第05讲 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、应用（6个知识清单+9类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪科版）

第05讲 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、应用 课程标准 学习目标 1 根的判别式 2 根与系数的关系 3由实际问题抽象出一元二次方程 4一元二次方程的应用 5高次方程 6无理方程 1.理解一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，会用它们解决一些简单的问题. 2.会列出一元二次方程解决实际问题. 【学习重点】一元二次方程的应用题. 【学习难点】列一元二次方程解决实际问题. 知识点01 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【即学即练】 1．（2024春•贵池区期末）关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m≤1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠0 【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得Δ＝4+4m≥0且m≠0，求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个实数根， ∴△≥0且m≠0， ∴4+4m≥0且m≠0， ∴m≥﹣1且m≠0， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 知识点02 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【即学即练】 2．（2024春•花山区校级期末）下列一元二次方程的两个实数根之和为﹣3的是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2﹣3x+3＝0 C．x2+3x﹣5＝0 D．x2+3x+5＝0 【分析】设方程的两个根为a、b，根据根与系数的关系找出a+b的值，此题得解． 【解答】解：设方程的两个根为a、b． 根据题意，a+b＝﹣3， 选项C，D符合题意，但是判别式＜0， 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系，判别式，根据根与系数的关系找出a+b的值是解题的关键． 知识点03由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 【即学即练】 3．（2022春•大观区校级期中）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18 C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18 【分析】第一天为2，根据增长率为x得出第二天为2（1+x），第三天为2（1+x）2，根据三天累计为18，即可得出关于x的一元二次方程． 【解答】解：设平均每天票房的增长率为x， 根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝18． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 知识点04一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 【即学即练】 4．（桐城市期中）如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为（　　） A．5米 B．3米 C．2米 D．2米或5米 【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程20x+32x﹣x2＝20×32﹣540，解方程即可求解．解题过程中要根据实际意义进行x的值的取舍． 【解答】解：设道路的宽为x，根据题意得20x+32x﹣x2＝20×32﹣540 整理得（x﹣26）2＝576 开方得x﹣26＝24或x﹣26＝﹣24 解得x＝50（舍去）或x＝2 所以道路宽为2米． 故选：C． 【点评】本题考查的是一元二次方程的实际运用．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 知识点05高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 【即学即练】 5．（肥西县校级月考）方程x4﹣1＝0的根是 　． 【分析】此方程可化为x4＝1，解得x＝±1． 【解答】解：x4﹣1＝0， x4＝1， x2＝1， x＝±1． 故本题答案为：±1． 【点评】解答此题的关键是熟知﹣1的偶次方等于1，1的任何次幂都等于1． 知识点06无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． （2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 【即学即练】 6．（2024春•瑶海区校级月考）方程的根为 　　． 【分析】依据题意，x≥2，从而x＝1＞0，可得＝0，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意得，x﹣2≥0， ∴x≥2． ∴x﹣1＞0． ∴＝0． ∴x﹣2＝0． ∴x＝2． 故答案为：x＝2． 【点评】本题主要考查了无理方程的意义，解题时要能根据二次根式的意义得出x的范围是关键． 题型01 根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）定义运算：，例如：方程的根的情况（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用新定义得到，然后利用可判断方程根的情况． 【详解】解：由新定义得， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【答案】57 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键． 直接利用根的判别式求出答案． 【详解】解：一元二次方程整理成一般形式为： ∴根的判别式的值是：． 故答案为57． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求k的值； (2)求证：方程有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】一元二次方程的解、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入一元二次方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可； （2）先计算根的判别式的值得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：把代入得， 解得； （2）证明： ， 方程有两个不相等的实数根． 题型02 根据一元二次方程根的情况求参数 4．（23-24八年级下·安徽六安·期末）关于x的一元二次方程没有实数根，m可以为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选D． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程有实数根的条件，根据一元二次方程定义得到，再由一元二次方程有实数根的条件是，解不等式组即可得到答案，熟记一元二次方程的定义及一元二次方程有实数根的条件是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得且， 故答案为：且． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程有实数根，求的取值范围． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义，要注意二次项系数不为． 注意分类讨论，该方程可能为一元一次方程或者一元二次方程，计算出根的判别式，令其大于等于，解出的取值范围，再要注意二次项系数不能为． 【详解】解：当， ， 此时为一元一次方程，且有实数根， 当，即时， 关于的方程有实数根， ， 解得：， 且． 综上所述，当方程有实数根． 题型03 一元二次方程的根与系数的关系 7．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：B． 8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）观察下列一组方程：①；②；③；④；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，设方程的两根分别是和，根据一元二次方程根与系数关系可得，可得方程的两根，继而根据一元二次方程根与系数关系即可得出的值； 【详解】解：设方程的两根分别是和，，根据一元二次方程根与系数关系可得：， 解得：，则， ∴， ∴， 故答案为： 9．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两根，且，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系（，方程有两个不等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；），熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据根的判别式进行证明即可； （2）由得到或，再根据以上两种情况结合一元二次方程根与系数的关系讨论，即可解题． 【详解】（1）证明：∵ ， ， ∴无论m取任何实数，该方程总有实数根； （2）解：， 或， ①当时， ， 解得， ①当时，， 解得， 综上可知或. 题型04 传播问题(一元二次方程的应用) 10．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解决此题的关键． 设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．根据等量关系：经过两轮感染后就会有64台电脑被感染求解即可． 【详解】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 列方程得：， 即． 故选：C． 11．（20-21八年级下·安徽宣城·期中）美国有一人感染新冠肺炎，经过两轮传染后共有100个人感染，那么每轮传染中，平均一个人感染的人是 ． 【答案】9人 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设平均一个人感染人，则第一轮被传染人数为人，第二轮被传染人数为人，列出方程，即可． 【详解】设每轮传染中，平均一个人感染人，则第一轮中有人被传染 ∴第二轮中有人被传染 ∴ 解得，（不合题意，舍去） ∴每轮传染中，平均一个人感染人． 故答案为：人． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是根据题意，列出方程，求解方程． 12．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？ 【答案】21 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设平均每人每轮转发给个人，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设平均每人每轮转发给个人， 根据题意可得，， 解得 ，（不合题意，舍去）， 答：平均每人每轮转发给21个人． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 题型05 增长率问题(一元二次方程的应用) 13．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月3日比5月2日的全国旅游收入多127.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设全国旅游收入日平均增长率为x，则5月2日的收入为亿元，5月3日的收入为亿元，据此列出方程即可． 【详解】解：设全国旅游收入日平均增长率为x， 由题意得，， 故选：A． 14．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某食品加工厂第一季度的销售额为万元，第三季度的销售额为万元，则该食品加工厂第二、三季度销售额的平均增长率为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设第二、三季度销售额的平均增长率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设第二、三季度销售额的平均增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴第二、三季度销售额的平均增长率为， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）某公司生产某种产品，2022年产量为40万件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长相同的百分数，这样，确保2022至 2024这三年的总产量达到280万件．求这个增长的百分数． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，今后两年的产量较上一年增长的百分数为x，则2023年的产量为万件，2024年的产量为万件，再根据2022至 2024这三年的总产量达到280万件列出方程求解即可． 【详解】解：设今后两年的产量较上一年增长的百分数为x， 根据题意： 解得： (不合题意舍去)， ∴ 答：增长的百分数为100%． 题型06 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 16．（22-23八年级下·安徽六安·期中）如图，若将图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成图2所示的长方形，设，则这个正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】从图中可以看出，正方形的边长，所以面积，矩形的长和宽分别是，，面积，两图形面积相等，列出方程得，其中，求的值，即可求得正方形的面积． 【详解】解：根据图形和题意可得： 正方形的边长， ∴正方形面积， 矩形的长和宽分别是，， ∴矩形面积， ，其中，则方程是 解得：，（不合题意舍去）， 所以正方形的面积为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得的值，从而求出边长，求面积． 17．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为平方米，则图中区域①矩形的长为 米．    【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键；设图中①矩形的宽为米，根据这三块区域面积相等，可得出区域②矩形的宽为米，结合围网长度为米，可以求得，再根据，解得，即可求区域①矩形的长度． 【详解】解：设区域①矩形的宽为米， ∵区域②、区域③的宽相等，长都为区域①长的一半，且三块区域的面积相等， ∴区域②矩形的宽为米， 则区域①矩形的长为； 根据题意可得：， 整理得：， 解得：， ， 故答案为： 18．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，将边长为10cm的正方形扩大成面积为132的矩形．若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽． 【答案】矩形的长为12cm，宽为11cm 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设矩形的宽为cm，则矩形的长为cm，由题意列出方程即可． 【详解】解：设矩形的宽为cm，则矩形的长为cm， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴，． 答：矩形的长为12cm，宽为11cm． 题型07 数字问题(一元二次方程的应用) 19．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据连续两个奇数相差2，得到较大的一个奇数为，由此列得方程． 【详解】解：设其中较小的一个奇数为x，则较大的一个奇数为， 则， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意表示出较大的一个奇数是解题的关键． 20．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 【答案】74 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设这个两位数的十位数字为a，个数数字为b，然后根据十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27列出方程求解即可． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为a，个数数字为b， 由题意得，， 整理得：， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴原来的两位数是74， 故答案为：74． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 21．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数是12或21 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“新两位数与原来的两位数的乘积为252”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为， 依题意得： ， 整理得：， 解得：，， 当时，， 当时，， 原来的两位数是12或21， 答：原来的两位数是12或21． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型08 营销问题(一元二次方程的应用) 22．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某商场以每件元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为元，则平均每天可销售件，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，每件商品售价为多少元时，商场日盈利可达到元？设每件商品售价为元，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每件商品售价为元，则每天可销售件，根据每日的总利润=每件的利润×日销售量，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设每件商品售价为元，则每天可销售件， 依题意，得：， 即． 故选：D． 23．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价元，可列方程 ． 【答案】 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据题意易得销量为盒，然后根据利润问题可列出方程． 【详解】解：由题意得： ； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 24．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一个月生产80万个，第三个月生产96．8万个． (1)已知每个月生产量的增长率相等，求前三个月生产量的月增长率； (2)经调查发现，1条生产线最大产能是150万个/月，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少6万个/月，现该公司要保证每月生产内存芯片528万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】(1)前三个月生产量的平均增长率为 (2)应该再增加3条生产线 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设前三个月生产量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设应该再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/月，根据题意，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设前三个月生产量的月增长率为x， 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：前三个月生产量的平均增长率为； （2）设应该再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/月， 依题意得：， ， 解得：， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ． 答：应该再增加3条生产线． 题型09 其他问题(一元二次方程的应用) 25．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题设条件，由，得到，整理后得到关于最佳乐观系数的方程，求解即可．解题的关键是正解理解题意并掌握一元二次方程的解法． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴． 故选：D． 26．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，点O是矩形内一点，则点O到四个顶点的距离满足关系式，若点O在对角线，，．则 ．    【答案】或 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【详解】根据、的值计算出的值，即可得到的值，再用表示出，即可得到关于的方程，求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O在对角线上，， ∴， ∴， 整理得， 解得或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确解出的长是解题的关键． 27．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）自2013年中国铁路售票系统12306手机APP正式上线，十年来，我们实现了互联网便捷购票，出行体验得以逐步优化提升，12306也从最初的一个简单的购票系统成长为多元化、网络化、移动化、个性化的综合铁路服务平台，已知从安庆开往A市的某趟高铁中途要停靠若干个站点，12306购票系统需为此设置21种电子客票，那么这趟高铁中途停靠的站点有多少个？ 【答案】这趟高铁中途停靠的站点有5个 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】高铁站点问题可以看成是线段条数问题，设从安庆到A市共有个站点，根据线段的总条数公式：线段的总条数＝端点数×（端点数－1）÷2，列出方程，进行计算即可得到答案． 【详解】解：设从安庆到A市共有个站点， 根据题意可得： ， 解得：，（舍去）， 这趟高铁中途停靠的站点有：（个）， 答：这趟高铁中途停靠的站点有5个． 【点睛】本题主要考查了线段的总条数问题，熟练掌握线段的总条数公式：线段的总条数＝端点数×（端点数－1）÷2，是解题的关键． 一、单选题 1．2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的年平均增长率为x，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据2020年的人均可支配收入和2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价定为元，则可卖出件，若商店计划从这批商品中获取400元的利润（不计其他成本），求售价．根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由销售问题的数量关系总利润＝单件利润×数量建立方程求出其解即可． 【详解】解：根据题意，得 （x﹣21）（350﹣10x）＝400， 故选：B. 【点睛】本题考查了销售问题的数量关系：总利润＝单件利润×数量的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时由销售问题的数量关系建立方程是关键． 3．已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（    ） A． B． C．或3 D．或3 【答案】A 【分析】利用根与系数的关系以及求解即可． 【详解】解：由题意可知：，且 ∵， ∴，解得：或， ∵，即， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出，再利用根与系数的关系求出或（舍去）． 4．某农家前年水蜜桃亩产量为800千克，今年的亩产量为1200千克．设从前年到今年平均增长率都为x，则可列方程（　　） A．800（1+2x）＝1200 B．800（1+x2）＝1200 C．800（1+x）2＝1200 D．800（1+x）＝1200 【答案】C 【分析】根据题意易得去年水蜜桃的亩产量为800×（1+x），今年水蜜桃的亩产量在去年水蜜桃的亩产量的基础上增加x，据此可列出方程． 【详解】解：去年水蜜桃的亩产量为800×（1+x），今年水蜜桃的亩产量在去年水蜜桃的亩产量的基础上增加x， 为800×（1+x）×（1+x），则列出的方程是800（1+x）2＝1200， 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 5．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为人，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：．本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 【详解】解：依题意得， 故选：C． 6．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第(　　)象限． A．四 B．三 C．二 D．一 【答案】D 【分析】首先根据方程无实数根，求出m<-1，再判断一次函数的图象经过的象限问题． 【详解】解：∵一元二次方程x2-2x-m=0无实数根， ∴△=4+4m<0， 即m<-1， ∴一次函数的比例系数m+1<0， 图像经过二四象限， 截距m-1<0， 则图象与y轴交于负半轴，图像过第三象限 ∴一次函数y=(m+1)x+m-1的图像不经过第一象限， 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式、一次函数的图象，解题的关键是求出m的取值范围． 7．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为（    ）． A．2个； B．1个； C．0个； D．不确定． 【答案】D 【分析】讨论：当m=5，原方程变形为-14x+5=0，一元一次方程有一个实数根；当m＞4且m≠5时，计算△得到△=4（m+2）2-4（m-5）•m=36m+16，得到△＞0，根据根的判别式得到方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：当m=5，原方程变形为-14x+5=0，解得x=； 当m＞4且m≠5时， △=4（m+2）2-4（m-5）•m=36m+16， ∵m＞4， ∴△＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴当m=5时，原方程有一个实数根；当m＞4且m≠5时，方程有两个不相等的实数根． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 8．某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】根据“总利润=每瓶利润日均销售量”列方程求解可得． 【详解】解：设每瓶售价x元时，所得日均总利润为700元，根据题意的， ， 解得x1=11， x2=13， 当x1=11时， ，当x2=13时， ，且， 尽快减少库存， 每瓶该饮料售价为11元． 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程． 9．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A．16（1﹣x）2＝9 B．9（1+x）2＝16 C．16（1﹣2x）＝9 D．9（1+2x）＝16 【答案】A 【分析】根据该药品得原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：16（1-x）2=9． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．某品牌钢笔进价8元，按10元1支出售时每天能卖出20支，市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出2支，为了每天获得最大利润，其售价应定为（    ） A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 【答案】D 【详解】设利润为w，由题意得，每天利润为： w=（2+x）（20–2x）=–2x2+16x+40=–2（x–4）2+72． 所以当涨价4元（即售价为14元）时，每天利润最大，最大利润为72元． 故选D． 二、填空题 11．一元二次方程有两个实数根，．若，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得答案． 【详解】解：∵有两个实数根，，， ∴， ∴； 故答案为：4． 12．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 ． 【答案】2028 【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2）计算可得． 【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020， 则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2 ＝x12﹣4x1+2（x1+x2） ＝2020+2×4 ＝2020+8 ＝2028， 故答案为：2028． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 13．小红的妈妈做了一副长，宽的矩形十字绣风景画，做一副镜框制成一副矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设镜框边的宽为，那么x满足的方程是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知：矩形挂图的长为，宽为，则运用面积公式列方程即可． 【详解】设镜框边的宽为，根据题意得出：挂图长为，宽为， 所以根据矩形的面积公式可得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程是解答本题的关键． 14．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 ． 【答案】x（x﹣1）=21 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程． 【详解】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： x（x﹣1）=21， 故答案为x（x﹣1）=21． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 三、解答题 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围． （2）是否存在实数k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）k≤；（2）存在实数k，k＝﹣3． 【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16变形为﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然后解方程后利用（1）中的范围确定满足条件的k的值． 【详解】解：（1）根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0， 解得k≤； （2）根据题意得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k， ∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16． ∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16， 即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16， ∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16， 整理得k2﹣2k﹣15＝0， 解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3． ∴k＝﹣3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系. 16．某小区有一块长12米、宽6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿化地，它们的面积之和为36平方米，两块绿化地之间及周围留有宽度相等的小路，求小路的宽度为多少米. 【答案】小路的宽为1米. 【分析】设小路的宽度为x米，根据题意可得两块长方形的长为(12－3x)，宽为(6－2x)，然后根据长方形的面积公式可列出方程，解方程即可. 【详解】解：设小路的宽度为米，根据题意得 ， 解得或（不合题意，舍去）. 答：小路的宽为1米. 【点睛】此题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，根据题意列出方程是解题的关键. 17．已知一元二次方程的两实数根为、，不解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是求出，， 由根与系数的关系可得出，，将转化为只含和的形式，代入数据即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程的两实数根为、， ∴，， ∴． 18．某地方出现流感，开始有1人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感． (1)求每轮传染中，平均一个人传染了多少个人？ (2)如果在第三轮传染开始前没有控制，仍保持相同的传播速度，则经三轮传染后共有__________人患了流感． 【答案】(1)5个人 (2)216 【分析】（1）设平均一人传染了人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可； （2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得： ， 解得：或（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了5个人； （2）根据题意得：人， ∴经三轮传染后共有216人患了流感． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键；本题的等量关系是两轮传染后共有36人患了流感． 19．某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司缴税的年均增长率为多少？ 【答案】10% 【分析】设公司缴税的年平均增长率为x，根据增长后的纳税额＝增长前的纳税额×（1＋增长率），即可得到去年的纳税额是40（1＋x）万元，今年的纳税额是40（1＋x）2万元，据此即可列出方程求解． 【详解】解：设该公司缴税的年平均增长率为x，依题意得40（1＋x）2＝48.4 解方程得x1＝0.1＝10%，x2＝−2.1（舍去） 所以该公司缴税的年平均增长率为10%． 【点睛】本题运用增长率（下降率）的模型解题．读懂题意，找到等量关系准确的列出式子是解题的关键． 20．不解方程，直接判断下列一元二次方程的根的情况． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根．（2）方程有两个相等的实数根．（3）方程无实数根． 【分析】首先找出方程中a，b和c的值，求出△=的值，即可解答. 【详解】（1），，，，所以方程有两个不相等的实数根． （2），，，，所以方程有两个相等的实数根． （3），，，，所以方程无实数根． 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于判断△的大小. 21．如图，在宽为20m，长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为450m2，求道路的宽． 【答案】2m 【分析】设道路的宽为xm，根据图可知草坪的长为(27-x)m，宽为(20-x)m，从而由矩形的面积公式可列出关于x的一元二次方程，解出x并舍去不合题意的解，即得出答案． 【详解】解：设道路的宽为xm， 由题意得： 整理得： ∴(舍)， ∴道路的宽为2m． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．看懂图形，列出方程是解题关键． 22．某读书兴趣小组计划去书店购买一批定价为50元/本的书籍，书店表示有两种优惠方案方案一：若购买数量不超过10本，每本按定价出售；若超过10本，每增加1本，所有书籍的售价可比定价降2元，但售价不低于35元/本．方案二：前5本按定价出售，超过5本以上的部分可以打折． (1)该兴趣小组按照方案一的优惠方式支付了600元，请你求出购买书籍的数量； (2)如果该兴趣小组用方案二的优惠方式购买（1）中的数量，请问书店折扣至少低于几折才能使得实付金额少于600元？ 【答案】(1)该兴趣小组按照方案一的优惠方式购买书籍15本 (2)书店折扣至少低于7折才能使得实付金额少于600元 【分析】（1）设读书兴趣小组购买书籍x本，列出等量关系式，求解即可； （2）设书店折扣至少低于折才能使得实付金额少于600元，列出不等式为，解出即可． 【详解】（1）设读书兴趣小组购买书籍x本， 根据题意，当购买数量不超过10本时每本按50元出售， ∵， ∴兴趣小组购买书籍数量超过10本， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴， 答：该兴趣小组按照方案一的优惠方式购买书籍15本； （2）设书店折扣为y折才能使得实付金额少于600元， 由题意得，， ∴， 答：书店折扣至少低于7折才能使得实付金额少于600元． 【点睛】本题考查解一元二次方程以及解一元一次不等式，根据题意找出关系式是解题的关键． 23．如图，某公园为方便游客观看鲜花，计划在一块长为60米，宽为40米的花圃四周修建同样宽度的通道，设通道宽为a米． (1)用含a的式子表示通道和花圃的总面积； (2)如果通道所占面积与花圃的面积相等，求出此时通道的宽度． 【答案】(1)平方米 (2)10米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）根据题意，得到总面积为长为，宽为的长方形的面积，列出代数式即可； （2）根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，总面积为：平方米； （2）由题意，得：， 解得：或（舍去）； ∴通道的宽度为10米． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、应用 课程标准 学习目标 1 根的判别式 2 根与系数的关系 3由实际问题抽象出一元二次方程 4一元二次方程的应用 5高次方程 6无理方程 1.理解一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，会用它们解决一些简单的问题. 2.会列出一元二次方程解决实际问题. 【学习重点】一元二次方程的应用题. 【学习难点】列一元二次方程解决实际问题. 知识点01 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【即学即练】 1．（2024春•贵池区期末）关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m≤1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠0 知识点02 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【即学即练】 2．（2024春•花山区校级期末）下列一元二次方程的两个实数根之和为﹣3的是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2﹣3x+3＝0 C．x2+3x﹣5＝0 D．x2+3x+5＝0 知识点03由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 【即学即练】 3．（2022春•大观区校级期中）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18 C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18 知识点04一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 【即学即练】 4．（桐城市期中）如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为（　　） A．5米 B．3米 C．2米 D．2米或5米 知识点05高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 【即学即练】 5．（肥西县校级月考）方程x4﹣1＝0的根是 　． 知识点06无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． （2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 【即学即练】 6．（2024春•瑶海区校级月考）方程的根为 　　． 题型01 根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）定义运算：，例如：方程的根的情况（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）一元二次方程的根的判别式的值为 ． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求k的值； (2)求证：方程有两个不相等的实数根． 题型02 根据一元二次方程根的情况求参数 4．（23-24八年级下·安徽六安·期末）关于x的一元二次方程没有实数根，m可以为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为 ． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程有实数根，求的取值范围． 题型03 一元二次方程的根与系数的关系 7．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是(   ) A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）观察下列一组方程：①；②；③；④；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，则的值为 ． 9．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两根，且，求m的值． 题型04 传播问题(一元二次方程的应用) 10．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（20-21八年级下·安徽宣城·期中）美国有一人感染新冠肺炎，经过两轮传染后共有100个人感染，那么每轮传染中，平均一个人感染的人是 ． 12．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？ 题型05 增长率问题(一元二次方程的应用) 13．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月3日比5月2日的全国旅游收入多127.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某食品加工厂第一季度的销售额为万元，第三季度的销售额为万元，则该食品加工厂第二、三季度销售额的平均增长率为 ． 15．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）某公司生产某种产品，2022年产量为40万件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长相同的百分数，这样，确保2022至 2024这三年的总产量达到280万件．求这个增长的百分数． 题型06 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 16．（22-23八年级下·安徽六安·期中）如图，若将图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成图2所示的长方形，设，则这个正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为平方米，则图中区域①矩形的长为 米．    18．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，将边长为10cm的正方形扩大成面积为132的矩形．若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽． 题型07 数字问题(一元二次方程的应用) 19．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（    ） A． B． C． D． 20．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 21．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数． 题型08 营销问题(一元二次方程的应用) 22．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某商场以每件元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为元，则平均每天可销售件，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，每件商品售价为多少元时，商场日盈利可达到元？设每件商品售价为元，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价元，可列方程 ． 24．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一个月生产80万个，第三个月生产96．8万个． (1)已知每个月生产量的增长率相等，求前三个月生产量的月增长率； (2)经调查发现，1条生产线最大产能是150万个/月，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少6万个/月，现该公司要保证每月生产内存芯片528万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 题型09 其他问题(一元二次方程的应用) 25．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于（    ） A． B． C． D． 26．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，点O是矩形内一点，则点O到四个顶点的距离满足关系式，若点O在对角线，，．则 ．    27．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）自2013年中国铁路售票系统12306手机APP正式上线，十年来，我们实现了互联网便捷购票，出行体验得以逐步优化提升，12306也从最初的一个简单的购票系统成长为多元化、网络化、移动化、个性化的综合铁路服务平台，已知从安庆开往A市的某趟高铁中途要停靠若干个站点，12306购票系统需为此设置21种电子客票，那么这趟高铁中途停靠的站点有多少个？ 一、单选题 1．2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的年平均增长率为x，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价定为元，则可卖出件，若商店计划从这批商品中获取400元的利润（不计其他成本），求售价．根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（    ） A． B． C．或3 D．或3 4．某农家前年水蜜桃亩产量为800千克，今年的亩产量为1200千克．设从前年到今年平均增长率都为x，则可列方程（　　） A．800（1+2x）＝1200 B．800（1+x2）＝1200 C．800（1+x）2＝1200 D．800（1+x）＝1200 5．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为人，则可列方程（    ） A． B． C． D． 6．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第(　　)象限． A．四 B．三 C．二 D．一 7．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为（    ）． A．2个； B．1个； C．0个； D．不确定． 8．某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 9．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A．16（1﹣x）2＝9 B．9（1+x）2＝16 C．16（1﹣2x）＝9 D．9（1+2x）＝16 10．某品牌钢笔进价8元，按10元1支出售时每天能卖出20支，市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出2支，为了每天获得最大利润，其售价应定为（    ） A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 二、填空题 11．一元二次方程有两个实数根，．若，则的值为 12．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 ． 13．小红的妈妈做了一副长，宽的矩形十字绣风景画，做一副镜框制成一副矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设镜框边的宽为，那么x满足的方程是 ． 14．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 ． 三、解答题 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围． （2）是否存在实数k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 16．某小区有一块长12米、宽6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿化地，它们的面积之和为36平方米，两块绿化地之间及周围留有宽度相等的小路，求小路的宽度为多少米. 17．已知一元二次方程的两实数根为、，不解方程，求的值． 18．某地方出现流感，开始有1人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感． (1)求每轮传染中，平均一个人传染了多少个人？ (2)如果在第三轮传染开始前没有控制，仍保持相同的传播速度，则经三轮传染后共有__________人患了流感． 19．某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司缴税的年均增长率为多少？ 20．不解方程，直接判断下列一元二次方程的根的情况． （1）； （2）； （3）． 21．如图，在宽为20m，长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为450m2，求道路的宽． 22．某读书兴趣小组计划去书店购买一批定价为50元/本的书籍，书店表示有两种优惠方案方案一：若购买数量不超过10本，每本按定价出售；若超过10本，每增加1本，所有书籍的售价可比定价降2元，但售价不低于35元/本．方案二：前5本按定价出售，超过5本以上的部分可以打折． (1)该兴趣小组按照方案一的优惠方式支付了600元，请你求出购买书籍的数量； (2)如果该兴趣小组用方案二的优惠方式购买（1）中的数量，请问书店折扣至少低于几折才能使得实付金额少于600元？ 23．如图，某公园为方便游客观看鲜花，计划在一块长为60米，宽为40米的花圃四周修建同样宽度的通道，设通道宽为a米． (1)用含a的式子表示通道和花圃的总面积； (2)如果通道所占面积与花圃的面积相等，求出此时通道的宽度． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$