4.4数学归纳法（教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

人教版2019高一数学（选修二） 第四章　数列 4.4　数学归纳法 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.了解数学归纳法的原理.（数学抽象、逻辑推理） 2.掌握数学归纳法的步骤.（逻辑推理） 3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.（逻辑推理） 情景导入 如何证明这个猜想呢?我们自然会想到从n=5开始一个个往下验证．一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证起来会很麻烦． 探究1. 已知数列{}满足， = 计算， ， ，猜想其通项公式，并证明你的猜想. 分析：计算可得 ， ， ，再结合 ，由此猜想： 如何证明这个猜想呢？ 思路1.我们可以从开始一个个往下验证。一般来说，与正整数有关的命题，当比较小时可以逐个验证，但当较大时，验证起来会很麻烦。特别当取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的。因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法。 问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？ 我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。 （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？ 问题2：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？ 可以看出，条件（2）给出一个递推根据（关系），当第k块倒下， 相邻的第k+1块也倒下。 探究2. 你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是 ”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 追问1 “多米诺骨牌原理”与“猜想的证明步骤”的类比分析 多米诺骨牌原理 猜想的证明步骤 (1)第一块骨牌倒下 (2)第k块骨牌倒下→第k+1块骨牌倒下. 根据(1)(2)，所有骨牌都能倒下 追问2 追问3 追问4 问题4： 问题5： 数学归纳法证明命题的步骤 概念归纳 概念归纳 课本例题 用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点: (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况; (2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项; (3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形. 1．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？ 课本练习 注：第二步正确的证明方法如下： 课本练习 C 习题4.4 【解题探究】按照数学归纳法的步骤进行证明． 素养点睛：考查数学抽象和逻辑推理的核心素养． 补充练习 概念归纳 用数学归纳法证明等式的注意点 用数学归纳法证明恒等式时，(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；(2)弄清从n＝k到n＝k＋1时等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；(3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向证明目标n＝k＋1的表达式变形． 【解题探究】利用数学归纳法证明，从“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并． 素养点睛：考查数学抽象和逻辑推理核心素养． 概念归纳 用数学归纳法证明不等式的关键 (1)用数学归纳法证明与n有关的不等式的第二步，应注意灵活运用证明不等式的一般方法如比较法、分析法、综合法． (2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论． 题型3　证明整除问题 用数学归纳法证明x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y 整除． 【解题探究】利用数学归纳法证明时，要注意“n＝k”与“n＝k＋1”之间项的关系． 素养点睛：考查数学抽象和逻辑推理的核心素养． 证明：(1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除． (2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除． 那么当n＝k＋1时， x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2 ＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1 ＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)． ∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除， ∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除． 由(1)(2)，可知原命题成立． 概念归纳 用数学归纳法证明整除问题的注意点 用数学归纳法证明整除问题时，要注意将式子拆成几部分的和、差或乘积形式，然后分析每一个部分能否整除． 题型4　归纳、猜想、证明 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ＞0． (1)求a2，a3，a4； (2)猜想{an}的通项公式并加以证明． 【解题探究】根据条件求出a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式，然后用数学归纳法证明． 素养点睛：考查数学抽象和逻辑推理的核心素养． 解：(1)由an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n， 将a1＝2代入，得a2＝λa1＋λ2＋(2－λ)×2＝λ2＋4． 将a2＝λ2＋4代入，得a3＝λa2＋λ3＋(2－λ)×22＝2λ3＋8． 将a3＝2λ3＋8代入，得a4＝λa3＋λ4＋(2－λ)×23＝3λ4＋16． (2)由a2，a3，a4对{an}的通项公式作出猜想： an＝(n－1)λn＋2n． 下面用数学归纳法证明． 当n＝1时，a1＝2＝(1－1)λ1＋21成立． 假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，ak＝(k－1)λk＋2k， 则当n＝k＋1时， ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k ＝(k－1)λk＋1＋2kλ＋λk＋1＋(2－λ)2k ＝kλk＋1＋2k＋1 ＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1． 由此可知，当n＝k＋1时， ak＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1也成立． 综上可知，an＝(n－1)λn＋2n对任意n∈N*都成立． 概念归纳 “归纳—猜想—证明”的一般环节 概念归纳 “归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和． (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． (3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题． 【警示】利用数学归纳法解决数学问题时，一定要利用n＝k与n＝k＋1之间的关系，不能直接使用结论． 课堂小结 数学归纳法的应用 数学归纳法概念 证明一个与正整数n有关的命题 证明等式恒成立问题 证明不等式恒成立问题 证明数列的相关问题 证明整除的相关问题 归纳奠基： 归纳推理： 数学归纳法 特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的．因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立． (1)当时，成立 (2)由能推出成立 根据(1)(2)，成立 你能类比多米诺骨牌游戏中的递推结构，得出证明数列通项公式为的递推结构吗? 那么, 故时，成立. 你能完成推出的证明过程吗? 如果时，成立， 由时，成立，就可以得到时，成立； ……, 所以，对于任意的成立， 故数列的通项公式为得到了证明. 你能解释证明过程的合理性吗? 由时，成立，就可以得到时，成立； 在证明推出时，为什么要加条件? 确保通项公式对从开始的所有正整数都成立， 确保命题成立的递推性. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数 都成立，这种证明方法称为数学归纳法(mathematical induction)． 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当时，命题成立； （2）（归纳推理）以“当时，命题成立”为条件推出“当 时命题也成立”． 从问题3的解答过程中，你能归纳出证明一个与正整数n有关的命题 的一般步骤吗? 数学归纳法的第一步、第二步的作用分别是什么?你认为数学归纳法 中的两个步骤有什么关系? 数学归纳法中，第一步称为归纳奠基，是命题递推的基础，缺少这个基础， 第二步就没有意义了.第二步称为归纳递推，假设为真，证明为真， 是命题递推的依据，缺少这个依据，递推也无法进行下去.两步缺一不可，交替 使用，就有若为真，则为真，则为真，……,若 为真，则为真，…….从而完成证明. 故对一个关于正整数n的命题,把用数学归纳法证明的形式改写 成条件和结论的推理过程即为： 条件：(1)为真；(2)若为真，则也为真． 结论：为真． 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当时，命题成立； （2）（归纳推理）以“当时，命题成立”为条件推出“当 时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数 都成立，这种证明方法称为数学归纳法(mathematical induction)． 对一个关于正整数n的命题,把用数学归纳法证明的形式改写 成条件和结论的推理过程即为： 条件：(1)为真；(2)若为真，则也为真． 结论：为真． 证明：（1）当时，左边,右边, ①式成立. （2） 假设当时，①式成立，即， 根据等差数列的定义，， 于是， 即当时，①式也成立. 由（1）（2）可知，①式对任何都成立. 例1用数学归纳法证明，如果是 一个公差为的等差数列， 那么 ①对任何都成立. 【体验】请抄写例1的证明过程，体验证明的规范格式. （2） 假设当时，①式成立，即 所以时， 即当时，①式也成立. 由（1）（2）可知，①式对任何都成立. 例2用数学归纳法证明： ① 证明：（1）当时，①式的左边，右边, 所以①式成立. 下面用数学归纳法证明这个猜想. （1）当时，①式的左边，右边, 猜想成立. （2） 假设当时，①式成立，即 那么，即当时，猜想也成立. 由（1）（2）可知，猜想对任何都成立. 例3已知数列满足，试猜想数列的通项公式，并用 数学归纳法加以证明. 解：由，可得 由可得，同理可得 归纳上述结果，猜想 ① 下面用数学归纳法证明这个猜想. （1） 当时，由上述过程知，不等式成立. （2） 假设当,且时，不等式成立，即， 由，可得，所以 于是 所以，当时， 不等式也成立. 由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数都成立. 例4 设为正实数，为大于1的正整数，若数列 的前项和为，试比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 解法1：由已知可得 当时，,由，可得； 当时，,由，可得 由此，我们猜想，当且时，. 例4 设为正实数，为大于1的正整数，若数列 的前项和为，试比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 解法2：显然，所给数列是等比数列，公比为，于是 当时，,由，可得； 当时，,由，可得 由此，我们猜想，当且时，. （2） 假设当,且时，不等式成立，即， 由，知 所以 又，所以 所以，当时，不等式也成立. 由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数都成立. 例4 设为正实数，为大于1的正整数，若数列 的前项和为，试比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 下面用数学归纳法证明这个猜想. （1） 当时，由上述过程知，不等式成立. 1．用数学归纳法证明：． (1)当时，左边，右边，等式成立； (2)假设当时等式成立，即， 则当时， 左边 右边． 所以，当时，等式成立； 由(1)(2)可知，对，． 则当时， ， 时，猜想也成立， 故由①，②可知，猜想对都成立． 2.若数列的前n项和为，计算， 由此推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明． (1)，，； (2)由(1)猜想 ，下面用数学归纳法加以证明． ①时，，成立；②假设时，有成立， 根据题意可得：数列的通项公式为，数列的通项公式为， 由， 猜想从第项起， 即证当时，，下面用数学归纳法证明： ①当时，，，显然，猜想成立； ②假设当时，猜想成立，即， 当时，， 即，即当时，猜想成立， 由①②可知，当时，都有，即． 4.猜想满足，的数列的通项公式，并用数学归纳 法证明你的结论． 由可得，得， ，． 推测． 4.猜想满足，的数列的通项公式，并用数学归纳 法证明你的结论． ②设当时，猜想成立，即， 则当时，有， 所以当时猜想也成立．综合①②，猜想对任何都成立． 3.已知数列满足，．计算 ，，，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 由得， ,,同理可求,,,猜想． 证明：①当时，猜想成立． 4.已知数列,…的前n项和为．计算 ．由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明． 由题意，数列，，，…， 可得， 可以看出，上面的四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数 表示为，所以可猜想，数学归纳法证明如下： 所以当时，猜想也成立， 由①②可知，对任意都有成立， 所以，． 4.已知数列,…的前n项和为．计算 ．由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明． ①当时，左边，右边，猜想成立； ②假设时，猜想成立，即， 当时， ， 5.用数学归纳法证明． (1)当时，左边，右边，等式成立， (2)假设当时，等式成立，即， 当时， ， 即当时等式也成立． 由(1)(2)可知：等式对任何都成立， 故． 5.用数学归纳法证明． ①当时，由前面的计算可知，猜想成立． ②假设当时猜想成立，即有． 则当时，因为 ．所以， 6.已知数列的通项公式分别为，其中， 试推断对哪些正整数n成立，证明你的结论． 当时,,,所以;当时,,,所以; 当时,,,所以;当时,同理计算可知,均有; 当时,,,所以; 当时,,,所以; 由此猜想,从第17项起,,下面用数学归纳法证明这个猜想. 6.已知数列的通项公式分别为，其中， 试推断对哪些正整数n成立，证明你的结论． 即当时猜想也成立． 由①②可知，当时，都成立． 综上可知，对都成立． 7.已知数列满足，，试用数学归 纳法证明，并比较与的大小关系． ①当时，，成立， ②假设当时成立，则， 那么时，若，则，与 矛盾，故， 由①②可知，对一切，都有成立． ，因此． 8．证明能被6整除． ①当时，，显然能够被6整除，命题成立； ②假设当时，命题成立，即能够被6整除， 当时，， 由假设知：能够被6整除，而为偶数，故能够被6整除， 故能够被6整除，即当时，命题成立， 由①②可知，命题对一切正整数成立，即能够被6整除． 题型1　用数学归纳法证明等式 　　　 用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n2＝eq \f(nn＋12n＋1,6)(n∈N*). 证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1， 右边＝eq \f(1×1＋1×2×1＋1,6)＝1， 等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即 12＋22＋…＋k2＝eq \f(kk＋12k＋1,6)， 那么，当n＝k＋1(k∈N*)时， 12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝eq \f(kk＋12k＋1,6)＋(k＋1)2＝eq \f(kk＋12k＋1＋6k＋12,6)＝eq \f(k＋12k2＋7k＋6,6)＝eq \f(k＋1k＋22k＋3,6)＝eq \f(k＋1[k＋1＋1][2k＋1＋1],6)， 等式也成立． 综上可知等式对任何n∈N*都成立． 题型2　用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明：eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,3n)＞eq \f(5,6)(n≥2，n∈N*)． 证明：(1)当n＝2时，左边＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,5)＋eq \f(1,6)＝eq \f(57,60)＞eq \f(5,6)， ∴不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,3k)＞eq \f(5,6)， 则当n＝k＋1时， eq \f(1,k＋1＋1)＋eq \f(1,k＋1＋2)＋…＋eq \f(1,3k)＋eq \f(1,3k＋1)＋eq \f(1,3k＋2)＋eq \f(1,3k＋3) ＝eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,3k)＋eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,3k＋1)＋\f(1,3k＋2)＋\f(1,3k＋3)－)) eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋1))) ＞eq \f(5,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3k＋1)＋\f(1,3k＋2)＋\f(1,3k＋3)－\f(1,k＋1))) ＞eq \f(5,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(1,3k＋3)－\f(1,k＋1)))＝eq \f(5,6)． ∴当n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)，可知原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立． 易错警示　缺少归纳递推致误 　　　　用数学归纳法证明： eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,2n－1)＋eq \f(1,2n)＝1－eq \f(1,2n)(n∈N*)． 【错解】(1)当n＝1时，左边＝eq \f(1,2)，右边＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，等式成立， 即eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,2k－1)＋eq \f(1,2k)＝1－eq \f(1,2k)， 那么当n＝k＋1时， 左边＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,2k－1)＋eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))k＋1)),1－\f(1,2))＝1－eq \f(1,2k＋1)． 这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立． 【错因分析】从形式上看，会认为以上的证明是正确的，过程是完整的，但实际上以上的证明却是错误的．错误的原因在第(2)步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当n＝k＋1时，式子eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,2k－1)＋eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)的和，而没有利用“归纳假设”，这是在用数学归纳法证题时极易犯的一种错误，要引以为戒． 【正解】(1)当n＝1时，左边＝eq \f(1,2)，右边＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，等式成立，有 eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,2k－1)＋eq \f(1,2k)＝1－eq \f(1,2k)． 那么当n＝k＋1时， 左边＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,2k－1)＋eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1) ＝1－eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)＝1－eq \f(2－1,2k＋1)＝1－eq \f(1,2k＋1)＝右边． 这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立． $$