6.1.2 空间向量的数量积-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

6.1.2　空间向量的数量积 [学习目标]　1.了解空间向量的夹角及有关概念.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法.3.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义.4.会用投影向量计算空间两个向量的数量积． 导语 在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义． 一、空间向量的夹角 问题1　平面中两个非零向量的夹角是如何定义的？ 提示　在平面中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB就是两向量的夹角． 知识梳理 定义 a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 特殊夹角 (1)如果〈a，b〉＝0，a与b同向； (2)如果〈a，b〉＝π，a与b反向； (3)如果〈a，b〉＝，a与b互相垂直，记作a⊥b. 例1　(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　) A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要且不充分条件． (2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 解　连接BD(图略)， 则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′， 所以〈，〉＝〈，〉＝45°，〈，〉＝180°－〈，〉＝135°，〈，〉＝∠D′AC＝60°，〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°，〈，〉＝〈，〉＝90°. 反思感悟　(1)空间任意两个向量可平移到共同起点形成夹角． (2)对空间任意两个非零向量a，b有①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉． 跟踪训练1　在正四面体ABCD中，与的夹角等于(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 答案　D 解析　〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60° ＝120°. 二、空间向量的数量积 知识梳理 1．定义 设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cos〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b.规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2．数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 数乘结合律 (λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R) 3.数量积的性质 两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 ②若a与b同向，则a·b＝|a||b|； 若反向，则a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 注意点： (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定． ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律． 例2　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)·；(2)·；(3)·；(4)·. 解　(1)·＝· ＝||·||·cos〈，〉 ＝×1×1×cos 60°＝. (2)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1×cos 0°＝. (3)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1×cos 120°＝－. (4)·＝(＋)·(＋) ＝[·(－)＋·(－)＋·＋·] ＝[－·－·＋(－)·＋·] ＝×＝－. 反思感悟　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确． 跟踪训练2　(1)已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 答案　B 解析　由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0， |e1|＝|e2|＝1， 所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0， 即2k－12＝0，解得k＝6. (2)在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与向量的夹角为(　　) A．60° B．150° C．90° D．120° 答案　D 解析　＝＋，||＝a， ＝＋，||＝a. ∴·＝·＋·＋·＋·＝－a2. ∴cos〈，〉＝＝－. ∴〈，〉＝120°. 三、空间向量的投影向量 问题2　平面向量中向量a在向量b上的投影向量是如何定义的？ 提示　设a，b是两个非零向量，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1，向量称为向量a在向量b上的投影向量． 知识梳理 1．空间投影向量的定义 如图，设向量m＝，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.向量称为向量m在平面α上的投影向量． 2．空间向量数量积的几何意义 空间向量m，n(n在平面α内)的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积． 例3　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点． (1)确定向量在平面BCC1上的投影向量，并求·； (2)确定向量在直线B1C1上的投影向量，并求·. 解　(1)因为A1B1⊥平面BCC1, PC1⊥平面BCC1， 所以向量在平面BCC1上的投影向量为. 所以·＝·＝×1×cos 45°＝1. (2)因为A1B1⊥B1C1, PC1⊥B1C1， 所以向量在直线B1C1上的投影向量为，故·＝·＝1. 反思感悟　利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻某一向量在平面(或直线)上的投影向量是解题的关键所在． 跟踪训练3　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，求·. 解　方法一　∵A1A⊥平面ABC， ∴A1A⊥AB，A1A⊥AC. ∵AC＝AB＝，BC＝2， ∴AB⊥AC. 又BC＝2AE＝2， ∴E为BC的中点， ∴＝(＋)． ∵AA1＝，AC＝， ∴A1C＝2. ∴·＝(＋)·(－)＝ 2＝1. 方法二　∵A1A⊥平面ABC， ∴在平面ABC上的投影向量为. 又AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2， ∴·＝·＝1××cos 45°＝1. 1．知识清单： (1)空间向量的夹角． (2)空间向量的数量积． (3)空间向量的投影向量． 2．方法归纳：数形结合、转化化归． 3．常见误区： (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定． (2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0. 1．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　AD 2．已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　) A. B. C．－ D．0 答案　D 解析　·＝·(－)＝·－·＝||||cos∠AOC－||||·cos∠AOB＝||||－||||＝0， 所以⊥.所以cos〈，〉＝0. 3．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为________． 答案　e1 解析　(e1＋e2)·e1＝e＋e1·e2 ＝1＋1×1×＝. ∴向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为 ·＝e1. 4．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________. 答案　－ 解析　由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0， 所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0， 所以18＋(λ＋1)·3×4cos 135°＋16λ＝0， 即4λ＋6＝0，解得λ＝－. 1．在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　C 解析　由题意，可得＝， 所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°. 2．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　) A．12 B．8＋ C．4 D．13 答案　D 解析　(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|·cos 120°＝2×4－2×5×＝13. 3．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　∵p⊥q且|p|＝|q|＝1， ∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1. 4．(多选)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　) A．2· B．2· C．2· D．2· 答案　BC 解析　2·＝2a2cos 120°＝－a2， 2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2， 2·＝·＝a2， 2·＝·＝－·＝－a2. 5．如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60 °，则||等于(　　) A. B. C．13 D. 答案　B 解析　·＝||·||cos 60 °＝1×3×＝，又＝(＋)， 所以2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)＝×(1＋3＋9)＝， 所以||＝. 6．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是(　　) A．(＋＋)2＝32 B.·(－)＝0 C.与的夹角为60° D．正方体的体积为|··| 答案　AB 解析　如图所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32，故A为真命题； ·(－) ＝·＝0，故B为真命题；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°，故C是假命题；正方体的体积为||||||，故D为假命题． 7．已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则向量2a－b在向量a上的投影向量为________． 答案　a 解析　∵a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6， ∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b ＝2×22－2×6×＝2， ∴向量2a－b在向量a上的投影向量为· ＝a. 8．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________. 答案　60° 解析　由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0， (a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|， 所以cos〈a，b〉＝＝＝， 所以〈a，b〉＝60°. 9．如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段，又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长． 解　因为CA⊥AB，BD⊥AB， 所以〈，〉＝120°. 因为＝＋＋， 且·＝0，·＝0， 所以||2＝||2＋||2＋||2＋2· ＝||2＋||2＋||2＋2||||cos〈，〉＝62＋42＋82＋2×6×8×＝68， 所以||＝2，故CD的长为2. 10.已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，试计算： (1)·； (2)·. 解　(1)取AB的中点H，连接DH，EH，易知EH⊥平面ABCD,又DD1⊥平面ABCD，所以向量在平面ABCD上的投影向量为.所以·＝·＝2＝16. (2)向量在平面ABB1A1上的投影向量为.又⊥，所以·＝·＝0. 11.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A. B. C．1 D. 答案　D 解析　∵＝＋＋， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－. 故||＝. 12.如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝________. 答案　7 解析　||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝49，所以||＝7，即PC＝7. 13．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________. 答案　 解析　∵OA，OB，OC两两垂直，G为△ABC的重心， ∴·＝·＝·＝0， 且＝， 故·(＋＋) ＝(＋＋)2＝(||2＋||2＋||2)＝×(1＋4＋9)＝. 14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是______． 答案　[0,1] 解析　依题意，设＝λ，其中λ∈[0,1]，·＝·(＋)＝·(＋λ)＝2＋λ·＝1＋λ×1××＝1－λ∈[0,1]．因此·的取值范围是[0,1]． 15．如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 答案　D 解析　·＝·(＋) ＝2＋·， ∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥， ∴·＝0， ∴·＝||2＝1， 则·(i＝1,2，…8)的不同值的个数为1. 16．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D两点间的距离． 解　在平行四边形ABCD中， ∵∠ACD＝90°， ∴·＝0，同理可得·＝0. 在空间四边形ABCD中， ∵AB与CD成60°角， ∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°. 又＝＋＋， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉，∴当〈，〉＝60°时，||2＝4， 此时B，D两点间的距离为2； 当〈，〉＝120°时，||2＝2， 此时B，D两点间的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$