2.2 基本不等式（第1课时）教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

基本不等式教案 教学课题 高中人教版必修一 基本不等式 第1课时 教学课型 新授课 教学目标 1、 掌握基本不等式的结构 2、 会用不同方法证明基本不等式，发展逻辑推理素养 3、 理解基本不等式的几何解释 4、 能结合具体实例用基本不等式解决简单的求最值问题，发展数学运算与数学抽象素养 教学重点 1、 基本不等式的结构、证明方法 2、 用基本不等式解决最值问题 教学难点 1、 基本不等式的几何解释 2、 用基本不等式解决最值问题 教学方法 讲授法 教具 粉笔、投影仪、PPT 教学过程 一、导入新课，创设情境： 1、通过微视频，让学生了解赵爽弦图蕴含的丰富数学知识。 视频网址：https://www.bilibili.com/video/BV1q8411m7WC/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=a288a7342a29a1753e4a06a6f4b79b08 问题1：如图是赵爽弦图，你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？令你能得到一个怎样的不等式？ 两个成立的条件如下：(1)四个直角三角形的面积(相等)；(2)直角三角形的直角边(不相等)； 解：大正方形的面积大于4个直角三角形的面积和。由此可推出，当且仅当时等式成立。 设计意图：利用赵爽弦图让学生从中抽象出基本不等式，增强学生的文化自信，培养学生的直观想象、数学抽象素养。 二、层层递进，探索新知： 1、具体介绍重要不等式：,当且仅当时，等号成立。 问题2：用分别代替上式中的能得到什么结论？ 解：讲述基本不等式：当且仅当时，等号成立。 三个条件：一正二定三等 ①一正：不等式中均为正数 ②二定：不等式中或为定值 ③三相等：不等式中，此时不等式取到等号 代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 几何平均数 算术平均数 推广：作为均值不等式“链”中的一环 设计意图：让学生体会基本不等式和均值不等式的区别和联系。 区别：取值范围不同 联系：取等条件相同 问题3：基本不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的都能成立？请给出证明。 证法一：（作差比较法） 设计意图：当两个数比较大小时，学生比较容易想到作差法。 证法二：（综合法） 因为 所以 所以 所以 证法三：（分析法） 要证 只需证 只需证 只需证 只需证 上式显然成立。 证法四：（几何法） 如图，是圆的直径，为圆心，点为上一点，过点作垂直于的弦,连接。 (1) (2) (3)和的大小关系怎样？ 同时，利用几何画板绘制图像，并使点在线段上移动，让学生观察线段长度与圆半径长之间的动态关系。 几何意义： 设计意图：利用几何画板绘制图像，能让学生观察线段长度与圆半径长之间的动态关系，从而能更好理解之间关系随大小关系变化而变化。 例：已知，求的最小值 因此该题目最小值为4。 设计意图：用“一正、二定、三相等”帮助学生理解和记忆应用基本不等式解决问题特点。 问题4：如何利用基本不等式，求及的最值？请以小组讨论的形式开展。 解：引出最值定理。已知为正数，则： (1)如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值（积定和最小）。 解：(1)当积等于定值时 所以 当且仅当时，等号成立。 (2)如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值（和定积最大） 解：(2)当和等于定值时 所以 当且仅当时，上述等号成立。 设计意图：指出基本不等式能解决的两类问题，为用基本不等式解决简单的最大（小）值问题创造条件。 三、变式练习，巩固新知 1、基础练习 (1)已知，求的最小值。 解，当且仅当成立。 (2)用篱笆围一个面积为的矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 问题转化：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短。 题目化简：，求的最小值。 (3)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 问题转化：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大。 题目化简：，求的最大值。 2、归纳总结 问题5：在利用基本不等式求最值前需要注意什么？ (1)各项均为正数； (2)寻求定值，求和式最小值时应使积为定值；求积的最大值应使和为定值:（恰当变形，合理拆分项、配凑因式是常用的解题技巧）。 (3)考虑等号成立的条件是否具备，即检验多项式取得最值时的自变量的值是否落在已知范围内。 3、提升练习 (1) 已知，则函数的最大值为（）。 解法：配凑，。 (2) 已知，且，求的最小值；（16） 解法：两式相乘，利用基本不等式。 (3) 已知，则函数的最小值为（7） 解法：函数两边同时。 四、课堂小结，总结新知 （一）知识小结 （二）思想方法小结 思想方法：数形结合、化归思想、特殊到一般思想、构造思想 五、课后作业，应用迁移 必做题：《步步高》第213页1-8题 选做题：P46 练习1-5题 板书设计 左侧： 课题：基本不等式 第1课时 一、重要不等式： 二、基本不等式： 1.内容： 2.代数意义：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数 3.几何意义：圆的半弦长小于等于半径 4.三个条件：一正二定三相等 右侧： 1.板书例题、课堂练习的解题过程 2.老师提问时同学回答的答案 2 学科网（北京）股份有限公司 $$