17.4 一元二次方程的根与系数的关系 （同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

17.4 一元二次方程的根与系数的关系 主讲： 沪科版八年级数学下册 第17章 一元二次方程 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点） 情景导入 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 新知探究 在前面17.2节中，我们学过，一元二次方程的每一个根都可由它的各项系数通过运算得到． 进一步，你是否注意到每个方程中的两根之间的关系？两根之和（x1 + x2）、两根之积（x1x2）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？填写下表，然后观察根与系数的关系： 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2 + 2x – 15 = 0 3x2 – 4x + 1 = 0 2x2 – 5x + 1 = 0 –5 3 –2 –15 1 3 1 4 3 1 3 5 2 1 2 猜想：方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的根如果是 x1、x2，那么 x1+x2 =_____，x1x2 =_____. 你能证明你的猜想吗？ 新知探究 我们知道，一元二次方 ax2+ bx + c = 0 （a ≠ 0）的两根为 所以 x1 + x2 = + = = x1x2 = · = = 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 ax2+ bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为 x1，x2，那么 x1 + x2 =， x1x2 = . 这个关系通常称为韦达定理. 当一元二次方程的二次项系数为 1 时，它的标准形式为 x2 + px + q = 0. 设它的两个根为 x1，x2，这时韦达定理应是：x1 + x2 = –p，x1x2 = q. 知识归纳 1.特别提醒 一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2－4ac ≥ 0. 2.与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 (1)x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2； (3)+ = . 例题讲解 课本例题 例 1 已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 的一个根是 –4，求它的另一个根及 k 的值. 解 设方程的另一个根是 x2，则 解方程组，得 答：方程的另一个根为，k 的值为 7. 本题还有别的解法吗？ 解题秘方：利用两根之和与积与系数的关系求解 . 例题讲解 课本例题 例 1 已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 的一个根是 –4，求它的另一个根及 k 的值. 解法二： 将 x = –4 代入方程，得 2×（ –4 ）2 +（ –4 ）k – 4 = 0. 解得 k = 7. 将 k = 7代入方程，得 2x2 + 7x – 4 = 0， 解得 先将x=2代入方程中， 求出字母k， 例题讲解 课本例题 例 2 方程 2x2 – 3x + 1 = 0 的两个根记作x1，x2，不解方程，求 x1 – x2 的值. 解 由韦达定理，得 x1 + x2 = ， x1x2 = . （x1 – x2）2 =（x1 + x2）2 – 4x1x2 ∴ x1 – x2 = 例题讲解 补充例题 例 已知实数x1，x2 满足x1+x2=3， x12+x22=5 ，则以x1，x2 为根的一元二次方程是( ) A. x2－3x+2=0 B. x2+3x－2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2－3x－2=0 解题秘方：利用完全平方公式计算出 x1· x2=2，然后根据根与系数的关系写出以 x1， x2 为根的一元二次方程 . 答案：A 解：∵ x12＋x22=5，∴(x1＋x2) 2－2x1x2=5. 又∵ x1＋x2=3，∴ 9－2x1x2=5. ∴ x1x2=2. ∴以 x1， x2 为根的一元二次方程为 x2－3x＋2=0. 课堂练习 1.下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？ 提示：先确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，再根据韦达定理写出两根之和、两根之积. 2. 判定下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根． 解： （1）不是 （2）是 （3）是 （5）是 （4）不是 3.已知关于x的方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 · x1 = ∴x1 = 4. 设x1,x2是方程2x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根与系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); 解 分层练习 基础题 1.[2024·亳州期中] 设一元二次方程 的两个实 数根为和，则 等于( ) D A. B.5 C. D.2 2.已知 ， 是方程的两个根，则 的值为( ) A A.6 B. C.3 D. 3.若，是方程 的两个根，则( ) A A. B. C. D. 4.[2024成都模拟] 若,是一元二次方程 的 两个实数根，则 ____. 5.[2024·合肥一模] 已知， 是一元二次方程 的两个根，则 的值为___. 6 6.[2024滁州期中] 如果关于的一元二次方程 的一个实数根为 ，那么另一个实数根为( ) C A.1 B.2 C.3 D. 7.[2024烟台] 若一元二次方程的两根为 ， ，则 的值为___. 6 8.[2024·巴中中考] 已知方程的一个根为 ， 则方程的另一个根为___. 4 9.[2024·天津二模] 已知一元二次方程 的两个 根分别为，，且，，则， 的值 分别是( ) B A.， B.， C.， D.， 10.已知、是一元二次方程 的两个根，则 的值是( ) B A. B. C. D.6 11.[2024·亳州期末] 若方程的两个根为 ， ，则 的值为( ) B A.2 B. C. D. 12.已知方程的两根之比为，则 的值为 ( ) C A. B. C.4 D.6 【点拨】由题意，设的两根分别为 , ，则， .由根与系数的关系得 ，，即,解得 . . . 13.[2024泸州一模] 定义 为方程 的特征数.若特 征数为的方程的两实数根的平方和为12，则 的值为( ) C A.或4 B.4 C. D. 或1 【点拨】根据题意可知，该方程为 . 方程的两实数根的平方和为12， . 设两实数根分别为， ， 则， . ，， 解得， .又， . 14.已知，是关于的方程 的两个实数根， 且，则 的值为___． 2 【点拨】,是关于的方程 的两个实数根， ，， . . ， . ，解得或 . 经检验,或 均为该分式方程的解. 当时，关于的方程为，此时 ，符合题意； 当时，关于的方程为 ，此时，方程无实数根， 不符合题意. . 综合应用题 15.[2024·合肥二模] 已知关于的方程 的两 根分别为和，若，则 的值为( ) B A. B. C. D.2 16. 已知方程 的两实根的平方和 等于11，则 的值是( ) C A.或1 B. C.1 D.3 17.已知关于的一元二次方程 的两个实数根分别 为，，且，那么 的值为( ) B A.13或 B.13 C. D.11 【点拨】 一元二次方程 的两个实数根分别为， ， , . 又 ， ，解得， . ， 当时， ； 当时， ， . . 18. 兰兰和笑笑分别解一道关于 的一元二次方程，兰兰因把一次 项系数看错，解得方程的两根为 和6，笑笑因把常数项看错，解 得方程的两根为3和4，则原方程可能是( ) B A. B. C. D. 19.[2024·烟台中考] 若一元二次方程 的两 根为，，则 的值为___. 6 点拨 因为一元二次方程的两个根为， ， 所以，， .所以 . 20.[2024乐山期中] 已知关于 的一元二次方程 . （1）求证：无论 为何实数，方程总有两个实数根； 【证明】由题可知 ， 无论 为何实数，方程总有两个实数根. （2）若该方程的两个实数根为和，且满足 ，求 此时实数 的值. 【解】由根与系数的关系得， ， 又 ， ，解得 . 创新拓展题 3星题 提升练 21.［运算能力］[2024·合肥二模] 类比是探索发展的重要途径，是发现 新问题、新结论的重要方法.阅读材料： 设的两个根为和，那么 . 比较系数，可得， .类比推广，回答问题： 设的三个根为，， ，那么 (______________)(___________________) (_________). 比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系： ____， ___________________ ， ____. 22.阅读材料：材料1：若一元二次方程 的两根分别 为，，则， . 材料2：已知实数，满足， ，且，求 的值. 解：由题意知，是方程 的两个不相等的实 数根，根据材料1，得， ， . 根据上述材料解决下面的问题： （1）一元二次方程的两根分别为， ， 则____, _ ___； （2）已知实数，满足 ，， 且，求 的值； 【解】由题意知，是方程 的两个不相等 的实数根，， . . （3）已知实数，满足， ，且，求 的值. ， ，即 又，即，且 ， ，是方程 的两个不相等的实数根. ， . . 22.阅读材料：材料1：若一元二次方程 的两根分别 为，，则， . 材料2：已知实数，满足， ，且，求 的值. 解：由题意知，是方程 的两个不相等的实 数根，根据材料1，得， ， . 根据上述材料解决下面的问题： 习题 1．若长方形的长和宽是方程 4x2 – 12x + 3 = 0 的两个根，求该长方形的周长和面积． 解：由韦达定理得 x1 + x2 = 3，x1x2 = . 则该长方形的周长为 2(x1 + x2) = 6， 面积为x1x2 = . 2．不解方程，试说明一元二次方程 3x2 – 5x = 7 必有实数根，并求出两根之和与两根之积. 解：原方程即 3x2 – 5x – 7 = 0， 则 Δ = 25 + 4×3×7＞0， ∴方程必有实数根. 由韦达定理得 x1 + x2 = ，x1x2 = – . 3．已知关于 x 的方程 2x2 + mx – 3 = 0的一个根是 ，求它的另一个根及 m 的值. 解：设方程的两个根为 x1 和 x2，其中 x1 = . 则由韦达定理得 + x2 = – ， x2 = – ， 解得 x2 = – 3，m = 5． 4．已知关于 x 的方程 x2 + mx + 2m – n = 0 的根为 2，且根的判别式为 0，求 m，n 的值． 解：依题意得 4 + 2m + 2m – n = 0， 且 Δ = m2 – 4(2m – n) = 0， 解得 m = – 4，n = – 12． 5．已知两数的和为 2，积为 – 2，求这两个数． 解：依题意知所求两个数为方程 x2 – 2x – 2 = 0 的两个根， 解该方程得 x1 = 1 + ，x2 = 1 – . ∴ 这两个数为 1 + 和 1 – ． 课堂小结 根与系数的关系 （韦达定理） 内 容 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 应 用 主讲： 沪科版八年级数学下册 感谢聆听 $$