第6章 空间向量与立体几何 章末检测试卷-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

章末检测试卷一(第6章) (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋－等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　＋＋－＝＋＝. 2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(1,3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　若向量a，b，c共面，则c＝xa＋yb，其中x，y∈R，即(1,3，λ)＝(2x，－x,3x)＋(－y,4y，－2y)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)， 则 解得 3.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝1∶4，则用a，b，c表示向量的结果是(　　) A.a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b－c D.a＋b－c 答案　D 解析　由题意可得，＝－＝－(＋)．∵＝a＋b，＝b＋c，∴＝a＋b－c. 4．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD的形状为(　　) A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 答案　C 解析　∵M为BC中点，∴＝(＋)． ∴·＝(＋)· ＝·＋·＝0. ∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形． 5．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)， 所以2a－b＝(4,2n－1,2)． 因为2a－b与b垂直， 所以(2a－b)·b＝0，所以－8＋2n－1＋4＝0， 解得n＝，所以a＝， 所以|a|＝＝. 6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(　　) A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2) C．(2，－2,1) D．(1,2，－2) 答案　B 解析　设正方体的棱长为2， 则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(1,0,2)， 所以＝(0,2,1)，＝(－1,0,2)． 设向量n＝(x，y，z)是平面AEF的法向量， 则取y＝1，得x＝－4，z＝－2，则n＝(－4,1，－2)是平面AEF的一个法向量．结合其他选项，检验可知只有B选项是平面AEF的法向量． 7.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为(　　) A．1 B．2 C. D. 答案　C 解析　||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos 120°＝2. ∴||＝. 8．如图，在四棱锥S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，SD＝CD，AB＝AD，CD＝2AD，M是BC的中点，N是线段SA上的点，设MN与平面SAD所成角为α，则sin α的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　以D为坐标原点，DA，DC，DS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设DA＝2，则D(0,0,0)，S(0,0,4)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，M(1,3,0)，所以＝(2,0，－4)．设＝λ(0≤λ≤1)，则N(2λ，0，4－4λ)，则＝(2λ－1，－3,4－4λ)．平面SAD的一个法向量为＝(0,4,0)， 所以sin α＝＝. 因为0≤λ≤1，所以当λ＝，即SN＝9NA时，sin α取得最大值为. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．空间四个点O，A，B，C，{，，}为空间的一个基底，则下列说法正确的是(　　) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 答案　ACD 解析　若O，A，B，C四点共面，则，，共面，则{，，}不可能为空间的一个基底，故A，D正确，B不正确；若O，A，B，C中有三点共线，则四点一定共面，故C正确． 10.如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到平面AED1的距离为d，直线DE与平面AED1所成的角为θ，二面角D1－AE－D的平面角为α，则(　　) A．DF⊥平面AED1 B．d＝ C．sin θ＝ D．cos α＝ 答案　BCD 解析　以A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)， 则A(0,0,0)，E(2,1,0)，D(0,2,0)，D1(0,2,2)，A1(0,0,2)，F(2,0,1)， ∴＝(2,1,0)，＝(0,2,2)，＝(2，－1,0)，＝(2，－2,1)． 设平面AED1的法向量为m＝(x，y，z)， 则由 得 令x＝1，则y＝－2，z＝2， 故m＝(1，－2,2)． ∵＝(2，－2,1)，不存在λ使m＝λ， 即与m不共线， ∴DF与平面AED1不垂直，故A错误； 又∵＝(0,0,2)， ∴d＝＝＝，故B正确； 又＝(2，－1,0)． ∴sin θ＝|cos〈，m〉|＝ ＝，故C正确； 又＝(0,0,2)为平面AED的一个法向量， 由图知α为锐角， ∴cos α＝＝＝，故D正确． 11．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE的值可能是(　　) A．a B.a C．2a D.a 答案　AC 解析　以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D，B1(0,0,3a)，C(0，a,0)． 设点E的坐标为(a,0，z)(0≤z≤3a)， 则＝， ＝(a，－a，z)，＝(a,0，z－3a)． 由CE⊥平面B1DE，得CE⊥DE，CE⊥B1E， 故 即 解得z＝a或z＝2a，即AE＝a或2a. 12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则(　　) A．直线BD1⊥平面A1C1D B．三棱锥P－A1C1D的体积为定值 C．异面直线AP与A1D所成的角的取值范围是 D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 答案　ABD 解析　对于选项A，连接B1D1(图略)，由正方体可得A1C1⊥B1D1，且BB1⊥平面A1B1C1D1， 则BB1⊥A1C1，所以A1C1⊥平面BD1B1， 故A1C1⊥BD1； 同理，连接AD1，易证得A1D⊥BD1， 则BD1⊥平面A1C1D，故A正确； 对于选项B，＝， 因为点P在线段B1C上运动， 所以＝A1D·AB，面积为定值， 且C1到平面A1PD的距离即为C1到平面A1B1CD的距离，也为定值，故体积为定值，故B正确；对于选项C，当点P与线段B1C的端点重合时，AP与A1D所成的角取得最小值为60°，故C错误； 对于选项D，因为直线BD1⊥平面A1C1D， 所以若直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值最大，则直线C1P与直线BD1所成的角的余弦值最大，则P运动到B1C中点处，即所成的角为∠C1BD1，设棱长为1，在Rt△D1C1B中， cos∠C1BD1＝＝＝，故D正确． 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知点B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，若点E的坐标为(－2,1，m)，且点B，C′，D′，E四点共面，则实数m的值为________． 答案　1 解析　∵B(1,0,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，E(－2,1，m)， ∴＝(0,1,1)，＝(－1,1,1)，＝(－3,1，m)， 根据空间向量基本定理，存在实数x，y， 使得＝x＋y， 则有 解得m＝1. 14.如图，四面体ABCD中，E，F分别为AB，DC上的点，且AE＝BE，CF＝2DF，若∠ADB＝∠BDC＝∠ADC＝60°，且||＝4，||＝3，||＝3，则||＝________. 答案　 解析　如图所示，连接DE，设＝a，＝b，＝c， 因为＝＋，＝－＝－， ＝(＋)， 所以＝a＋b－c. ||2＝2＝a2＋b2＋c2＋a·b－a·c－b·c＝×42＋×32＋×32＋×4×3×－×4×3×－×3×3×＝，所以||＝. 15．已知在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1的边长为1，下底面ABCD的边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成的角的余弦值为________． 答案　 解析　设上、下底面中心分别为O1，O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，直线BD，AC，OO1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 因为AB＝2，A1B1＝1， 所以AC＝BD＝2，A1C1＝B1D1＝. 因为平面BDD1B1⊥平面ABCD， 所以∠B1BO为侧棱与底面所成的角， 故∠B1BO＝60°. 设棱台高为h，则tan 60°＝，h＝， 所以A(0，－，0)，D1， B1，C(0，，0)， 所以＝， ＝， 故cos〈，〉＝＝， 故异面直线AD1与B1C所成的角的余弦值为. 16.如图，有一长方形的纸片ABCD，AB的长度为4 cm，BC的长度为3 cm，现沿它的一条对角线AC把它折叠成90°的二面角，则折叠后·＝________，线段BD的长是________cm. 答案　－7　 解析　如图所示， 作DE⊥AC，BF⊥AC， 垂足分别为E，F， 则AC＝5，DE＝BF＝， AE＝CF＝，EF＝， 折叠后，DE，EF，FB的长度保持不变， 所以·＝·(＋)＝·＋·＝5×4×＋5×3×＝－7， 故||2＝(＋＋)2 ＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2· ＝||2＋||2＋||2＋0＋0＋0 ＝2＋2＋2＝， 得BD＝. 四、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)如图所示，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB，AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a＝，b＝，c＝，试以a，b，c为基向量表示出向量，并求BN的长． 解　＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋[－(＋)] ＝－＋＋. 所以＝－a＋b＋c， ||2＝2＝2 ＝(a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)＝. 所以||＝，即BN的长为. 18．(12分)已知空间内三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)． (1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S； (2)若向量a与向量，都垂直，且|a|＝，求向量a的坐标． 解　(1)∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)， ∴cos∠BAC＝＝＝， 又∵∠BAC∈(0，π)， ∴∠BAC＝， ∴S＝||||sin ＝7. (2)设a＝(x，y，z)， 由a⊥，得－2x－y＋3z＝0， 由a⊥，得x－3y＋2z＝0， 由|a|＝，得x2＋y2＋z2＝3， ∴x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1. ∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)． 19.(12分)如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边BC和AC的中点，PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点． (1)求证：AE∥平面PFQ； (2)求AE与平面PFQ间的距离． (1)证明　∵F是AC的中点，Q是CE的中点， ∴FQ∥AE，又FQ⊂平面PFQ，AE⊄平面PFQ， ∴AE∥平面PFQ. (2)解　如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系． ∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分别是BC，AC的中点， ∴A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，F(0,2,0)，E(，3,0)，Q，P(0,0,2)． 由(1)知，AE∥平面PFQ，∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离． 设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)， 则∴ 又＝(0,2，－2)， ＝， ∴∴ 令y＝1，则x＝－，z＝1， ∴平面PFQ的一个法向量为n＝(－，1,1)． 又＝(0,2,0)， ∴所求距离d＝＝. ∴AE与平面PFQ间的距离为. 20.(12分)如图所示，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°. (1)求DP与CC′所成角的大小； (2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小． 解　(1)如图所示，以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设DA＝1. 则＝(1,0,0)，＝(0,0,1)． 连接BD，B′D′. 在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H. 设＝(m，m,1)(m>0)， 由已知得〈·〉＝60°， 由·＝||||cos〈，〉， 可得2m＝. 解得m＝，所以＝. 因为cos〈，〉＝＝， 所以〈，〉＝45°， 即DP与CC′所成的角为45°. (2)由题意得，平面AA′D′D的一个法向量是 ＝(0,1,0)， 因为cos〈，〉 ＝＝， 所以〈，〉＝60°， 可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°. 21．(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1.D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1. (1)求证：CD＝C1D； (2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值； (3)求点C到平面B1DP的距离． (1)证明　如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)． 设C1D＝x，则D(0,1，x)，∵AC∥PC1，∴＝＝.∴P. ∴＝(1,0,1)，＝(0,1，x)，＝. 设平面BDA1的法向量为n1＝(a，b，c)， 则 令c＝－1，则n1＝(1，x，－1)．∵PB1∥平面BDA1，∴n1·＝1×(－1)＋x·＋(－1)×0＝0.解得x＝.故CD＝C1D. (2)解　由(1)知，平面BDA1的一个法向量n1＝. 又n2＝(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量，且cos〈n1，n2〉＝＝＝， 由图可得二面角A－A1D－B的平面角为锐角， 故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为. (3)解　由(1)知＝(1，－2,0)，＝.设平面B1DP的法向量为n3＝(a1，b1，c1)， 则 令c1＝1，可得n3＝.又＝， ∴点C到平面B1DP的距离d＝＝. 22．(12分)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD的中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置(P∉平面ABCE)． (1)证明：平面POB⊥平面ABCE； (2)若PB＝，试判断线段PB上是否存在一点Q(不含端点)，使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (1)证明　在梯形ABCD中，连接BE(图略)， ∵AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为中点， ∴四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE， ∴OB⊥AE，OD⊥AE， 即OB⊥AE，OP⊥AE，且OB∩OP＝O， OB⊂平面POB，OP⊂平面POB， ∴AE⊥平面POB. 又AE⊂平面ABCE，∴平面POB⊥平面ABCE. (2)解　由(1)可知四边形ABED为菱形， ∴AD＝DE＝2， 在等腰梯形ABCD中，AE＝BC＝2， ∴△PAE为正三角形，∴OP＝，同理OB＝， ∵PB＝，∴OP2＋OB2＝PB2，∴OP⊥OB. 由(1)可知OP⊥AE，OB⊥AE， 以O为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz， 则P(0,0，)，A(－1,0,0)，B(0，，0)，C(2，，0)，E(1,0,0)，∴＝(1,0，)，＝(0，，－)， ＝(2，，－)，＝(2,0,0)， 设＝λ(0<λ<1)， ＝＋＝＋λ＝(1，λ，－λ)， 设平面AEQ的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取y＝1，得x＝0，z＝， ∴n＝， 设直线PC与平面AEQ所成角为θ，θ∈， 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝， 即＝， 化简得4λ2－4λ＋1＝0，解得λ＝， ∴存在点Q为PB的中点时，使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为. ∵PB＝，∴PQ＝PB＝， 此时＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$