第10章 相交线、平行线与平移（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪科版2024）

第10章 相交线、平行线与平移（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列例子中，不能看作平行线的是（    ） A．人行道上的斑马线 B．长方形门窗的边框 C．五线谱 D．螺丝上的螺旋线 2．下列运动属于平移的是（） A．落叶随风飘零 B．行驶的自行车后轮 C．火箭升空的运动 D．翻开数学课本 3．如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（    ） A．与是内错角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 4．下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（　 　） A．或与在同一条直线上 B．或与在同一条直线上 C． D． 7．小亮绘制的潜望镜原理示意图如图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与出射光线平行，，．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，将直角三角形沿方向向上平移得到三角形，已知．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．三角板（，）与一组平行线和的位置如图所示，点在直线上，已知，将三角板绕点顺时针转动，若要使，则需转动的最小角度为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，是锐角，将沿着射线向右平移得到（平移后点，，的对应点分别是，，），连接．在整个平移过程中，和之间存在2倍关系，则的大小不可能为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．如图，直线相交于点O，于点O， 度． 12．小亮将一副三角板和按如图所示方式摆放，其中边和边重合，由此判定，他的判定依据是 ． 13．如图，三角形中，，将其沿所在的直线向右平移得到三角形，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有 个． 14．一副直角三角尺按如图的方式叠放在一起，将含角的三角尺固定不动，含角的三角尺绕顶点顺时针转动，使其一边与平行，则的度数为 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．如图①是一个落地书架，图②是其部分示意图．已知，，试说明与，与的位置关系． 16．如图，直线相交于点O，射线平分，射线在内部． (1)若平分，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．请根据图形回答下列问题： (1)图中的对顶角有________对； (2)与，与各是什么位置关系的角？是哪两条直线被哪一条直线所截得到的？ (3)的内错角有哪些？ 18．阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由． 如图：已知，，于点，于点，求证：． 证明：∵，，（已知） ∴ ______， ∴（______）， ∴ ________（          ）， ∵，，（已知） ∴，，（           ） ∴． ∴（           ） ∴ __________（            ） ∴．（          ） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．利用网格画图． (1)过点C画的平行线： (2)过点C画的垂线，垂足为； (3)线段的长度是点C到直线__________的距离； (4)连接，，在线段，，中，线段__________最短，理由：____________________． 20．和是两个形状、大小完全相同的直角三角形，如图①所示，三条边、、的长分别是、、，且、、、在同一条直线上． (1)如果朝着某个方向平移后得如图②所示，则平移的方向是什么？平移的距离是多少？ (2)平移至图③所示的位置，如果，则的面积是多少？ 六、（本题满分12分） 21．如图1，是两个互相平行的镜面，根据镜面反射规律：若一束光线照射到镜面上，反射光线为， 则一定有．光线是由镜反射得到．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2， 镜上有一光源 P， 发射的光线交反射光线于点Q， 若，猜想与的数量关系，并说明理由． 七、（本题满分12分） 22．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 8、 （本题满分 14 分） 23．如图，直线，线段的端点在上，端点在上． (1)如图1，平行移动线段到，点在线段上，连接．如果的面积为的面积为的面积为，写出的数量关系式，并给出推理过程． (2)如图2，平行移动线段到，直线交线段于点，点在直线上点的右侧；连接；把沿着直线翻折，点的对应点恰好落在线段上；线段与直线的夹角为． ①若，，求的度数． ②探究：如果，那么是否存在，使得直线，同时把三等分？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 相交线、平行线与平移（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列例子中，不能看作平行线的是（    ） A．人行道上的斑马线 B．长方形门窗的边框 C．五线谱 D．螺丝上的螺旋线 【答案】D 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定． 【详解】解：人行道上的斑马线、长方形门窗的边框、五线谱能看作平行线， 螺丝上的螺旋线不在同一平面内，不是平行线 故选：D． 2．下列运动属于平移的是（） A．落叶随风飘零 B．行驶的自行车后轮 C．火箭升空的运动 D．翻开数学课本 【答案】C 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查平移的定义，熟记平移的定义是解题的关键．利用平移的定义进行判断即可． 【详解】解：A．落叶随风飘零不是平移，不符合题意； B．行驶的自行车后轮不是平移，不符合题意； C．火箭升空的运动是平移，符合题意； D．翻开数学课本不是平移，不符合题意． 故选：C． 3．如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（    ） A．与是内错角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义 【分析】根据内错角，对顶角，同位角，同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：A. 与是内错角，本选项正确，不符合题意，     B. 与是对顶角，本选项正确，不符合题意， C. 与不是同位角，本选项错误，符合题意，     D. 与是同旁内角，本选项正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了内错角，对顶角，同位角，同旁内角的定义，正确理解定义是解题的关键． 4．下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．根据各选项中角的关系及平行线的判定定理，分别分析判断、是否平行即可． 【详解】解：A、，不能判定，不符合题意， B、，不能判定，不符合题意， C、∵，∴，不能判定，不符合题意， D、∵，∴，符合题意， 故选：D． 5．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质及垂直的性质，逐项进行分析，用排除法即可找到答案．熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：A．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； B．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； C．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； D．若，，则，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 6．如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（　 　） A．或与在同一条直线上 B．或与在同一条直线上 C． D． 【答案】D 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质判断即可,平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：A、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故A正确； B、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故B正确； C、由平移的性质可知，故C正确； D、由平移的性质可知，但不一定等于，故D不一定正确， 故选：D． 7．小亮绘制的潜望镜原理示意图如图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与出射光线平行，，．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质．熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键． 由，可求出，由可得． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 8．如图，将直角三角形沿方向向上平移得到三角形，已知．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的基本性质和梯形的面积公式．根据平移的性质可得，再根据梯形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵将直角三角形沿方向向上平移得到三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 9．三角板（，）与一组平行线和的位置如图所示，点在直线上，已知，将三角板绕点顺时针转动，若要使，则需转动的最小角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的判定即性质，熟悉掌握平行线的性质是解题的关键． 假设时，得到的度数，再对比原来的度数即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，即， ∴此时， 又∵， ∴则需转动的最小角度为：， 故选：A． 10．如图，在中，，是锐角，将沿着射线向右平移得到（平移后点，，的对应点分别是，，），连接．在整个平移过程中，和之间存在2倍关系，则的大小不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查图形变换，掌握平行线的判定和性质，平移的性质，角度的和差计算方法的综合是解题的关键． 分类讨论，第一种情况：如图，当点在上时，过点作，①当时；②当时；第二种情况：当点在外时，过点作，①当时；②当时；根据平行线的性质，图形结合即可求解． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； ②当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； ②当时，由图可知，，故不存在这种情况； 综上所述，的大小可能为或或， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．如图，直线相交于点O，于点O， 度． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解 【分析】此题主要考查了垂线的性质．根据垂直定义可得的度数，然后再根据可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 12．小亮将一副三角板和按如图所示方式摆放，其中边和边重合，由此判定，他的判定依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判断，熟练掌握判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法求解即可． 【详解】解：∵与都为直角三角板， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 13．如图，三角形中，，将其沿所在的直线向右平移得到三角形，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有 个． 【答案】3 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质，平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向，得到，，，则，据此即可解答． 【详解】解：∵三角形中，，将其沿所在的直线向右平移得到三角形， ∴，，， ∴ ∴②，③，④选项正确，不能得出，故④不正确，一定成立的结论有3个． 故答案为：3． 14．一副直角三角尺按如图的方式叠放在一起，将含角的三角尺固定不动，含角的三角尺绕顶点顺时针转动，使其一边与平行，则的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差，分三种情况：，，，分别画出图形，利用平行线的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当时，如图， 则， ∵， ∴， ∴； 当时，如图，点落在上， ∴； 当时，如图， 则， ∴； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．如图①是一个落地书架，图②是其部分示意图．已知，，试说明与，与的位置关系． 【答案】，，理由见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角的定义，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 利用平行线的判定方法进行判定求解即可． 【详解】解：∵和是内错角，， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 16．如图，直线相交于点O，射线平分，射线在内部． (1)若平分，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了角的和差计算及角平分线的有关计算，熟练掌握角的和差计算的方法是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义表示出和，然后根据计算即可得解； （2）由先求出，再求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：．理由如下： 因为分别平分， 所以，， 所以， 所以． （2）解：因为平分， 所以． ． 因为平分， 所以， 所以． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．请根据图形回答下列问题： (1)图中的对顶角有________对； (2)与，与各是什么位置关系的角？是哪两条直线被哪一条直线所截得到的？ (3)的内错角有哪些？ 【答案】(1)6 (2)与是同旁内角，与是同位角，都是直线和直线被直线所截得到的 (3)和 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义 【分析】本题主要考查了同位角、同旁内角、内错角定义，对顶角定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）根据对顶角定义进行判断即可； （2）根据同旁内角，同位角定义进行判断即可； （3）根据内错角定义寻找即可． 【详解】（1）解：图中以C为顶点的对顶角有2对，以D为顶点的对顶角有2对，以E为顶点的对顶角有2对， ∴图中的对顶角有（对）； （2）解：与是同旁内角，与是同位角，都是直线和直线被直线所截得到的； （3）解：的内错角有和． 18．阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由． 如图：已知，，于点，于点，求证：． 证明：∵，，（已知） ∴ ______， ∴（______）， ∴ ________（          ）， ∵，，（已知） ∴，，（           ） ∴． ∴（           ） ∴ __________（            ） ∴．（          ） 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，根据平行线的判定与性质，垂直的定义即可求证，熟知平行线的判定与性质定理是解题的关键． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知）， ∴，（垂直的定义） ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．利用网格画图． (1)过点C画的平行线： (2)过点C画的垂线，垂足为； (3)线段的长度是点C到直线__________的距离； (4)连接，，在线段，，中，线段__________最短，理由：____________________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)；垂线段最短 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、画垂线、格点作图题 【分析】本题考查了网格作图和据垂线段最短． ①根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与平行的格点作出即可； ②根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点； ③根据点到直线的距离概念回答； ④根据垂线段最短直接回答即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）线段的长度是点到直线的距离； 故答案为：； （4）连接、，在线段、、中，线段最短，理由：垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 20．和是两个形状、大小完全相同的直角三角形，如图①所示，三条边、、的长分别是、、，且、、、在同一条直线上． (1)如果朝着某个方向平移后得如图②所示，则平移的方向是什么？平移的距离是多少？ (2)平移至图③所示的位置，如果，则的面积是多少？ 【答案】(1)平移的方向沿方向，平移距离是； (2) 【知识点】图形的平移、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质， （1）根据平移的性质结合图形即可确定平移方向为沿方向，对应点之间的距离为平移距离； （2）由面积法求出的长度，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：由图可知，平移的方向沿方向，平移距离是长， ， 平移距离是； （2）解：∵， ∴， ∵， ， 的面积． 六、（本题满分12分） 21．如图1，是两个互相平行的镜面，根据镜面反射规律：若一束光线照射到镜面上，反射光线为， 则一定有．光线是由镜反射得到．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2， 镜上有一光源 P， 发射的光线交反射光线于点Q， 若，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， 证明见解析 (2)， 证明见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线性质与判定的实际应用，读懂题意找出图中的相等的角是解决此题的关键． （1）求出，根据，推出，根据平行线的判定推出即可． （2）由平行线的性质得，结合可求出． 【详解】（1）， 证明∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）， 证明∶ ∵， ∴， ∵， ∴． 七、（本题满分12分） 22．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质可得，，，，由两直线平行同位角相等可得的度数，由两直线平行内错角相等可得，然后根据即可得出的度数； （2）由平移的性质可得，结合可得，再利用三角形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积； （3）由平移的性质可得：，，依题意得，，即，进而可得，即，据此即可求出的长度． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，，，， ， ， ， ； （2）解：由平移的性质可得：， ∵， ， 又， ； （3）解：由平移的性质可得：，， 的周长为， ， 又四边形的周长为， ， 即：， ， ， ， ， 即：的长度为6． 8、 （本题满分 14 分） 23．如图，直线，线段的端点在上，端点在上． (1)如图1，平行移动线段到，点在线段上，连接．如果的面积为的面积为的面积为，写出的数量关系式，并给出推理过程． (2)如图2，平行移动线段到，直线交线段于点，点在直线上点的右侧；连接；把沿着直线翻折，点的对应点恰好落在线段上；线段与直线的夹角为． ①若，，求的度数． ②探究：如果，那么是否存在，使得直线，同时把三等分？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②存在，当时，直线，同时把三等分．理由见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平移综合题(几何变换)、折叠问题 【分析】（1）过点，分别作，，垂足分别是点和点，过点作，垂足为，根据平移的性质表示出，，，即可解答； （2）①根据平移的性质，平行线的性质及折叠的性质表示出相关角度的和差倍分即可解答； ②根据平移的性质，平行线的性质及折叠的性质求出相关角度即可解答． 【详解】（1）解：， 理由如下： 由平移性质可得，， 过点，分别作，，垂足分别是点和点，过点作，垂足为，如图所示： ，， 的面积为，的面积为，的面积为， ，，， ， ， ， （2）解：①如图，由平移性质可得， ， 直线， ， ， 三角形沿着直线翻折， ， ， ， ； ②存在时，直线和直线互相垂直，同时，把三等分， 理由如下： 由平移性质可得， ， ， 直线， ， ， ， 三角形沿着直线翻折， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、把三等分， 时，直线和直线互相垂直，同时，把三等分． 【点睛】本题是几何变换的综合应用，主要考查折叠的性质，平移的性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，掌握折叠的性质，平移的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$