7.3.2 组合数的性质及应用-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

第2课时　组合数的性质及应用 [学习目标]　1.掌握组合数公式和组合数的性质.2.能运用组合数的性质进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题． 导语 某一次学校运动会中有两个特定项目：趣味投羽毛球、3 000米长跑，某班级50位同学必须参加其中一个项目且仅参加一个项目(每一位同学可以在两个项目中任选一个)，要求17人参加3 000米跑，其余人参加投羽毛球项目，假设你是班级体育委员，你能算出所有可能的报名情况吗？ 一、组合数的性质1 问题1　假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛．包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人．我们可以形成多少种队员上场方案？我们又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？ 提示　上场的方案有C，不上场的方案有C；C＝C＝56. 知识梳理 组合数的性质1：C＝C. 注意点： (1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想． (2)两边下标相同，上标之和等于下标． 例1　(1)计算：C＝________，C·C＝__________. 答案　2 024　 解析　C＝C＝2 024， C·C＝C·C＝. (2)(多选)若C＝C(n∈N*)，则n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　BD 解析　由题意得，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，即n＝5或n＝7. 反思感悟　性质“C＝C”的意义及作用 跟踪训练1　(1)若C＝C，则C等于(　　) A．1 B．10 C．11 D．55 答案　C 解析　由C＝C，得n＝6＋5＝11，C＝C＝C＝11. (2)若C＝C，则C＝____________. 答案　28 解析　由C＝C， 得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18， 解得n＝2或n＝8(舍去)， 故C＝28. 二、组合数的性质2 问题2　从问题1中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有C种选法；当体育委员未入选时，有C种选法．这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？ 提示　一样，C＝C＋C. 知识梳理 组合数的性质2：C＝C＋C. 注意点： (1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数． (2)体现了“含”与“不含”的分类思想． 例2　(1)已知m≥4，C－C＋C等于(　　) A．1 B．m C．m＋1 D．0 答案　D 解析　C－C＋C＝C＋C－C＝C－C＝0. (2)C＋C＋C＋C＋…＋C等于(　　) A．C B．C C．C D．C 答案　D 解析　C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝C. 延伸探究　若将本例(2)中式子换成“C＋C＋C＋…＋C”，则其值为多少？ 解　C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋…＋C－C ＝C＋C＋…＋C－1 ＝… ＝C＋C－1＝C－1. 反思感悟　性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形C＝C－C，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用． 跟踪训练2　(1)若C－C＝C，则n等于(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 答案　C 解析　C＝C＋C＝C， ∴n＋1＝7＋8，n＝14. (2)C＋C＋C＋…＋C等于(　　) A．C B．C C．C－1 D．C－1 答案　B 解析　C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C. 三、有限制条件的组合问题 例3　男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)既要有队长，又要有女运动员． 解　(1)第一步：选3名男运动员，有C种选法；第二步：选2名女运动员，有C种选法，故共有C·C＝120(种)选法． (2)方法一　(直接法)“至少有1名女运动员”包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分类计数原理知共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝246(种)选法． 方法二　(间接法)不考虑条件，从10人中任选5人，有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种，故“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246(种)． (3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，故不选女队长时共有C－C种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种)． 反思感悟　常见的有限制条件的组合问题及解题方法 (1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据． (2)含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以以此作为分类依据，或采用间接法求解． (3)分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解． 跟踪训练3　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． 解　(1)从中任取5人是组合问题，共有C＝792(种)不同的选法． (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36(种)不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126(种)不同的选法． (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分为两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C种选法，再从另外9人中选4人，有C种选法，共有CC＝378(种)不同的选法． 1．知识清单： (1)组合数的两个性质及性质的理解． (2)组合数在实际问题中的应用． 2．方法归纳：分类讨论、间接法． 3．常见误区：不注意组合数中m与n的限制条件；计算时不能构造组合数性质． 1．C＋C＋C等于(　　) A．C B．C C．C D．C 答案　D 解析　C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C，故选D. 2．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为(　　) A．120种 B．84种 C．52种 D．48种 答案　C 解析　(间接法)C－C＝52(种)． 3．C＋C－C＝________. 答案　0 解析　C＋C－C＝C－C＝C－C＝0. 4．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案的种数为______． 答案　96 解析　从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有C·C·C＝96(种)． 1．方程C＝C的解集为(　　) A．4 B．14 C．4或6 D．14或2 答案　C 解析　由题意知或 解得x＝4或x＝6. 2．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有(　　) A．60种 B．48种 C．30种 D．10种 答案　C 解析　从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有C种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动，有C种方法，由分步计数原理可得不同的选派方法共有C·C＝30(种)． 3．C＋C＋C＋C＋C＋C等于(　　) A．C B．C C．C D．A 答案　B 解析　因为C＋C＝C， 所以C＋C＋C＋C＋C＋C ＝C＋C＋C＋C＋C＋C ＝C＋C＋C＋C＋C ＝C＋C＋C＋C ＝C＋C＋C ＝C＋C＝C. 4．(多选)已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这9个点为顶点的三角形的个数为(　　) A．CC＋CC B．(C＋C)(C＋C) C．C－9 D．C－C－C 答案　AD 解析　(直接法)可以分为两类：a上取两点，b上取一点，则可构成的三角形的个数为CC；a上取一点，b上取两点，则可构成的三角形的个数为CC.利用分类计数原理可得以这9个点为顶点的三角形的个数为CC＋CC. (间接法)从9个点中选3个点共有C种选法，其中3点都在直线a或b上有C＋C(种)，则以这9个点为顶点的三角形的个数为C－C－C. 5．在平面直角坐标系xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有(　　) A．25个 B．36个 C．100个 D．225个 答案　D 解析　在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C×C＝15×15＝225. 6．(多选)下列等式正确的是(　　) A．C＝ B．C＝C C．C＝C＋C D．nC＝mC 答案　ABC 解析　A是组合数公式；B，C是组合数性质；C＝，C＝＝C， D选项等号两边不相等，故D错误． 7．计算C＋C＋C的值为________． 答案　126 解析　C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝＝126. 8．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有____人． 答案　2或3 解析　设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得CC＝30，n∈N*，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生有2或3人． 9．高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动． (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ (3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？ 解　(1)从余下的34名学生中选取2名， 有C＝561(种)． ∴不同的选法有561种． (2)从34名可选学生中选取3名，有C种． 或者C－C＝C＝5 984(种)． ∴不同的选法有5 984种． (3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝2 100(种)． ∴不同的选法有2 100种． (4)选取2名女生有CC种， 选取3名女生有C种， 共有CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种)． ∴不同的选法有2 555种． (5)选取3名的总数有C，共有C－C＝6 545－455＝6 090(种)． ∴不同的选法有6 090种． 10．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 解　可以分三类： 第一类，两项工作都能胜任的青年被选中且从事英语翻译工作，有CC种选法； 第二类，两项工作都能胜任的青年被选中且从事德语翻译工作，有CC种选法； 第三类，两项工作都能胜任的青年未被选中，有CC种选法． 根据分类计数原理，一共有CC＋CC＋CC＝42(种)不同的选法． 11．从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　) A．28 B．49 C．56 D．85 答案　B 解析　依题意得，满足条件的不同选法的种数为 CC＋CC＝49(种)． 12.等于(　　) A. B．101 C. D．6 答案　D 解析　＝＝＝A＝6. 13．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备________种不同的素菜．(结果用数值表示) 答案　7 解析　设餐厅还需准备x种不同的素菜． 由题意，得C·C≥200，从而有C≥20， 即x(x－1)≥40. 又x≥2，x∈N*，所以x的最小值为7. 14．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成________个平行四边形，共有________个交点． 答案　1 260　80 解析　第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有CC＝1 260(个)．第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有CC＝80(个)． 15．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为(　　) A．120 B．240 C．360 D．720 答案　B 解析　先选出3个球有C＝120(种)方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种．这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2＝240(种)方法． 16．某次足球赛，共32支球队参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行单败淘汰赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛总共进行了多少场比赛？ 解　可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛：根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出参加决赛的两支球队，共有2场；(5)决赛：两支球队比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支球队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，由分类计数原理知，共有48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛． 学科网（北京）股份有限公司 $$