第6章 习题课 空间向量应用的综合问题-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

习题课　空间向量应用的综合问题 [学习目标]　通过对空间向量的学习，能熟练利用空间向量求点、线、面间的距离、空间角及解决有关探索性问题． 一、利用空间向量求空间角 例1　如图，PA⊥平面ABCD，CF∥AP，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AP＝BC＝2. (1)求直线CP与平面BDP所成角的正弦值； (2)若二面角P－BD－F的余弦值为，求线段CF的长． 解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(－1，－2,2)． 设n＝(x1，y1，z1)为平面BDP的法向量， 则 即 不妨令z1＝1，可得n＝(2,2,1)． 因此有cos〈，n〉＝＝－. 所以直线CP与平面BDP所成角的正弦值为. (2)设m＝(x2，y2，z2)为平面BDF的法向量，CF＝h， 则即 不妨令y2＝1，可得m＝. 由题意，有|cos〈m，n〉|＝＝＝， 解得h＝.经检验，符合题意．所以线段CF的长为. 反思感悟　运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤 (1)建立恰当的空间直角坐标系． (2)求出相关点的坐标． (3)写出向量坐标． (4)结合公式进行论证、计算． (5)转化为几何结论． 跟踪训练1　如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，AF⊥DF，AF＝2FD，∠DFE＝∠CEF＝45°. (1)求异面直线BC，DF所成角的大小； (2)求二面角D－BE－C的余弦值． 解　因为四边形ABEF为正方形，AF⊥DF， 所以AF⊥平面DCEF. 又∠DFE＝∠CEF＝45°， 所以在平面DCEF内作DO⊥EF，垂足为点O， 以O为坐标原点，OF所在的直线为x轴， OD所在的直线为z轴建立空间直角坐标系(如图所示)． 设OF＝a，因为AF＝2FD， 所以DF＝a，AF＝4a，CD＝2a. (1)D(0,0，a)，F(a,0,0)，B(－3a,4a,0)，C(－2a,0，a)． 则＝(a，－4a，a)，＝(a,0，－a)， 设向量，的夹角为θ， 则cos θ＝＝0， 所以异面直线BC，DF所成角为. (2)因为E(－3a,0,0)，＝(a，－4a，a)， ＝(0，－4a,0)，＝(－3a,0，－a)， 设平面DBE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 由得 取x1＝1得平面DBE的一个法向量为n1＝(1,0，－3)， 设平面CBE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 由 得 取x2＝1得平面CBE的一个法向量为n2＝(1,0，－1)， 则cos〈n1，n2〉＝＝， 由图可知，二面角D－BE－C为锐二面角， 所以二面角D－BE－C的余弦值为. 二、利用空间向量求距离 例2　已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离． 解　建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0,0,2)，E(4，－2，0)，F(2，－4,0)，B(4,0,0)， ∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)，＝(0，－2,0)． 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)． 由得 ∴x＝－y，z＝－3y. 取y＝1，则n＝(－1,1，－3)． ∴点B到平面EFG的距离d＝ ＝＝. 反思感悟　求点P到平面α的距离的三个步骤 (1)在平面α内取一点A，确定向量的坐标表示． (2)确定平面α的法向量n. (3)代入公式d＝求解． 跟踪训练2　在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CC1的中点． (1)求证：AD∥平面A1EFD1； (2)求直线AD与平面A1EFD1间的距离． (1)证明　因为ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以AD∥A1D1. 又A1D1⊂平面A1EFD1，AD⊄平面A1EFD1， 所以AD∥平面A1EFD1. (2)解　如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0,0,0)，D1(0,0，a)，A1(a，0，a)，F， 所以＝，＝，＝(a,0,0)． 设n＝(x，y，z)是平面A1EFD1的一个法向量， 则 所以 取z＝1，得y＝， 则n＝， 点D到平面A1EFD1的距离 d＝＝＝a， 所以直线AD与平面A1EFD1间的距离是a. 三、利用空间向量解决探索性问题 例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝2，PA＝2. (1)取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB； (2)求直线AC与PD所成角的余弦值； (3)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M－AC－D的大小为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由． (1)证明　取BC的中点E，连接DE，交AC于点O，连接ON，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－1,0)，B(2，－1,0)，C(0,1,0)，D(－1,0,0)，P(0，－1,2)． ∵点N为PC的中点， ∴N(0,0,1)， ∴＝(1,0,1)． 设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由＝(0,0,2)，＝(2,0,0)， 可得n＝(0,1,0)， ∴·n＝0. 又∵DN⊄平面PAB，∴DN∥平面PAB. (2)解　由(1)知，＝(0,2,0)，＝(－1,1，－2)． 设直线AC与PD所成的角为θ， 则cos θ＝＝＝. (3)解　存在．设M(x，y，z)，且＝λ，0<λ<1， ∴∴M(－λ，λ－1,2－2λ)． 设平面ACM的一个法向量为m＝(a，b，c)， 由＝(0,2,0)，＝(－λ，λ，2－2λ)， 可得m＝(2－2λ，0，λ)， 由图知平面ACD的一个法向量为u＝(0,0,1)， ∴|cos〈m，u〉|＝＝， 解得λ＝或λ＝2(舍去)． ∴M，m＝. ∴＝， 设BM与平面MAC所成的角为φ， 则sin φ＝|cos〈，m〉|＝＝， ∴φ＝30°. 故存在点M，使得二面角M－AC－D的大小为45°，此时BM与平面MAC所成的角为30°. 反思感悟　(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等． (2)对于位置探索型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数． 跟踪训练3　如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l. (1)证明：直线l⊥平面PAC； (2)直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由． (1)证明　∵E，F分别是PC，PB的中点， ∴BC∥EF， 又EF⊂平面EFA，BC⊄平面EFA， ∴BC∥平面EFA， 又BC⊂平面ABC，平面EFA∩平面ABC＝l， ∴BC∥l. ∵BC⊥AC，平面PAC∩平面ABC＝AC，平面PAC⊥平面ABC，∴BC⊥平面PAC， ∴l⊥平面PAC. (2)解　以点C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,4,0)，P(1,0，)， E，F， 故＝，＝(0,2,0)． 设Q(2，b,0)，平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)， 则 取z＝，得平面AEF的一个法向量m＝(1,0，)． 又＝(1，b，－)，则|cos〈，〉|＝＝，|cos〈，m〉|＝＝， 依题意，得|cos〈，〉|＝|cos〈，m〉|， ∴b＝±1. ∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，AQ的长为1. 1．知识清单： (1)利用空间向量求空间角． (2)利用空间向量求距离． (3)利用空间向量解决探索性问题． 2．方法归纳：坐标法、转化化归． 3．常见误区：对于有限制条件的探索性问题求解时易忽视参数的范围． 1．在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin α的值是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如图，建立空间直角坐标系，易求得点D，平面AA1C1C的一个法向量是n＝(1,0,0)，∴sin α＝|cos〈n，〉|＝＝. 2.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为(　　) A. B．－ C．－ D. 答案　A 解析　不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，SA，SB，SC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系S－xyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，M，N. 因为＝，＝， 所以||＝，||＝，·＝－， cos〈，〉＝＝－， 因为异面直线所成的角的范围为， 所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为. 3．已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为________． 答案　 解析　取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系． 设BC＝1，则A， B，D. 所以＝， ＝， ＝. ＝为平面BCD的一个法向量． 设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)， 所以cos〈n，〉＝，所以sin〈n，〉＝. 故二面角A－BD－C的正弦值为. 4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________． 答案　 解析　连接GD1，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，则D1(0,0,2)，F(1,1,0)，G(0,2,1)，于是有＝(1，－1，－1)，＝(0，－2,1)， 所以cos〈，〉＝＝， sin〈，〉＝， 所以点D1到直线GF的距离为 d＝||sin〈，〉＝. 1.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，AB＝PA，PA⊥底面ABCD，∠ABC＝，E是PC上任一点，AC∩BD＝O. (1)求证：平面EBD⊥平面PAC； (2)若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值． (1)证明　在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形， 所以AC⊥BD， 又因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD， 所以PA⊥BD， 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC， 因为BD⊂平面EBD， 所以平面EBD⊥平面PAC. (2)解　取BC的中点F，连接AF， 因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝， 所以△ABC为等边三角形， 所以AF⊥BC，所以AF⊥AD， 如图，建立空间直角坐标系，令AB＝PA＝2， 则D(0,2,0)，C(，1,0)，B(，－1,0)，P(0,0,2)， E， 所以＝，＝(0,2,0)， ＝， 设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)， 所以 即 令x＝2，则y＝0，z＝， 所以n＝(2,0，)， 设直线ED与平面EBC所成角为θ， 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝ ＝＝， 所以直线ED与平面EBC所成角的正弦值为. 2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°. (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若二面角D－PC－A的余弦值为，求点A到平面PBC的距离． (1)证明　∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴PA⊥BC，∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥AC，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. (2)解　设AP＝h，取CD的中点E，则AE⊥CD， ∴AE⊥AB. 又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE，PA⊥AB， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，P(0,0，h)，C， D，B(0,2,0)， ＝，＝(0,1,0)， 设平面PDC的法向量n1＝(x1，y1，z1)， 则 即 取x1＝h，∴n1＝. 由(1)知平面PAC的一个法向量为＝， ∴|cos〈n1，〉|＝＝， 解得h＝， 同理可求得平面PBC的一个法向量n2＝(3，，2)， 所以点A到平面PBC的距离为 d＝＝＝. 3．如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点． (1)求异面直线AB与CE所成角的大小； (2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值． 解　(1)∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB⊂平面ABDE，∴DB⊥平面ABC. ∵BD∥AE， ∴AE⊥平面ABC. 如图所示，以点C为坐标原点，分别以CA，CB所在的直线为x，y轴，以过点C且与AE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系． ∵AC＝BC＝4，∴C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(4,0,4)． ∴＝(－4,4,0)，＝(4,0,4)． 设直线AB与CE所成角α， ∴cos α＝|cos〈，〉|＝＝， ∴异面直线AB与CE所成角的大小为. (2)由(1)知O(2,0,2)，D(0,4,2)，M(2,2,0)． ∴＝(0,4,2)，＝(－2,4,0)，＝(－2,2,2)． 设平面ODM的法向量为n＝(x，y，z)， 则由可得 令x＝2，则y＝1，z＝1，∴n＝(2,1,1)． 设直线CD与平面ODM所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝， ∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为. 4.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且＝. (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)求二面角F－AE－P的余弦值； (3)设点G在PB上，且＝.判断直线AG是否在平面AEF 内，说明理由． (1)证明　因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD. 又AD⊥CD，AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD. (2)解　过A作AD的垂线交BC于点M. 因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥AM，PA⊥AD. 以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(2，－1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)． 因为E为PD的中点， 所以E(0,1,1)． 所以＝(0,1,1)，＝(2,2，－2)，＝(0,0,2)． 所以＝＝， ＝＋＝. 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，则y＝－1，x＝－1. 于是n＝(－1，－1,1)为平面AEF的一个法向量． 易得平面PAD的一个法向量为p＝(1,0,0)， 则cos〈n，p〉＝＝－. 由题意知，二面角F－AE－P为锐二面角， 所以其余弦值为. (3)解　直线AG在平面AEF内．理由如下： 因为点G在PB上，且＝，＝(2，－1，－2)， 所以＝＝， ＝＋＝. 由(2)知，平面AEF的一个法向量n＝(－1，－1,1)，所以·n＝－＋＋＝0， 所以直线AG在平面AEF内． 学科网（北京）股份有限公司 $$