第8章 再练1课(范围：§8.1～§8.2)-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

再练一课(范围：§8.1～§8.2) 一、单项选择题 1．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　) A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6 答案　A 解析　记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)＝＝＝0.2， 所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2. 2．设随机变量X的概率分布为 X －1 0 1 P 若Y＝2X＋2，则D(Y)等于(　　) A．－ B. C．2 D．4 答案　C 解析　E(X)＝－1×＋0×＋1×＝0，D(X)＝(－1－0)2×＋(0－0)2×＋(1－0)2×＝， 则D(Y)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝4×＝2. 3．设随机变量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，又设随机变量η＝2ξ－1，则P(η<6)等于(　　) A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 答案　A 解析　因为随机变量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10， 所以P(ξ＝i)＝(i＝1,2,3，…，10)， 所以η＝2ξ－1等可能的取1,3,5,7，…，19， 则P(η＝j)＝(j＝1,3,5，…，19)， 所以P(η<6)＝P(η＝1)＋P(η＝3)＋P(η＝5)＝0.3. 4．如图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是(　　) A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567 答案　B 解析　记事件A表示“清明节当天下雨”，事件B表示“第二天下雨”， 由题意可知，P(A)＝0.9，P(AB)＝0.63， 所以P(B|A)＝＝＝0.7. 5．若随机变量X的概率分布为 X 0 1 P 0.2 m 已知随机变量Y＝aX＋b(a，b∈R，a>0)，且E(Y)＝10，D(Y)＝4，则a与b的值为(　　) A．a＝10，b＝3 B．a＝3，b＝10 C．a＝5，b＝6 D．a＝6，b＝5 答案　C 解析　由随机变量X的概率分布可知， m＝1－0.2＝0.8， ∴E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8， D(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16， ∴E(Y)＝aE(X)＋b＝10，D(Y)＝a2D(X)＝4， 即0.8a＋b＝10,0.16a2＝4，解得a＝5，b＝6. 6．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，X，Y的概率分布分别是 X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 Y 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 据此判定(　　) A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好 C．甲与乙质量相同 D．无法判定 答案　A 解析　E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6， E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7. 由于E(Y)>E(X)， 故甲比乙质量好． 二、多项选择题 7．已知随机变量X的概率分布是 X 1 2 3 P a b 若E(X)＝，则(　　) A．a＝ B．b＝ C．D(X)＝ D．D(X)＝ 答案　ABC 解析　由题意得a＋b＝，① 由E(X)＝＋2a＋3b＝，得2a＋3b＝，② 联立①②，解得a＝，b＝. 所以D(X)＝2×＋2×＋2×＝. 8．爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为，则(　　) A．事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥 B．“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为 C．表演成功的环节个数的均值为3 D．在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为 答案　BCD 解析　事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”可以同时发生，故不互斥，A错误； “放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为×＝，B正确； 记表演成功的环节个数为X，则X～B，均值为4×＝3，C正确； 记事件M：“表演成功的环节恰为3个”，事件N：“迎新春环节表演成功”． P(NM)＝C×3×＝，P(M)＝C×3×＝， 由条件概率公式得P(N|M)＝＝，D正确． 三、填空题 9．桌子上放有5张学生的期中考试数学卷，有3张在130分以上，2张在90分以下，老师为了准确了解学生情况，每次任取一张，不放回地取两次，若第一次取到130分以上的一张，则第二次取到90分以下的一张试卷的概率为________． 答案　 解析　记事件A表示“第一次取到的是130分以上试卷”，事件B表示“第二次取到的是90分以下试卷”． 事件A发生所包含的样本点数n(A)＝3×4＝12， 由题意可得，事件AB发生所包含的样本点数n(A∩B)＝3×2＝6，所以P(B|A)＝. 10．下列命题中，正确的命题序号为________． ①已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝； ②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变； ③某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B(10,0.8)，则当X＝8时概率最大． 答案　②③ 解析　根据二项分布的均值和方差的公式， 可得E(X)＝np＝30，D(X)＝np(1－p)＝20， 解得p＝，所以①错误； 根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以②正确； ∵在10次射击中，击中目标的次数X～B(10，0.8)，∴P(X＝k)＝C×0.8k×0.210－k， 当k≥1且k∈N*时， ＝＝， 由＝≥1得，1≤k≤， 又k∈N*， ∴1≤k≤8，k∈N*， 即当k＝8时，P(X＝8)最大，所以③正确． 11.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为______． 答案　 解析　根据题意易知X＝0,1,2,3，概率分布为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝. 12．如果一个数含有正偶数个数字8，就称它为“优选数”(如188,38 888等)，否则就称它为“非优选数”，从由数字0,1,2，…，9共10个数字组成的四位数中任意抽取10个数，随机变量X表示抽到的“优选数”的个数，则E(X)＝________. 答案　 解析　当四位数中含有两个8时，若8不在首位，则共有C×8×9＝216(个)数，若8在首位，则共有C×9×9＝243(个)数；当四位数中含有四个8时，只有一种结果，所以从由数字0,1,2，…，9组成的四位数中，“优选数”共有460个，X可能取的值为0,1，2，…，9，10，由题意知随机变量X服从超几何分布，故E(X)＝＝＝. 四、解答题 13．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求： (1)随机变量ξ的概率分布； (2)随机变量ξ的均值． 解　(1)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4. 则P(ξ＝0)＝4＝， P(ξ＝1)＝C××3＝， P(ξ＝2)＝C×2×2＝， P(ξ＝3)＝C×3×＝， P(ξ＝4)＝4＝. 从而ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 4 P (2)由(1)得ξ的均值为 E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 14．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2个球放入乙盒，再从乙盒任取2个球， (1)求从乙盒取出2个红球的概率； (2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出2个红球的概率． 解　(1)设事件A1表示“从甲盒取出2个红球”； A2表示“从甲盒取出2个白球”； A3表示“从甲盒取出1个白球1个红球”； B表示“从乙盒取出2个红球”． 则A1，A2，A3两两互斥，且A1＋A2＋A3＝Ω，所以 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝. (2)P(A1|B)＝＝＝＝. 15．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X. (1)求X的概率分布； (2)求1件产品的平均利润(即X的均值)； (3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 解　(1)X的所有可能取值为6,2,1，－2. P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25， P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02. 故X的概率分布为 X 6 2 1 －2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)． (3)设技术革新后的三等品率为x， 则此时1件产品的平均利润为 E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)． 依题意知，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73， 解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%. 学科网（北京）股份有限公司 $$