6.3.4 空间距离的计算-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

6.3.4　空间距离的计算 [学习目标]　1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 导语 跳伞运动是指跳伞员乘飞机、气球等器械升至高空后跳下，或者从陡峭的山顶、高地上跳下，借助空气动力和降落伞在开伞前和开伞后完成各种规定动作，并利用降落伞减缓下降速度，最后在指定区域安全着陆的一项体育运动．它因自身的惊险和挑战性，被世人誉为“勇敢者的运动”．如图，已知跳伞员的起始高度和跳伞速度． 如果把跳伞运动员看成一个点A，如何测量他到地面的距离？ 一、点到平面的距离 问题1　如何求平面α外一点P到平面α的距离？ 提示　如图，A为平面α内任一点，过点P作PO⊥α，垂足为O， PO的长度可理解为向量在方向上的投影向量的长度． 知识梳理 若P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离d＝. 例1　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离． 解　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)， 所以＝(0,1,0)， ＝(－2,1,1)， ＝(－1，－1,2)． 设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，点A到平面EFG的距离为d， 则所以 所以 令z＝1，此时n＝(1,1,1)， 所以d＝＝＝， 即点A到平面EFG的距离为. 反思感悟　求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离． (2)在三棱锥中用等体积法求解． (3)向量法：d＝(n为平面的法向量，A为平面上一点，PA为过点A的斜线段) 跟踪训练1　如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高． 解　设正四棱柱的高为h(h>0)，建立如图所示的空间直角坐标系， 有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1，1，h)， 则＝(1,0，－h)，＝(0,1，－h)，＝(1,1,0)， 设平面AB1D1的法向量为 n＝(x，y，z)， 则 即 取z＝1，得n＝(h，h,1)， 所以点C到平面AB1D1的距离为 d＝＝＝，解得h＝2. 故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为2. 二、点到直线的距离 问题2　如图，借助于向量，如何求点P到直线l的距离PO? 提示　思路一　如问题图(1)，P到直线l的距离可转化为：向量在向量n上的投影向量的长度(其中A为l上任意一点，n为的方向向量)． 思路二　如问题图(2)，可转化为：先求向量与直线l的方向向量e的夹角φ，即φ＝〈，e〉，再借助三角函数求解． 知识梳理 若P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d＝. 设e是直线l的方向向量，记φ＝〈，e〉，则点P到直线l的距离为d＝||sin φ. 例2　如图，P为矩形ABCD所在平面外的一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离． 解　如图，分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)， ∴＝(3,0，－1)，＝(－3,4,0)． 方法一　取a＝＝(3,0，－1)，设〈a，〉＝φ， ∴cos φ＝＝ －， ∴sin φ＝， ∴点P到BD的距离d＝||·sin φ＝. 方法二　设在平面PBD内与直线BD垂直的向量n＝(x，y，z)，则由n⊥，得－3x＋4y＝0. 由n与，共面可知，存在实数m，t，使得n＝m＋t， 即(x，y，z)＝(－3m＋3t,4m，－t)， 即 所以4x＋3y＋12z＝0， 令x＝4，y＝3，z＝－， 即n＝， 故点P到BD的距离为d＝ ＝＝. 反思感悟　用向量法求点到直线距离的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系． (2)求所求点P与直线上某一点A所构成的向量||. (3)若已知直线的方向向量e，则利用公式||·sin〈，e〉求解；若已知直线的法向量n，可利用d＝求解． 跟踪训练2　如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离． 解　因为AB＝1， BC＝2，AA′＝3， 所以A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)， 所以直线A′C的方向向量＝(1,2，－3)． 方法一　因为＝(0,2,0)， 所以cos〈，〉＝，sin〈，〉＝， 所以点B到直线A′C的距离 d＝||sin〈，〉＝2×＝. 方法二　设在平面BA′C内与直线A′C垂直的向量n＝(x，y，z)， 则由n⊥得x＋2y－3z＝0. 由n与，共面可知，存在实数m，t，使得n＝m＋t， 即(x，y，z)＝m(1,2，－3)＋t(0,2,0) ＝(m,2m＋2t，－3m)， 即得z＝－3x， 令x＝1，y＝－5，z＝－3，即n＝(1，－5，－3)， 故点B到直线A′C的距离d＝＝ ＝. 三、直线(平面)到平面的距离 知识梳理 1．如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． 2．如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 例3　在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点． (1)求证：B1C∥平面A1BD； (2)求直线B1C到平面A1BD的距离． (1)证明　连接AB1交A1B于点E，连接DE. ⇒B1C∥平面A1BD. (2)解　因为B1C∥平面A1BD， 所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离． 如图，以D为坐标原点，DC，DB所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系， 则B1(0,2，3)，B(0,2，0)，A1(－1,0,3)， ＝(0,2，3)，＝(0,2，0)，＝(－1,0,3)． 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 所以即 取z＝1，得n＝(3,0,1)． 所求距离为d＝＝. 反思感悟　用向量方法研究空间距离问题的一般步骤 (1)确定法向量． (2)选择参考向量． (3)利用公式求解． 跟踪训练3　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离． 解　如图所示，建立空间直角坐标系．则A(4,0,0)，M(2,0,4)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)， 从而＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(－2,0,4)，＝(－2,0,4)． ∴＝，＝，∴EF∥MN，AM∥BF. 又EF∩BF＝F，MN∩AM＝M， ∴平面AMN∥平面EFBD. 设n＝(x，y，z)是平面AMN的一个法向量， 则 解得 取z＝1，得n＝(2，－2,1)为平面AMN的一个法向量． 设平面AMN与平面EFBD间的距离为d， ∵＝(0,4,0)， ∴d＝＝. 1．知识清单： (1)点到直线的距离． (2)点到平面的距离． (3)直线(平面)到平面的距离． 2．方法归纳：数形结合、转化法． 3．常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用．对公式推导过程的理解是应用的基础． 1．已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为(　　) A. B．1 C. D．2 答案　A 解析　∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)， ＝(1,0,0)，＝(－1,2，－2)， cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝， ∴点A到直线BC的距离为 d＝||sin〈，〉＝. 2．若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)． 可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)， 则d＝＝. 3．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，C1(0,1,0)，D(0，0,1)，A(1,0,1)，所以＝(1,0，－1)， ＝(0,1，－1)，＝(－1,0,0)，设平面A1C1D的一个法向量为m＝(x，y,1)， 则即解得 故m＝(1,1,1)， 显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝＝＝. 4．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________． 答案　 解析　如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则D(0,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，M，A(1,0,0)， ∴＝，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)． 设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则y＝z＝1，∴n＝(1,1,1)． ∴点M到平面ACD1的距离d＝＝. 又綊，故MN∥平面ACD1. 故直线MN到平面ACD1的距离为. 1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则平面α外的点P(－2,1,4)到平面α的距离为(　　) A．10 B．3 C. D. 答案　D 解析　由题意可知＝(1,2，－4)． 设点P到平面α的距离为h， 则h＝＝＝. 2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是(　　) A. B. C. D．3 答案　B 解析　∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1,1)，＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)， ∴两平面间的距离d＝＝＝. 3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系， 则A1(1,0,1)，C1(0,1,1)， ＝ ＝， 平面ABC1D1的一个法向量为＝(1,0,1)，点O到平面ABC1D1的距离d＝＝＝. 4．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是(　　) A．3 B. C. D. 答案　A 解析　以C为坐标原点，CA，CB，CP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(4,0,0)，B(0,3,0)，P，∴＝(－4,3,0)， ＝. 设φ＝〈，〉，则cos φ＝＝， ∴sin φ＝， ∴点P到斜边AB的距离d＝||·sin φ＝×＝3. 5．已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于(　　) A. B. C. D．1 答案　C 解析　因为平面α⊥平面β， 且AC⊥l，BD⊥l，故AC⊥平面β，BD⊥平面α，依题意建立空间直角坐标系如图所示，在Rt△ACD中，可得CD＝， 故A(0,0,1)，B(1，，0)，C(0,0,0)，D(0，，0)， 则＝(0,0,1)，＝(1，，0)，＝(0，，0)． 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒ 令y＝1，可得n＝(－，1,0)， 故所求距离d＝＝＝. 6.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　) A．5 B．8 C. D. 答案　C 解析　以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,12,0)，D1(0,0,5)． 设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x>0)． 设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)， 由n⊥，n⊥， 得n·＝(a，b，c)·(－x,0,0)＝－ax＝0，n·＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0， 所以a＝0，b＝c，所以可取n＝(0,5,12)． 又＝(0,0，－5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝. 因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为. 7．已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为________． 答案　 解析　因为＝(－2,0，－1)，又n与l垂直， 所以点P到l的距离为＝ ＝. 8.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(bie nao)，如图．已知在鳖臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为________． 答案　 解析　以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系， 如图，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，P(2，0,2)， C(0,2,0)，由M为PC的中点可得M(1,1,1)． ＝(1,1,1)，＝(2,0,0)， ＝(2,0,2)． 设n＝(x，y，z)为平面ABM的一个法向量， 则 即 令z＝－1，可得n＝(0,1，－1)，点P到平面MAB的距离为d＝＝. 9．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点． (1)求点M到直线AC1的距离； (2)求点N到平面MA1C1的距离． 解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)， 直线AC1的一个单位方向向量为s0＝， ＝(2,0,1)， 故点M到直线AC1的距离 d＝||sin〈，s0〉＝. (2)设平面MA1C1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取x＝1，得z＝2，故n＝(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量，因为N(1,1,0)，所以＝(－1,1，－1)， 故N到平面MA1C1的距离d＝＝ ＝. 10．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 解　(1)建立以D为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示． 则P(0,0,1)，A(1,0,0), C(0,1,0)，E，F， 所以＝， ＝，＝， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则即 令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2,2,3)， 所以点D到平面PEF的距离 d＝＝＝， 因此点D到平面PEF的距离为. (2)连接AC，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.又因为AC⊄平面PEF，EF⊂平面PEF， 所以AC∥平面PEF. 因为＝， 所以点A到平面PEF的距离 d＝＝＝. 所以直线AC到平面PEF的距离为. 11.如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，可作为x，y，z轴方向上的单位向量， 因为＝＋＋，所以＝， ＝(1,0,0)， 所以cos〈，〉＝， sin〈，〉＝， 所以点P到AB的距离 d＝||sin〈，〉＝×＝. 12．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为(　　) A.λ B. C.λ D. 答案　D 解析　以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)， 则M(2，λ，2)，D1(0,0,2)，E(2,0,1)，F(2,2,1)， ＝(－2,0,1)，＝(0,2,0)，＝(0，λ，1)． 设平面D1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝1，得n＝(1,0,2)， 所以点M到平面D1EF的距离为 d＝＝＝. 因为N为ME的中点，所以N到平面D1EF的距离为. 13．已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝为l的一个单位方向向量，则点P(4,3,2)到l的距离为________． 答案　 解析　∵＝(－2,0，－1)，n＝为l的一个单位方向向量， 设〈，n〉＝φ， ∴cos φ＝＝－. ∴sin φ＝， ∴点P到l的距离d＝||·sin φ＝×＝. 14.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________． 答案　 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)， 则＝， ＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)． 设平面ABC1的一个法向量为 n＝(x，y,1)， 则有 解得n＝， 则所求距离为＝＝. 15．已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB＝2，CC1＝2，E为B1C1的中点，F为C1D1的中点，则直线BD与EF之间的距离为________． 答案　 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，E(1,2,2)，F(0,1,2)，＝(－1，－1,0)． 直线BD与EF之间的距离即为点D到直线EF的距离． 由题意知＝(0,1,2)，设〈，〉＝θ， 则cos θ＝＝－， ∴sin θ＝， ∴d＝||sin θ＝3×＝. 即直线BD与EF之间的距离为. 16.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝2，侧棱AA1＝2，D是CC1的中点，则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1，B两点)，使得点A1到平面AED的距离为. 解　假设存在点E满足题意．以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,1)，B(0,2,0)，＝(0,0,2)， ＝(2，－2,2)． 设＝λ，λ∈(0,1)， 则E(2λ，2(1－λ)，2λ)， ＝(－2,0,1)， ＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)， 设n＝(x，y，z)为平面AED的一个法向量， 则⇒ 取x＝1，则y＝，z＝2， 即n＝为平面AED的一个法向量． 由于点A1到平面AED的距离d＝ ＝，所以＝， 又λ∈(0,1)，所以λ＝. 故存在点E，且当点E为A1B的中点时，点A1到平面AED的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$