精品解析：山东省实验中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度第一学期高二教学质量检测 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一. 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线 的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线为椭圆，其焦距为 B. 当时，曲线为双曲线，其离心率为 C. 存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线 D. 当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切 4. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数构成的数列的第项，则的值为（ ） A. 5049 B. 5050 C. 5051 D. 5101 5. 如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，若存在，使得成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆（）的左、右焦点分别为，，P为椭圆上第一象限内的一点，且，与y轴相交于点Q，离心率，若，则（ ） A. B. C. D. 8. ，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二. 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 为的一个焦点 B. 双曲线的离心率为 C. 过点作直线与交于两点，则满足的直线有且只有两条 D. 设为上三点且关于原点对称，则斜率存在时其乘积为 10. 如图，菱形的边长为2，，为边的中点，将沿折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是（ ） A. 点到平面的距离为 B. 与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 11. 数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线与轴交于两点，与轴交于两点，点是上一个动点，则（ ） A. 点在上 B. 面积的最大值为 C. 曲线恰好经过个整点（即横，纵坐标均为整数的点） D. 三. 填空题：本题共3小题，每小题5分. 共15分. 12. 已知数列是等差数列，若，则__________. 13. 已知数列的前项和为，且，，数列的通项公式为_____ 14. 已知函数，若在上有解，则的最小值___. 四．解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，前7项和为 （Ⅰ）求的通项公式 （Ⅱ）设数列满足，求的前项和. 16. 已知圆与x轴相切． （1）求圆C的圆心坐标及半径； （2）直线与圆C交于A，B两点，求线段的长． 17. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值. 18. 已知直线经过椭圆的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）椭圆C的下顶点为A，P 是椭圆C上一动点，直线AP 与圆O：相交于点 M(异于点A)，M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q (异于点A).设直线 MN，PQ 的斜率分别为，试探究当时，是否为定值，并说明理由. 19. 设(e为自然对数的底数)，． （1）记. (i)讨论函数单调性； (ii)证明当时，恒成立 （2）令，设函数G(x)有两个零点，求参数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期高二教学质量检测 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一. 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线 的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线焦点坐标公式可得答案. 【详解】，即，则其焦点坐标为， 故选：A. 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，，共面； 对于B，因为，所以，，共面； 对于C，因为，所以，，共面； 对于D，假设三个向量共面，则存在实数，使得成立， 则方程组无解，所以，，不共面； 故选：D 3. 已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线为椭圆，其焦距为 B. 当时，曲线为双曲线，其离心率为 C. 存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线 D. 当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切 【答案】B 【解析】 【分析】 根据的取值和椭圆、双曲线的几何性质可确定的正误；根据方程表示双曲线可构造不等式，确定的正误；根据直线与圆位置关系的判定可知的正误. 【详解】对于，当时，曲线的方程为，轨迹为椭圆， 焦距，错误； 对于，当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线， 则，，离心率，正确； 对于，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解集为空集， 不存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线，错误； 对于，当时，曲线的方程为，其渐近线方程为， 则圆的圆心到渐近线的距离， 双曲线渐近线与圆不相切，错误. 故选：. 【点睛】本题考查椭圆、双曲线几何性质的应用，涉及到椭圆和双曲线焦距和离心率的求解、根据方程表示双曲线求解参数、直线与圆位置关系的判定等知识，是对解析几何部分基础知识的综合考查. 4. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数构成的数列的第项，则的值为（ ） A. 5049 B. 5050 C. 5051 D. 5101 【答案】B 【解析】 【分析】 观察数列的前4项，可得，将代入即可得解. 【详解】由题意得，，， 观察规律可得， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了观察法求数列的通项公式，关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律. 5. 如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算的长度，得到，接着利用向量数量积的几何意义：等于在上的投影向量与的数量积，逐一分析选项ABCD即可得解. 【详解】由题意得，， ∴， ∴. A.如图，过点作于点，    对于A，由向量数量积的几何意义得 ， 由于点是动点， 所以不是定值，所以不是定值，故选项A错误； 对于B，， 由于点是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项B错误； 对于C， ，由于不是定值，故选项C错误； 对于D，由于向量在向量上的投影向量为，所以为定值. 故选：D. 6. 已知函数，，若存在，使得成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设知，研究的单调性及最值，画出函数图象，数形结合确定、的交点个数得，进而将目标式化为且，构造函数研究最小值即可. 【详解】由题设，即， 由，则上，递减；上，递增； ，且，图象如下： 由图知：时，，即且，所以， 令且，则， 时，，递减；时，，递增； 所以，即的最小值为. 故选：A 【点睛】关键点睛：利用同构得到，导数研究的性质，结合得到为关键. 7. 椭圆（）的左、右焦点分别为，，P为椭圆上第一象限内的一点，且，与y轴相交于点Q，离心率，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设、，结合椭圆定义及离心率可用表示、，结合勾股定理计算即可得解. 【详解】设、，则有，， 则，即， 则，即， 即，， 则，由， 则有， 整理得，即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助椭圆定义及离心率，用表示、，再借助表示出，结合勾股定理计算即可得解. 8. ，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项. 【详解】令，则，，， 而且，即时单调增，时单调减，又， ∴，. 若有两个解，则，， 即，， 令，则，即在上递增， ∴，即在上，，若即，故，有 ∴当时，，故， 综上：. 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小. 二. 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 为的一个焦点 B. 双曲线的离心率为 C. 过点作直线与交于两点，则满足的直线有且只有两条 D. 设为上三点且关于原点对称，则斜率存在时其乘积为 【答案】BD 【解析】 【分析】依题意求出双曲线方程，即可判断AB；再由双曲线的对称性判断C；设，，利用点差法求出； 【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以，解得，所以双曲线，所以，，，所以则其焦点为、，离心率，故A错误，B正确；过点作直线与交于两点，因为为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时，当直线的斜率为时，，所以由双曲线的对称性得，满足的直线有4条，故C错误； 设，，，所以，，因为在双曲线上，所以，，两式相减得，所以，故D正确； 故选：BD 10. 如图，菱形的边长为2，，为边的中点，将沿折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是（ ） A. 点到平面的距离为 B. 与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，从而建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据点面距离公式求解A，根据向量的夹角公式求解BD，根据外接球的性质求解半径，即可根据体积公式求解C. 【详解】因为菱形中，为的中点，所以， 即将沿折起后，，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，. 对于A，设平面的法向量为，则 取，得， 所以点到平面的距离为，A正确； 对于B，与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，取的中点为，则，所以为三棱锥 的外接球球心，，C错误； 对于D，设直线与平面所成的角为， 则，D正确. 故选:ABD 11. 数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线与轴交于两点，与轴交于两点，点是上一个动点，则（ ） A. 点在上 B. 面积的最大值为 C. 曲线恰好经过个整点（即横，纵坐标均为整数的点） D. 【答案】BD 【解析】 【分析】将点代入曲线方程判断A，由方程取求点的坐标，取求坐标，求直线与曲线的交点，由此判断B，求直线与曲线的交点，判断C，求到点距离和为的点的轨迹，求该轨迹与已知曲线的交点，由此判断D. 【详解】将点代入曲线的方程的左侧可得， 所以点不在曲线上，A错误； 取可得，所以，，所以， 由曲线可得，因为， 设， 当时，， 当时，，代入曲线的方程成立， 所以直线与曲线的交点坐标为， 所以点的纵坐标的绝对值的最大值为， 所以面积的最大值为，，B正确； 由，取，可得， 所以直线与曲线交于点，直线与曲线交于点， 所以曲线经过点，C错误； 坐标平面内到定点的距离和为的点的轨迹为以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，由已知， 又，故， 所以椭圆方程为， 联立，所以， 所以，所以， 所以， 故椭圆与曲线的交点为，， 如图： 故曲线上的所有点都满足故选，D正确； 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于结合曲线方程，确定曲线的范围及曲线上的关键点的坐标. 三. 填空题：本题共3小题，每小题5分. 共15分. 12. 已知数列是等差数列，若，则__________. 【答案】15 【解析】 【分析】运用等差数列下标的性质进行求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以由， 于是， 故答案为： 13. 已知数列的前项和为，且，，数列的通项公式为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据与的关系求数列的通项公式. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减，得：， 又， 所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列. 所以. 故答案为： 14. 已知函数，若在上有解，则的最小值___. 【答案】 【解析】 【分析】确定点在直线上，，设，求导得到导函数，确定单调区间计算最值得到答案. 【详解】设函数在上的零点为，则， 所以点在直线上. 设为坐标原点，则，其最小值就是到直线的距离的平方， 所以， 设，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，，所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求最值，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将转化为点到直线的距离的平方，再利用导数求最值是解题的关键. 四．解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，前7项和为 （Ⅰ）求的通项公式 （Ⅱ）设数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) . 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据等差数列的求和公式可得，得，然后由已知可得公差，进而求出通项；（2）先明确=，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论. 解析： （Ⅰ）由，得 因为所以 （Ⅱ） 16. 已知圆与x轴相切． （1）求圆C的圆心坐标及半径； （2）直线与圆C交于A，B两点，求线段的长． 【答案】（1）圆心坐标为，半径长为2 （2） 【解析】 【分析】（1）首先化为圆的标准方程，再根据半径与圆心坐标的关系，即可求解； （2）首先计算圆心到直线的距离，再代入弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 配方得， 由此可得圆心坐标为． 因为圆C与x轴相切， 所以圆心到x轴的距离为． 所以半径长为2． 【小问2详解】 因为直线与圆C交于A，B两点， 所以圆心C到直线l的距离为． 由（Ⅰ）可知， 所以． 17. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，利用线面垂直的判定定理证得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）由(1)建立如图空间直角坐标系，利用向量法分别求出平面、平面的法向量，结合空间向量的数量积定义计算即可. 【小问1详解】 取中点，连接， 因为四边形是边长为的菱形，所以， 因为,所以是等边三角形， 所以, 因为，所以， 因为，所以，所以. 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； 【小问2详解】 因为，所以， 由（1）知，平面平面，而平面平面， 平面，所以平面， 所以直线两两垂直，以为原点建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 由，取，得， 设平面的法向量为， 由，取，得， 所以，由图可知二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知直线经过椭圆的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）椭圆C的下顶点为A，P 是椭圆C上一动点，直线AP 与圆O：相交于点 M(异于点A)，M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q (异于点A).设直线 MN，PQ 的斜率分别为，试探究当时，是否为定值，并说明理由. 【答案】（1） （2）是定值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）运用椭圆的几何性质，解方程可得，，，进而得到所求椭圆方程； （2）设直线的方程，分别联立椭圆方程和园的方程求出的坐标，同理可得的坐标，运用两点的斜率公式，分别计算直线的斜率，直线的斜率，即可得证. 【小问1详解】 依题意，椭圆的半焦距，将代入椭圆方程得， 得，则，而，解得， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 由消去并整理得，解得或0（舍去）， 将代入得， 则点， 由消去并整理得，解得或0（舍去）， 将代入得， 则点， 显然是圆的直径，则，直线的方程为， 用代替，得， 直线的斜率， 直线的斜率， 因为，所以，故， 所以，为定值. 19. 设(e为自然对数的底数)，． （1）记. (i)讨论函数单调性； (ii)证明当时，恒成立 （2）令，设函数G(x)有两个零点，求参数a的取值范围. 【答案】（1）（i）当时， 单调减；当时， 单调增;（ii）证明见解析; （2） 【解析】 【分析】（1）（i）由函数求出它的导函数,根据其导函数的正负,即可得到函数单调区间即可. （ii）构造函数,对进行讨论，证明其最小值大于0. （2）,，首先按分类，然后按的零点分类讨论，确定的单调性，由零点存在定理确定是否存在零点，零点的个数，从而得到有两个零点时的范围. 【小问1详解】 ． （i）， 所以，当时，，单调减；当时，，单调增． （ii）， 令，， ， 所以，又， 所以时，恒成立，即当时，恒成立． 【小问2详解】 由已知，， ． ①当时，，有唯一零点； ②当时，，所以 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以极小值， 因，所以当时有唯一零点； 当时，，，所以， 所以， 因为， 所以，，且，当或时，使， 取，则，从而可知 当时，有唯一零点， 即当时，函数有两个零点． ③当时，，由，得，或． 1° 若，即时，， 由于时，，时，，所以， 所以是单调减函数，至多有一个零点； 2°若，即时，，注意到，都是增函数，所以 当时，，是单调减函数； 当时，，是单调增函数； 当时，，是单调减函数． 极小值，所以至多有一个零点； 3°若，即时，同理可得 当时，，是单调减函数； 当时，，是单调增函数； 当时，，是单调减函数． 所以极小值，至多有一个零点． 综上，若函数有两个零点，则参数的取值范围是． 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性、证明不等式，研究函数的零点，涉及到分类讨论、问题的转化，属于困难题．证明不等式时，需要引入新函数通过证明新函数的最小值大于0证得不等式成立；在由零点个数确定参数范围时，需要对参数分类讨论，然后还要导函数的零点分类，并利用零点存在定理确定零点的存在性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $