　点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)， ∴线段AB在yOz平面上的射影长 A′B′＝＝. 8．已知点M1(2,5，－3)，M2(3，－2，－5)，O为坐标原点，设在线段M1M2上的一点M满足＝4，则向量的坐标为________． 答案　 解析　设M(x，y，z)，则＝(1，－7，－2)， ＝(3－x，－2－y，－5－z)． 又∵＝4，∴ 解得 9．已知a＝(3,4,5)，e1＝(2，－1,1)，e2＝(1,1，－1)，e3＝(0，3,3)，若a＝xe1＋ye2＋ze3，则x＝______，y＝________，z＝________. 答案　　　 解析　由题设知a＝3i＋4j＋5k，e1＝2i－j＋k，e2＝i＋j－k，e3＝3j＋3k， 又a＝xe1＋ye2＋ze3， 所以3i＋4j＋5k＝x(2i－j＋k)＋y(i＋j－k)＋z(3j＋3k)＝(2x＋y)i＋(－x＋y＋3z)j＋(x－y＋3z)k， 所以解得 10.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，G，E，D分别是棱A1B1，CC1，AC的中点，F是棱AB上的点，若·＝－1，则线段DF的长度为________． 答案　 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， 则G(1,0,2)，E(0,2,1)，D(0,1,0)，故＝(－1,1，－2)． 又F是棱AB上的点，所以设F(a，0,0)， 则＝(a，－2，－1)， 因为·＝－1，所以－a－2＋2＝－1，解得a＝1. 所以F(1,0,0)， 故DF＝＝. 11．已知向量a＝(x，1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b， (1)求x，y，z的值； (2)求向量a＋c与b＋c所成角的余弦值． 解　(1)已知a＝(x，1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)， 因为a∥b，设存在实数λ，使得a＝λb， 所以则 因为b⊥c，所以b·c＝3＋y－2z＝0，则z＝1， 所以 (2)由(1)知a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)． 所以a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)， 所以(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5， |a＋c|＝＝，|b＋c|＝＝， 所以cos〈a＋c，b＋c〉＝＝. 所以向量a＋c与b＋c所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$