8.2.3.1 2项分布-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

8.2.3　二项分布 第1课时　二项分布 [学习目标]　1.理解n重伯努利试验的概念.2.掌握二项分布的概率表达形式.3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题． 导语 某学生走在大街上，看见路旁有一群人，他挤进去，见一板木牌上写着：只需投掷二十次，便可拥有双倍财富(恰好10次正面朝上者中奖)，他一阵窃喜：数学老师刚讲过，投硬币时，正面朝上和正面朝下为等可能事件，概率均为，20×不就是10吗？这简直是必然事件嘛！于是他走上前去，将仅有的30元押在桌上．那么这个学生的运气如何呢？ 一、n重伯努利试验 问题1　观察下面试验有什么共同的特点？ (1)投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5； (2)某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个； (3)某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次． 提示　①相同条件下的试验：5次、10次、6次； ②每次试验相互独立； ③每次试验只有两种可能的结果：发生或不发生； ④每次试验发生的概率相同，为p，不发生的概率也相同，为1－p. 知识梳理 我们把只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 注意点： 在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验． 例1　判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 解　(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验． (2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验． (3)依次抽取不是独立重复试验，因此不是n重伯努利试验． 反思感悟　n重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行． (2)每次试验相互独立，互不影响． (3)每次试验都只有两种结果，即事件发生、不发生． 跟踪训练1　(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是(　　) A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 答案　ABC 解析　A，C符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互独立事件；D是n重伯努利试验． 二、二项分布的推导 问题2　连续抛掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为p，针尖向下的概率为q，则仅出现1次针尖向上的概率是多少？ 提示　连续抛掷一枚图钉3次，就是做3重伯努利试验，用Ai(i＝1,2,3)表示“第i次掷得针尖向上”的事件，用B1表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则B1＝(A1 23)∪(1A23) ∪(12A3)．由此可得P(B1)＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p. 问题3　类似地，连续抛掷一枚图钉3次，出现k(k＝0,1,2,3)次针尖向上的概率是多少？有什么规律？ 提示　用Ai(i＝1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”， 用Bk(k＝0,1,2,3)表示事件“出现k次针尖向上”， P(B0)＝P(123)＝q3＝Cp0q3， P(B1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3) ＝3q2p＝Cp1q2， P(B2)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)＋P(A12A3)＝3qp2＝Cp2q1， P(B3)＝P(A1A2A3)＝p3＝Cp3q0， 规律：P(Bk)＝Cpkq3－k，k＝0,1,2,3. 知识梳理 二项分布 若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)． 注意点： (1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1. (2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布． 例2　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．(结果需用分数作答) (1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． 解　(1)记“甲射击3次，至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，知射击3次，相当于3重伯努利试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－3＝. (2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C×2＝，P(B2)＝C×1×＝，由于甲、乙射击相互独立， 故P(A2B2)＝×＝. 延伸探究　在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率． 解　记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3， 则P(A3)＝C××＝，P(B3)＝， 所以甲、乙均击中目标1次的概率为 P(A3B3)＝×＝. 2．在本例(2)的条件下，求甲未击中，乙击中2次的概率． 解　记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝C×2＝，P(B4)＝C×2＝，所以甲未击中，乙击中2次的概率为P(A4B4)＝×＝. 反思感悟　n重伯努利试验概率求法的三个步骤 (1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验． (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆． (3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算． 跟踪训练2　某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率都为，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求： (1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率； (3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率． 解　(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为 P＝××××＝. (2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，符合n重伯努利试验概率模型． 故所求概率为P＝C×3×2＝. (3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体，可得共有C种情况． 故所求概率为P＝C×3×2＝. 三、二项分布的简单应用 例3　高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验． (1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率； (2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布． 解　(1)至少有3次发芽成功，即包括有3次、4次、5次发芽成功．设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X. 则P(X＝3)＝C×3×2＝， P(X＝4)＝C×4×＝， P(X＝5)＝C×5×0＝， 所以至少有3次发芽成功的概率为 P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5) ＝＋＋＝. (2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P(ξ＝1)＝， P(ξ＝2)＝×＝， P(ξ＝3)＝2×＝， P(ξ＝4)＝3×＝， P(ξ＝5)＝4×1＝. 所以ξ的概率分布为 ξ 1 2 3 4 5 P 反思感悟　利用二项分布求解“至多”“至少”问题的概率，其实质是求在某一范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率． 跟踪训练3　某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的概率分布． 解　由题意可知X～B， ∴P(X＝k)＝C×k×3－k，k＝0,1,2,3， 即P(X＝0)＝C×0×3＝， P(X＝1)＝C××2＝， P(X＝2)＝C×2×＝， P(X＝3)＝C×3＝. ∴X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 1．知识清单： (1)n重伯努利试验的概念及特征． (2)二项分布的概念及表示． 2．方法归纳：数学建模． 3．常见误区：二项分布的判断错误． 1．若随机变量X～B，则P(X＝2)等于(　　) A.2×3 B.2×3 C．C×2×3 D．C×2×3 答案　D 解析　∵随机变量X～B， ∴P(X＝2)＝C×2×3. 2．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X表示取得次品的次数，则P(X≤2)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为＝.从中取3次，X为取得次品的次数，则X～B， P(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0) ＝C×2×＋C××2＋C×0×3＝. 3．在4重伯努利试验中，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在一次试验中发生的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设事件A在一次试验中发生的概率为p， 由题意得1－Cp0(1－p)4＝， 所以1－p＝，p＝. 4．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________． 答案　0.048 6 解析　P＝C×(0.1)2×(1－0.1)2＝0.048 6. 1．若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　P＝C×2×3＝. 2．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于(　　) A．C×0.88×0.22 B．C×0.82×0.28 C．0.88×0.22 D．0.82×0.28 答案　A 解析　P(X＝8)＝C×0.88×0.22. 3．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮， 有两天出现大潮的概率为C×2×＝， 有三天出现大潮的概率为C×3＝， 所以至少有两天出现大潮的概率为＋＝. 4．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有1位同学通过测试的概率为(　　) A．(1－p)n B．1－pn C．pn D．1－(1－p)n 答案　D 解析　所有同学都不能通过测试的概率为(1－p)n， 则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n. 5．(多选)随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法错误的有(　　) A．每次出现正面向上的概率为0.5 B．第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.25 C．出现n次正面向上的概率为C0.510 D．出现n次正面向上的概率为C0.5n 答案　BD 解析　对于A，每次出现正面向上的概率都是0.5，故A正确； 对于B，第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.5，故B错误； 对于C，出现n次正面向上的概率为C×0.5n×0.510－n＝C0.510，故C正确，D错误． 6．(多选)抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是(　　) A．P1＝P2＝P3＝P4 B．P3＝2P1 C．P1＋P2＋P3＋P4＝1 D．P4＝3P2 答案　CD 解析　由题意知，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4， 则P1＝3＝， P2＝3＝， P3＝C×2×＝， P4＝C××2＝， P1＝P2<P3＝P4，故A错误； P3＝3P1，故B错误； P1＋P2＋P3＋P4＝1，故C正确； P4＝3P2，故D正确． 7．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为________． 答案　4 解析　由1－Cn>0.9，得n<0.1， ∴n≥4. 8．将一枚质地均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________． 答案　 解析　正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次， 所以所求概率P＝C6＋C6＋C6＝. 9．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)： (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率． 解　(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8， 5次预报相当于5重伯努利试验． “恰有2次准确”的概率为 P＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05， 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”． 其概率为P＝C×0.25＋C×0.8×0.24＝0.006 72. 所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99. 所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99. 10．假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁时，保险公司要赔偿100万元；活过65岁时，保险公司不赔偿．已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.8.随机抽取3个投保人，设其中活过65岁的人数为X，保险公司要赔偿给这三人的总金额为Y万元． (1)指出X服从的分布； (2)写出Y与X的关系； (3)求P(Y＝300). 解　(1)不难看出，X服从参数为3,0.8的二项分布，即X～B(3，0.8). (2)因为3个投保人中，活过65岁的人数为X，则没活过65岁的人数为3－X， 因此Y＝100(3－X). (3)因为Y＝300，即100(3－X)＝300，所以X＝0， 所以P(Y＝300)＝P(X＝0)＝C×0.80×(1－0.8)3＝0.008. 11．(多选)一射手对同一目标独立地射击4次，已知至少命中1次的概率为，则下列结论中正确的是(　　) A．设此射手射击4次的命中次数为ξ，每次命中的概率为p，则ξ～B(4，p) B．设此射手射击4次的命中次数为ξ，则P(ξ≥1)＝ C．设每次命中的概率为p，则p＝或p＝ D．设每次命中的概率为p，则p＝ 答案　ABD 解析　设此射手射击4次的命中次数为ξ，每次命中的概率为p，则ξ～B(4，p)． 依题意可知P(ξ≥1)＝， 所以1－P(ξ＝0)＝1－C×(1－p)4＝， 即(1－p)4＝， 解得p＝或p＝(舍去)． 12．在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是(　　) A．[0.4,1) B．(0,0.4] C．(0,0.6] D．[0.6,1] 答案　A 解析　由题意知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2， 解得p≥0.4，又0<p<1，∴0.4≤p<1. 13．(多选)为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则下列说法正确的是(　　) A．该产品能销售的概率为 B．若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B C．若ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则P(ξ＝3)＝ D．P(X＝－80)＝ 答案　ABD 解析　该产品能销售的概率为×＝，故选项A正确； 由A可得每件产品能销售的概率为， 一箱中有4件产品，则ξ～B，故选项B正确； 由题意得P(ξ＝3)＝C×3×＝，故选项C不正确； 由题意可知X＝－80表示4件产品中有2件产品能销售，有2件产品不能销售， 所以P(X＝－80)＝C×2×2＝，故选项D正确. 14．某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是，构造数列{an}，使得an＝记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，则S4＝2的概率为________． 答案　 解析　S4＝2，即抛掷4次有3次正面1次反面，则所求概率P＝C×3×＝. 15．规定投掷飞镖3次为一轮，3次中至少两次投中8环以上的为优秀．现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投镖未在8环以上，用1表示该次投镖在8环以上；再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果．例如：“101”代表第一次投镖在8环以上，第二次投镖未在8环以上，第三次投镖在8环以上，该结果代表这一轮投镖为优秀；“100”代表第一次投镖在8环以上，第二次和第三次投镖均未在8环以上，该结果代表这一轮投镖为不优秀．经随机模拟实验产生了如下10组随机数，据此估计，该选手投掷飞镖两轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率是(　　) 101 111 011 101 010 100 100 011 111 001 A. B. C. D. 答案　B 解析　模拟实验中，总共进行了10轮，10轮中至少两次投中8环以上的有6轮，用频率估计概率可得该选手拿到优秀的概率为P＝＝，因此，该选手投掷飞镖两轮，相当于做2重伯努利试验，那么至少有一轮可以拿到优秀的概率P＝1－C0×2＝. 16．甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为.每人各投4个球，两人投篮命中的概率互不影响． (1)求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率； (2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得－1分，求乙所得分数η的概率分布． 解　(1)设“甲至多命中1个球”为事件A， “乙至少命中1个球”为事件B， 由题意得， P(A)＝4＋C×1×3＝＋＝， P(B)＝1－4＝1－＝， ∴甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. (2)乙所得分数η的所有可能取值为－4,0,4,8,12， 则P(η＝－4)＝4＝， P(η＝0)＝C×1×3＝， P(η＝4)＝C×2×2＝， P(η＝8)＝C×3×1＝， P(η＝12)＝4＝. 故η的概率分布为 η －4 0 4 8 12 P 学科网（北京）股份有限公司 $$