第06讲 菱形（3个知识点+8类题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

八年级下苏科版 第06讲 菱形 课程标准 学习目标 1.菱形的性质； 2.菱形的判定 3.菱形的面积 1.掌握菱形的性质和判定，并能够综合运用； 2.会用不同的方法求菱形的面积。 知识点1：菱形的性质 ①菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的所有性质，即对边平行且相等，对角线互相平分；对角相等； ②菱形特有的性质：四边相等；对角线互相垂直； ③菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点； ④菱形是轴对称图形，有2条对称轴。 在菱形ABCD中， AB=BC=CD=AD AB//CD，AD//BC AC⊥BD OD=OB，OA=OC 【即学及练】 1．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝α，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接CE，EF，若CE＝EF，CE⊥BD，则∠DEF一定等于（　　） A．α B． C．90°﹣α D．90°+α 【分析】连接AC，根据菱形的性质证得AC⊥BD，∠ABE＝∠CBE＝∠ADE，AB＝CB，进而得到∠EAD＝90°，证明△ABE≌△CBE（SAS），得到AE＝EC＝EF，由等腰三角形的性质得到∠EFA＝∠EAD＝90°，根据三角形内角和定理和直角三角形的性质即可求得答案． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，E点在对角线BD上，AC⊥BD， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ADE∠ABC，AB＝CB， ∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°， ∵CE⊥BD， ∴A，E，C三点共线， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝EC， ∵CE＝EF， ∴AE＝EF， ∴∠EFA＝∠EAD＝90°， ∴∠AEF＝180°﹣（90°）﹣（90°）＝α， ∴∠DEF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣α． 故选：C． 2．（2024春•鼓楼区校级期中）如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为 　12　． 【分析】先算出菱形的面积，再算出四边形ABFE的面积，因为阴影部分的面积＝四边形ABFE的面积﹣S△ABO，求得三角形ABO的面积，可得阴影部分的面积． 【解答】解：连接OC、OD， ∵点O是菱形ABCD的对称中心， ∴AC⊥BD，O是AC与BD的交点， ∴CO＝AO＝4，DO＝BO＝6， ∴AC＝8，BD＝12， ∵EF为过点O的一条直线， ∴四边形ABFE的面积＝四边形CDEF的面积菱形ABCD的面积， ∵菱形ABCD的面积AC×BD＝48， ∴四边形ABFE的面积24， ∵阴影部分的面积＝四边形ABFE的面积﹣S△ABO，S△ABOAO×BO＝12， ∴阴影部分的面积＝24﹣12＝12， 故答案为：12． 3．（2024春•南京期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为 　（8，4）　． 【分析】根据点A的坐标是（3，4），可得OA的长，再根据菱形的四条边都相等即可得点B的坐标． 【解答】解：∵点A的坐标是（3，4）， ∴OA＝5， ∵四边形OABC为菱形， ∴OA＝AB＝5， 则点B的坐标为（8，4）． 故答案为：（8，4）． 4．（2024秋•海城市期末）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠A＝60°，连接BD，点E在线段BD上，过点E作EF⊥AB于点F，且DE＝BF，求DE的长． 【分析】根据菱形的性质得出AD＝AB，进而得出△ADB是等边三角形，利用含30°角的直角三角形的性质得出BE＝2BF，进而解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB， ∵AB＝6，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝6，∠ABD＝60°， ∵EF⊥AB， ∴BE＝2BF， ∵DE＝BF， ∴BD＝DE+BE＝DE+2BF＝3DE＝6， ∴DE＝2． 知识点2：菱形的判定 ①四边相等的四边形是菱形； ②有一组邻边相等的平行四边形是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 【即学及练】 5．（2025•大渡口区模拟）如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 【分析】根据菱形的判定方法得出D正确，A、C、B不正确；即可得出结果． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项错误； B、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝∠ADC， 不能得出平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误； C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， 不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确； 故选：D． 6．（2024•邯郸模拟）如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3． （1）以点A为圆心，任意长为 半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接DC，BC. 则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 【分析】由作图得AB＝AD＝CB＝CD，即可根据“四条边相等的四边形是菱形”证明四边形ABCD是菱形，于是得到问题的答案． 【解答】解：由作图得AB＝AD，CB＝CD＝AD， ∴AB＝AD＝CB＝CD， ∵四条边相等的四边形是菱形， ∴四边形ABCD是菱形， 故选：D． 7．（2024春•工业园区校级期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝4，菱形ADBF的面积为20，求AC的长． 【分析】（1）利用平行线的性质可得∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，利用中点的定义可得AE＝DE，从而证明△FAE≌△CDE，然后利用全等三角形的性质可得AF＝CD，再根据D是BC的中点，可得AF＝BD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得BD＝AD，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，再根据点D是BC的中点，可得△ABC的面积＝2△ABD的面积，进而可得菱形ADBF的面积＝△ABC的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴△FAE≌△CDE（AAS）， ∴AF＝CD， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴AF＝BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝BDBC， ∴四边形ADBF是菱形； （2）解：∵四边形ADBF是菱形， ∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积， ∵点D是BC的中点， ∴△ABC的面积＝2△ABD的面积， ∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝20， ∴AB•AC＝20， ∴4•AC＝20， ∴AC＝10， ∴AC的长为10． 8．（2024秋•天府新区期末）如图，在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，点D是AE的中点，连接CD，过点C作CB∥AE，过点A作AB∥CD，CB，AB交于点B，连接BD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接BE交AC于点G，交CD于点F，若BD＝BC，CD＝4，求OG的长． 【分析】（1）由∠ACE＝90°，点D是AE的中点，得CD＝ADAE，由CB∥AE，AB∥CD，证明四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD是菱形； （2）由菱形的性质得AC⊥BD，BC＝CD，则BD∥CE，可证明四边形BCED是平行四边形，而BD＝BC，CD＝4，则四边形BCED是菱形，BD＝BC＝CD＝4，所以OB＝ODBD＝2，∠CBD＝60°，BE⊥CD，求得∠DBF＝30°，则BG＝2OG，由OBOG＝2，求得OG． 【解答】（1）证明：∵∠ACE＝90°，点D是AE的中点， ∴CD＝AD＝EDAE， ∵CB∥AE， ∴CB∥AD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BC＝CD， ∴∠BOC＝∠ACE＝90°， ∴BD∥CE， ∵CB∥DE， ∴四边形BCED是平行四边形， ∵BD＝BC，CD＝4， ∴四边形BCED是菱形，BD＝BC＝CD＝4， ∴OB＝ODBD＝2，∠CBD＝60°，BE⊥CD， ∴∠DBF＝∠CBF∠CBD＝30°， ∴BG＝2OG， ∵OBOG＝2， ∴OG， ∴OG的长是． 知识点3：菱形的面积 菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。 S菱形ABCD=底×高=AC×BD 【即学即练】 9．（2024秋•海淀区校级期末）如图，四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，BD＝8，则菱形ABCD的面积是（　　） A． B． C． D．64 【分析】根据菱形性质和已知条件，判断出△BCD是等边三角形，求出OB，BC，根据勾股定理求出OC，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°， ∴BC＝CD，OA＝OC，OB＝ODBD8＝4，AC⊥BD， ∴△BCD是等边三角形， ∴BC＝BD＝8， ∴OC4， ∴AC＝OC＝8， ∴四边形ABCD的面积AC•BD88＝32． 故选：C． 10．（2024秋•三水区期末）如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 【分析】根据菱形的性质可得BC＝CD＝5，BO＝DO＝4，OA＝OC，AC⊥BD，运用勾股定理可得OC，AC的长，再根据菱形面积的计算方法，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8， ∴BC＝CD＝5，BO＝DO＝4，OA＝OC，AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°． 在Rt△COB中，由勾股定理，得， ∴AC＝2OC＝2×3＝6， ∵， ∴， 所以AE的长是． 故选：A． 11．（2024春•淮阴区期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于H，则AH等于（　　） A． B．4 C． D．5 【考点】菱形的性质．版权所有 【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴COAC＝3，BOBD＝4，AO⊥BO， ∴BC＝5， ∴S菱形ABCDAC•BD6×8＝24， ∵S菱形ABCD＝BC×AH， ∴BC×AH＝24， ∴AH 故选：C． 【类型一：菱形的性质】 1．（2024秋•三亚期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，AF⊥BC于点F，交BD于点P．若AB＝6，则DP的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】先由菱形的性质得到AD＝AB＝BC＝6，AC⊥BD，AC＝2OA，再证明△ABC是等边三角形，则AC＝AB＝6，进而得到OA＝3，由三线合一定理得到∠OAP＝30°，则可求出，利用勾股定理得到，则． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝BC＝6，AC⊥BD，AC＝2OA， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝6， ∴OA＝3， ∵AF⊥BC， ∴∠OAP＝30°， ∴， 在Rt△AOD中，由勾股定理得， ∴， 故选：C． 2．（2024秋•梓潼县期末）如图，在菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣1，﹣2），C（3，1），则点A的坐标为 　（﹣1，3）　． 【分析】过B作BM⊥DC于点M，与y轴交于点N，由勾股定理求出BC＝5，再由菱形的性质得AB＝BC＝5，即可解决问题． 【解答】解：如图，过B作BM⊥DC于点M，与y轴交于点N， ∵B（﹣1，﹣2），C（3，1）， ∴BN＝1，BF＝EM＝2，MN＝3，CE＝1， ∴BM＝MN+BN＝3+1＝4，CM＝CE+EM＝1+2＝3， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， 在Rt△BCM中，由勾股定理得：BC5， ∴AB＝BC＝5， ∴AF＝AB﹣BF＝5﹣2＝3， ∵AB∥y轴， ∴点A的坐标为（﹣1，3）， 故答案为：（﹣1，3）． 3．（2024秋•平昌县月考）如图，在菱形ABCD中，直线MN分别交AB、CD、AC于点M、N和O．且AM＝CN，连接BO．若∠OBC＝60°，则∠DAC为（　　） A．65° B．30° C．25° D．20° 【分析】先由菱形性质得出AB∥CD，BC∥AD，BA＝BC．结合AM＝CN，证明△OAM≌△OCN（ASA），则OA＝OC，因为∠OBC＝60°，所以运用三角形内角和性质来计算，即可作答． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，BC∥AD，BA＝BC． ∴∠OMA＝∠ONC，∠OAM＝∠OCN，∠DAC＝∠OCB． 在△OAM和△OCN中， ， ∴△OAM≌△OCN（ASA）． ∴OA＝OC． ∴BO⊥AC． ∴∠BOC＝90°． ∵∠OBC＝60°， ∴∠OCB＝180°﹣∠BOC﹣∠OBC＝30°． ∴∠DAC＝∠OCB＝30°． 故选：B． 4．（2024秋•南山区校级期中）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE． （1）求证：OE＝CB； （2）如果OC：OB＝2：1，，求菱形的面积． 【分析】（1）通过证明四边形OCEB是矩形来推知OE＝CB； （2）利用（1）中的AC⊥BD、OE＝CB，结合已知条件，在Rt△BOC中，由勾股定理求得CO＝1，OB＝2．然后由菱形的对角线互相平分和菱形的面积公式进行解答． 【解答】（1）证明：点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC， ∴AC⊥BD，四边形OCEB是平行四边形，∠COB＝90°， ∴四边形OCEB是矩形， ∴OE＝CB； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，OC：OB＝2：1，， ∴，OC＝2OB， 由（1）知，AC⊥BD， 在Rt△BOC中，由勾股定理得BC2＝OC2+OB2， 即5＝OC2+（2OC）2， ∴CO＝2，OB＝1． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝4，BD＝2， ∴菱形ABCD的面积． 【类型二：菱形的判定】 5．（2023秋•镇雄县期末）在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为菱形的是（　　） A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．∠A＝∠B D．AC⊥BD 【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， A、∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意； B、由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD为菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 6．（2024秋•宝安区校级期中）如图，四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中所标的数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】AC与BD交于点O，由OC＝OA＝3，OB＝OD＝4，可证明四边形ABCD是平行四边形，由OB2+OC2＝BC2＝25，证明∠BOC＝90°，则四边形ABCD是菱形，可判断A不符合题意；由AB＝AD＝CB＝CD＝5，可证明四边形ABCD是菱形，可判断B不符合题意；由AD∥BC，AD＝BC＝5，证明四边形ABCD是平行四边形，由∠ADB＝∠ABD＝30°，得AB＝AD，则四边形ABCD是菱形，可判断C不符合题意；若AB∥CD，则四边形ABCD是菱形；C′D与AB不平行，则四边形ABC′D不是菱形，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图1，AC与BD交于点O， ∵OC＝OA＝3，OB＝OD＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵BC＝5， ∴OB2+OC2＝42+32＝25，BC2＝52＝25， ∴OB2+OC2＝BC2， ∴△BOC是直角三角形，且∠BOC＝90°， ∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， 故A不符合题意； 如图2，∵AB＝AD＝CB＝CD＝5， ∴四边形ABCD是菱形， 故B不符合题意； 如图3，∵∠ADB＝∠CBD＝30°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC＝5， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ADB＝∠ABD＝30°， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， 故C不符合题意； 若AB∥CD， ∵AB＝CD＝5， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 若C′D＝AB＝5，但C′D与AB不平行，则四边形ABC′D不是菱形， ∴四边形ABCD不一定是菱形， 故D符合题意， 故选：D． 7．（2023秋•青岛期末）一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF． （1）求证：AF∥CE； （2）当∠BAC＝　30　度时，四边形AECF是菱形？说明理由． 【分析】（1）证出∠HAF＝∠MCE，即可得出AF∥CE； （2）证出四边形AECF是平行四边形，再证出AF＝CF，即可得出四边形AECF是菱形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 由翻折知，∠DAF＝∠HAF∠DAC，∠BCE＝∠MCE∠BCA， ∴∠HAF＝∠MCE， ∴AF∥CE； （2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD， 由（1）得：AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠BAC＝30°， ∴∠DAC＝60°． ∴∠ACD＝30°， 由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°， ∴∠HAF＝∠ACD， ∴AF＝CF， ∴四边形AECF是菱形； 故答案为：30． 8．（2024•浙江模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF． （1）求证：BE＝DF； （2）作∠AEB的平分线交AB于点G，若EG∥AC，求证：四边形AECF是菱形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，OA＝OC，进而利用全等三角形的判定和性质得出AF＝CE，进而得出BE＝DF即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠GEB＝∠ACE＝∠EAC，进而利用菱形的判定解答即可． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC，AD＝BC， ∴∠FAO＝∠ECO， 在△FAO与△CEO中， ， ∴△FAO≌△CEO（ASA）， ∴AF＝CE， ∴AD﹣AF＝BC﹣CE， 即BE＝DF； （2）∵AF＝CE，AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EG∥AC， ∴∠GEB＝∠ACE，∠GEA＝∠EAC， ∵∠AEB的平分线交AB于点G， ∴∠GEB＝∠GEA， ∴∠ACE＝∠EAC， ∴AE＝EC， ∴▱AECF是菱形． 9．（2024秋•青岛期末）在▱ABCD中，对角线AC与BD相交点O，过点O分别作AB和BC的垂线，垂足分别为H，M． （1）如图1，当OH＝OM时，求证：平行四边形ABCD是菱形； （2）如图2，当∠ABC＝90°时，若AB＝OB，求的值． 【分析】（1）根据角平分线的判定定理证得∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，即可得到∠ABD＝∠ADB，得到AB＝AD，根据菱形的判定定理即可证得结论； （2）证明四边形ABCD是矩形得到OA＝OC＝OB＝OD，进而证得△ABC是等边三角形，∠OBM＝30°，证明四边形OHBM是矩形，得到OH＝BM，OB＝2OM，根据勾股定理求得BMOM，即可求得答案． 【解答】（1）证明：∵OH⊥AB，OM⊥BC，OH＝OM， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，BD＝AC， ∴OA＝OC＝OB＝OD， ∵AB＝OB， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABO＝60°， ∴∠OBM＝30°， ∵OH⊥AB，OM⊥BC， ∴四边形OHBM是矩形， ∴OH＝BM，OB＝2OM， ∴BMOM， ∴． 【类型三：菱形的翻折问题】 10．（2024春•玄武区期中）如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（　　） A．78° B．75° C．60° D．45° 【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°， ∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°， ∵P为AB的中点， ∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°， ∴∠PDC＝90°， ∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°， 在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°． 故选：B． 11．（2024春•建邺区期中）如图，菱形纸片ABCD的边长为2，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB'⊥AD，垂足为F．若∠B＝60°，则BE的长是 　　． 【分析】作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，求出∠ECB＝45°，得到EH＝CH，在Rt△EBH中，用BE表示EH，BH，再利用BH+CH＝BC列方程解出即可． 【解答】解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°， 由折叠得BC＝B′C＝2，∠BCE＝∠B′CE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC∥AD，DC＝BC＝2，∠B＝∠D＝60°， ∵CB′⊥AD于点F， ∴∠BCB′＝∠CFD＝90°， ∴∠BCE＝∠B′CE∠BCB′90°＝45°， ∵∠B＝60°， ∴∠DCF＝30°， ∴DFDC2＝1， ∴∠HEC＝∠BCE＝45°， ∴CH＝EH， 在Rt△EBH中， ∵sinB，cosB， ∴CH＝EHBE，BHBE， ∴BEBE＝2， ∴BE， 故答案为：． 【类型四：菱形的旋转问题】 12．（2024春•仪征市期中）如图，一大一小菱形ABCD与菱形EFGH的中心均为点O，∠ABC＝∠EFG＝60°．若菱形ABCD固定，将菱形EFGH绕点O旋转一周（即360°），若在旋转过程中，菱形EFGH顶点F八次落在菱形ABCD的边界上，顺次连接其中四个落点，所得四边形为矩形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由题意可得F1F5，F2F6，F3F7，F4F8为直径，由矩形的判定可得结论． 【解答】解：如图，连接F1F5，F2F6，F3F7，F4F8， 则F1F5，F2F6，F3F7，F4F8为直径， ∴F1F5＝F2F6＝F3F7＝F4F8， ∴四边形F1F2F5F6，F1F3F5F7，F1F4F5F8，F2F3F6F7，F2F4F6F8，F3F4F7F8是矩形， 故选：D． 13．（2024春•玄武区校级期中）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为 　　． 【分析】连接BE，作BH⊥AD，由旋转的性质可得△DCF≌△BCE，把求DF的最小值转化为求BE的最小值，再根据垂线段最短可得答案． 【解答】解：连接BE，作BH⊥AD交DA的延长线于H， 菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴∠BCD＝120°． ∵∠ECF＝120°， ∴∠BCD＝∠ECF， ∴∠BCE＝∠DCF 由旋转可得：EC＝FC， 在△BEC和△DFC中， ， ∴△DCF≌△BCE（SAS）， ∴DF＝BE， 即求DF的最小值转化为求BE的最小值． ∵在Rt△AHB中，∠BAH＝60°，AB＝2， ∴BH＝2sin60°， 当E与H重合时，BE最小值是， ∴DF的最小值是． 故答案为：． 【类型五：菱形的动点问题】 14．（2024春•苏州期中）如图1，在菱形ABCD中，点P沿A﹣B﹣C方向从点A移动到点C，设点P的移动路程为x，线段AP的长为y，点P在运动过程中y与x的变化关系如图2所示，点P运动到BC边上时，当x＝18，y的值最小为12，则a的值是 　4　． 【分析】根据菱形的性质，再结合P运动时y随x的变化的关系图象，运用勾股定理即可求解． 【解答】解：如图1，过A点作AE⊥BC于E， 根据图2知：当点P与点E重合时，AB+BP＝18，AP＝12， ∴AB+BE＝18，AE＝12， 设AB＝m，则BE＝18﹣m， 在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2， ∴122+（18﹣m）2＝m2， 解得：m＝13， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝13，BE＝5， ∴EC＝BC﹣BE＝13﹣5＝8， 当点P到达点C时，AP＝AC＝a， 在Rt△ACE中，AC2＝AE2+EC2，即a2＝122+82＝208， ∵a＞0， ∴a＝4， 故答案为：4． 15．（2024春•姑苏区校级期中）如图1，四边形ABCD是菱形，AD＝5，过点D作AB的垂线DH，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH＝3． （1）DH＝　4　；DM＝　　； （2）如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当点P在边AB上运动时，是否存在这样的t的值，使∠MPB与∠BCD互为余角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由勾股定理求出DH，判断出△CDM≌△CBM，再用勾股定理即可求出DM， （2）由△BCM≌△DCM计算出BM＝DM，分两种情况计算即可； （3）由菱形的性质判断出△ADM≌△ABM，再判断出△BMP是等腰三角形，即可． 【解答】解：（1）在Rt△ADH中，AD＝5，AH＝3， ∴DH4， 在Rt△ADH中，AD＝5，AH＝3， ∴DH＝4， ∵AC是菱形ABCD的对角线， ∴∠ACD＝∠ACB，CD＝CB， 在△DCM和△BCM中， ， ∴△DCM≌△BCM（SAS）， ∴DM＝BM， 在Rt△BHM中，BM＝DM，HM＝DH﹣DM＝4﹣DM，BH＝AB﹣AH＝2， 根据勾股定理得，DM2﹣MH2＝BH2， 即：DM2﹣（4﹣DM）2＝4， ∴DM； 故答案为：4，； （2）在△BCM和△DCM中， ， ∴△BCM≌△DCM（SAS）， ∴BM＝DM，∠CDM＝∠CBM＝90° ①当P在AB之间时，0＜t，S（5﹣2t）t． ②当P在BC之间时，t＜5，S（2t﹣5）t， 综上，S与t之间的函数关系式为S； （3）存在， ∵∠ADM+∠BAD＝90°，∠BCD＝∠BAD， ∴∠ADM+∠BCD＝90°， ∵∠MPB+∠BCD＝90°， ∴∠MPB＝∠ADM， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAM＝∠BAM， ∵AM＝AM， ∴△ADM≌△ABM（AAS）， ∴∠ADM＝∠ABM， ∴∠MPB＝∠ABM， ∵MH⊥AB， ∴PH＝BH＝2， ∴BP＝2BH＝4， ∵AB＝5， ∴AP＝1， ∴t． 【类型六：菱形在一次函数中的存在性问题】 16．（2024春•姑苏区校级期中）已知，如图，O为坐标原点，在四边形OABC中，BC∥OA，BC＝24，A（26，0），C（0，12），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当P运动 　5.5　秒，四边形PDAB是平行四边形． （2）在直线CB上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出OA，进而求出OD＝5，再由题意知BP＝24﹣2t，进而由平行四边形的性质建立方程24﹣2t＝13即可得出结论； （2）分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论； 【解答】解：（1）∵A（26，0），C（0，12）， ∴OA＝26，OC＝8， ∵点D时OA的中点， ∴OD＝1OA＝13， 由运动知，PC＝2t， ∵BC＝24， ∴BP＝BC﹣PC＝24﹣2t， ∵四边形PDAB是平行四边形， ∴PB＝AD＝13， ∴24﹣2t＝13， 解得t＝5.5， ∴当t值为5.5时，四边形PDAB是平行四边形． 故答案为：5.5； （2）存在，分三种情况： ①当Q点在P点的右边时，如图， ∵四边形ODQP是菱形， ∴OD＝OP＝PQ＝13， ∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC＝5， ∴2t＝5， 解得t＝2.5， ∴Q（18，12）； ②当Q点在P点左侧且在BC线段上时，如图， 同理①得PC＝18， 即2t＝18， 解得t＝9， ∴Q（5，12）； ③当Q点在P点左侧且在BC延长线上时，如图3， 同理①求出QC＝5，PC＝13﹣5＝8， 即2t＝8， 解得t＝4， ∴Q（﹣5，12）； 综上，t＝2.5时，Q（18，12），t＝9时，Q（5，12），t＝4时，Q（﹣5，12）． 17．（2024春•惠山区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（6，3），C（0，3）． （1）若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； （2）点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 【分析】（1）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案； （2）分不同情况画出图形，由菱形的性质可得出答案． 【解答】解：（1）若点P在点A的左侧，四边形PABQ为平行四边形，PA＝QB， 由题意得4﹣3t＝t， 解得t＝1， 若点P在点A的右侧，四边形PAQB为平行四边形，PA＝QB， ∴3t﹣4＝t， 解得t＝2， 综上：t＝1或2时，以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形． （2）N点坐标为（﹣5，3），（5，3），（0，﹣3），． ∵点A（4，0），C（0，3）， ∴AO＝4，OC＝3， ∴AC5， 如图，以AC为边，四边形ACMN是菱形， ∵C（0，3）， ∴N（0，﹣3）； 如图，以AC为边，四边形ACNM是菱形， ∵CN＝AC＝5，CN∥AM， ∴N（5，3）； 如图，以AC为边，四边形ACNM是菱形， ∵CN＝AC＝5，CN∥AM， ∴N（﹣5，3）； 如图，以AC为对角线，四边形ACNM是菱形， 设CM＝AM＝CN＝x， ∴OM＝4﹣x， ∵OC2+OM2＝CM2， ∴32+（4﹣x）2＝x2， ∴， ∴CN， ∴N（，3）； 综上所述，以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，点N的坐标为（﹣5，3），（5，3），（0，﹣3），． 【类型七：与菱形有关的作图题】 18．（2024春•鼓楼区校级期中）（1）图1是在Rt△ABC中，∠B＝90°，用直尺和圆规作矩形ABCD，作法是“以点A为圆心，BC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D“，请判断所作的四边形ABCD是不是矩形，并说明理由． （2）如图2，在矩形ABCD的边AB上任取一点E，O是AC中点，在BC、CD、DA上各找一点F、G、H，使得四边形EFGH是菱形．（要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹） 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）连接EO，延长EO交CD于点G，作线段EG的垂直平分线，交AD于点H，交BC于点F，连接EF，FG，GH，EH，四边形EFGH即为所求（根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明） 【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD是矩形． 理由：∵AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠B＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）四边形EFGH即为所求． 19．（2024春•南京期中）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线． （1）在AD边上确定一点E，将△BED沿BD翻折后，点E的对应点F恰好落在BC边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接BE、DF，判断四边形BEDF的形状． 【分析】（1）作BD的垂直平分线即可； （2）由矩形的性质、翻折性质及线段垂直平分线的性质即可证明． 【解答】解：（1）所作的图形如图： ； （2）证明：四边形BEDF是菱形．理由如下： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， 由翻折知，BE＝BF， 由作图知，BE＝DE， ∴DE＝BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵BE＝BF， ∴四边形BEDF是菱形． 20．（2024春•句容市期中）在平行四边形ABCD中，E、F分别是线段AD、BC上的点，请用直尺和圆规作菱形ABFE． 要求： （1）用两种不同方法，不写作图过程，保留作图痕迹； （2）选择其中一种给出证明过程． 【分析】（1）以A点圆心，AB为半径画弧交AD于E，以B为圆心，AB为半径画弧交BC于点F，如图1，四边形ABFE满足条件；作∠ABC的平分线交AD于E，作∠BAD的平分线交BC于F，如图2，四边形ABFE满足条件； （2）在图1中，先根据平行四边形的性质得到AD∥BC，再证明四边形ABFE为平行四边形，然后利用AB＝AE得到四边形ABFE为菱形；在图2中，证明∠ABE＝∠AEB得到AE＝AB，同理可得BF＝BA，然后利用前面证明方法得到四边形ABFE为菱形． 【解答】解：（1）如图1、如图2，菱形ABFE为所作； （2）如图1：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∵AE＝AB，BF＝AB， ∴AE＝BF， 而AE∥BF， ∴四边形ABFE为平行四边形， ∵AB＝AE， ∴四边形ABFE为菱形； 如图2：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠FBE， ∵BE平分ABC， ∴∠FBE＝∠ABE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB， 同理可得BF＝BA， 由图1的结论得到四边形ABFE为菱形． 21．（2024春•盐城期中）如图①，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝13，BC边上的高为4．求作菱形AEFG，使点E在边AD上，点F，G在边BC上． 小宁的作法1．如图②，在边AD上取一点E． 2．以点A为圆心，AE长为半径画弧，交BC于点G． 3．在BC上截取GF＝AE，连接EF，则四边形AEFG为所求作的菱形． （1）证明小宁所作的四边形AEFG是菱形． （2）小宁进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化．请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的AE的长的取值范围． 【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可； （2）如图①中，过点A作AT⊥BC于点T，利用勾股定理求出A＝CT，在TC上取一点G，使得AG＝CG，设AG＝CG＝x，利用勾股定理求出x，分五种情形，分别求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴AE∥GF， ∵AE＝GF， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∵AE＝AG， ∴四边形AEFG是菱形． （2）解：如图①中，过点A作AT⊥BC于点T， 在Rt△ABT中，BT3， ∵BC＝13， ∴CT＝13﹣3＝10， 在TC上取一点G，使得AG＝CG，设AG＝CG＝x， 则有x2＝42+（10﹣x）2， ∴x， 观察图象可知： ①当0＜AE＜4时，菱形的个数为0； ②当AE＝4时，菱形的个数为1； ③当4＜AE≤5时，菱形的个数为2； ④当5＜AE时，菱形的个数为1； ⑤当AE≤13时，菱形的个数为0． 【类型八：菱形综合题】 22．（2024春•锡山区校级期中）邻边长分别为1，a（a＞1）的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于1的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值 　或4或或　． 【分析】根据题意，进行分类讨论，再根据菱形的性质，列出方程求解即可． 【解答】解：①如图，经历三次折叠后，四边形IJHF为菱形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝1， ∴DF＝CE＝a﹣1， ∵四边形GCEH为菱形， ∴GC＝CE＝a﹣1， ∴DG＝FH＝1﹣（a﹣1）＝2﹣a， ∵四边形DGJI为菱形， ∴DI＝DG＝2﹣a， ∴IF＝a﹣1﹣（2﹣a）＝2a﹣3， ∵四边形IJHF为菱形， ∴IF＝HF，即2﹣a＝2a﹣3， 解得：； ②如图，经历三次折叠后，四边形DIHF为菱形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝1， ∴DF＝CE＝a﹣1， ∵四边形JCEG，IJGH，DIHF都为菱形， ∴， ∴， 解得：； ③如图，经历三次折叠后，四边形FIJH为菱形， ∵四边形ABCD，DCEF为菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝CE＝DF＝EF＝1， ∴FH＝a﹣2， ∵四边形FIJH，IEGJ都为菱形， ∴， ∴， 解得：； ④如图，经历三次折叠后，四边形HGIJ为菱形， ∵四边形ABCD，DCEF，FEGH，HGIJ都为菱形， ∴AB＝AD＝DF＝FH＝1， ∴HJ＝a﹣3， ∴HJ＝IJ， ∴a﹣3＝1， 解得：a＝4； 综上：a的值为或4或或． 23.（2024春•江阴市期中）如图，E为菱形ABCD对角线AC上一点，直线DE交射线AB于点F，AD＝10，AC＝8． （1）求此菱形的面积； （2）当△BEF是直角三角形时，求AE的长． 【分析】（1）由菱形的性质可得BO＝DO，AOAC＝4，AC⊥BD，由勾股定理可求DO的长，由菱形的面积公式可求解； （2）分三种情况讨论，由菱形的性质和勾股定理可求解． 【解答】解：（1）连接BD，交AC于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝DO，AOAC＝4，AC⊥BD， ∴OD2， ∴BD＝4， ∴菱形的面积•8•480； （2）①当∠EFB＝90°时，如图1， ∵∠EFB＝90°， ∴菱形的面积＝10•DF＝80， ∴DF＝8， ∴AF6， ∴BF＝4， ∵AC垂直平分BD， ∴DE＝BE， ∵BE2＝FE2+BF2， ∴EF2+42＝（8﹣EF）2， 得EF＝3， 在△AEF中，AE3， ②当∠BEF＝90°时，如图2，连接BD交AC于O，当点E在AO上时， 则△EDB是等腰直角三角形，BD＝4， ∴OE＝2， ∴AE＝2； 当点E在OC上时，同理可求AE＝6， ③当∠FBE＝90°时，如图3， ∵AE2＝BE2+AB2，AE•OB＝BA•BE， ∴AE2＝BE2+100，2AE＝10BE， ∴AE2＝（AE）2+100， ∴AE＝5， 综上：AE的长为3或2或6或5． 1．（2024春•鼓楼区期中）如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　4.8　． 【分析】直接利用菱形的性质得出AB＝AD＝10，S△ABD＝12，进而利用三角形面积求法得出答案． 【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20，面积为24， ∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12， ∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF， ∴AB×PEPF×AD＝12， ∴5×（PE+PF）＝12， ∴PE+PF＝4.8． 故答案为：4.8． 2．（2024秋•温县月考）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动过程中，AE+CF的长度（　　） A．逐渐增加 B．先减小再增加 C．恒等于 D．恒等于4 【分析】连接BD，由菱形的性质推出AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠A＝60°，判定△ABD、△CDB是等边三角形，得到∠CBD＝∠ADB＝60°，BC＝BD，由∠EBD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝60°，推出∠CBF＝∠EBD，由ASA判定△CBF≌△DBE，得到CF＝DE，于是得到AE+CF＝AE+DE＝AD＝4． 【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠C＝∠A＝60°， ∴△ABD、△CDB是等边三角形， ∴∠CBD＝∠ADB＝60°，BC＝BD， ∵∠EBF＝60°， ∴∠EBD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝60°， ∴∠CBF＝∠EBD， 在△CBF和△DBE中， ， ∴△CBF≌△DBE（ASA）， ∴CF＝DE， ∴AE+CF＝AE+DE＝AD， ∵AB＝4， ∴AE+CF＝4． 故选：D． 3．（2024春•鼓楼区校级期中）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点C（3，4），B（8，4），点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接PA，连接AD交OB于点P'，推出当CP+DP最短时，点P位于P'，再利用待定系数法求出直线AD，OB的解析式，并联立求出点P'的坐标即可． 【解答】解：连接PA，连接AD交OB于点P'， ∵四边形OABC是菱形， ∴点C与点A关于OB对称， ∴CP＝AP， ∴CP+DP＝AP+DP≥AD， ∴CP+DP最短时，点P位于点P'处， ∵四边形OABC是菱形，C（3，4），B（8，4）， ∴A（5，0）， 设直线AD的解析式为y＝k1x+b， ∵A（5，0），D（0，1）， ∴， 解得， ∴直线AD的解析式为yx+1， 设OB的解析式为y＝k2x， ∵B（8，4）， ∴8k2＝4， ∴k2， ∴直线OB的解析式为yx， 联立， 解得， ∴P'（，）， 故选：B． 4．（2024春•锡山区期中）如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点P运动时△PAD的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系如图2，则a的值为（　　） A．8 B． C．6 D． 【分析】过点C作CE⊥AD，再根据图象的三角形的面积可得CE＝8，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求a即可． 【解答】解：过点C作CE⊥AD，垂足为E， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴点P在边BC上运动时，y的值不变， ∴AD＝BC＝10+a﹣10＝a， 即菱形的边长是a， ∴AD•CE＝4a，即CE＝8， 当点P在AC上运动时，y逐渐增大， ∴AC＝10， ∴AE6， 在Rt△DCE中，DC＝a，DE＝a﹣6，CE＝8， ∴a2＝82+（a﹣6）2， 解得：a． 故选：B． 5．（2024春•镇江期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝30°，P为AD边上一动点，将△PCD沿CP折叠为△PCD′，E为AB边上一点，BE＝CE，则D′E的最小值为 　　． 【分析】作EF⊥BC于点F，由菱形的性质得BC＝CD＝AB＝2，因为BE＝CE，所以BF＝CF＝1，而∠B＝30°，则BE＝2EF，所以BFEF＝1，求得EF，则BE＝CE＝2EF，由折叠得CD′＝CD＝2，因为D′E+CE≥CD′，所以D′E2，则D′E，即可求得D′E的最小值为，于是得到问题的答案． 【解答】解：作EF⊥BC于点F，则∠CFE＝90°， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠B＝30°， ∴BC＝CD＝AB＝2， ∵BE＝CE， ∴BF＝CFBC＝1， ∵∠B＝30°， ∴BE＝2EF， ∴BFEF＝1， ∴EF， ∴BE＝CE＝2EF＝2， 由折叠得CD′＝CD＝2， ∵D′E+CE≥CD′， ∴D′E2， ∴D′E， ∴D′E的最小值为， 故答案为：． 6．（2024春•邗江区校级期中）如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF＝50°，ED与BF的延长线交于点M．则对于以下结论： ①∠BME＝30°； ②△ADE≌△ABE； ③EM＝BC． 其中正确结论的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】先由菱形的性质得AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE＝30°，再由三角形的外角性质得∠BFE＝80°，则∠EBF＝50°，然后证△CDE≌△CBE（SAS），得∠DEC＝∠BEC＝50°，进而得出①正确；由SAS证△ADE≌△ABE，得②正确；证出△BEM≌△EBC（AAS），得BM＝EC，EM＝BC，③正确；连接BD交AC于O，由菱形的性质得AC⊥BD，再由直角三角形的性质得ODCDBC，OCOD，则OCBC，进而得出④正确即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°， ∴AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE∠BCD＝30°， ∵∠BFE＝∠BCE+∠CBF＝30°+50°＝80°， ∴∠EBF＝180°﹣∠BEC﹣∠BFE＝180°﹣50°﹣80°＝50°， 在△CDE和△CBE中， ， ∴△CDE≌△CBE（SAS）， ∴∠DEC＝∠BEC＝50°， ∴∠BEM＝∠DEC+∠BEC＝100°， ∴∠BME＝180°﹣∠BEM﹣∠EBF＝180°﹣100°﹣50°＝30°，故①正确； 在△ADE和△ABE中， ， ∴△ADE≌△ABE（SAS），故②正确； ∵∠EBC＝∠EBF+∠CBF＝100°， ∴∠BEM＝∠EBC， 在△BEM和△EBC中， ， ∴△BEM≌△EBC（AAS）， ∴BM＝EC，EM＝BC，故③正确； 正确结论的个数是3个， 故选：D． 7．（2024春•睢宁县期中）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为 　3　；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 　6﹣3　． 【分析】如图1中，求出等边△ADB的高DE即可．如图2中，连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AD的中点R，连接OR．证明OK，求出AF的最小值，可得结论． 【解答】解：如图1中， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝BC＝CD，∠A＝∠C＝60°， ∴△ADB，△BDC都是等边三角形， 当点M与B重合时，EF是等边△ADB的高，EF＝AD•sin60°＝63． 如图2中，连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AF的中点R，连接OR． ∵AD∥CG，OK⊥AD， ∴OK⊥CG， ∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°， ∴四边形AGTK是矩形， ∴AG＝TK＝AB•sin60°＝3， ∵OA＝OM，∠AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°， ∴△AOK≌△MOT（AAS）， ∴OK＝OT， ∵OK⊥AD， ∴OR≥OK， ∵∠AOF＝90°，AR＝RF， ∴AF＝2OR≥3， ∴AF的最小值为3， ∴DF的最大值为6﹣3． 解法二：如图，过点D作DT⊥CB于点T． ∵DF＝AD﹣AF， ∴当AF最小时，DF的值最大， ∵AF＝FM≥DT＝3， ∴AF的最小值为3， ∴DF的最大值为6﹣3． 故答案为：3，6﹣3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下苏科版 第06讲 菱形 课程标准 学习目标 1.菱形的性质； 2.菱形的判定 3.菱形的面积 1.掌握菱形的性质和判定，并能够综合运用； 2.会用不同的方法求菱形的面积。 知识点1：菱形的性质 ①菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的所有性质，即对边平行且相等，对角线互相平分；对角相等； ②菱形特有的性质：四边相等；对角线互相垂直； ③菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点； ④菱形是轴对称图形，有2条对称轴。 在菱形ABCD中， AB=BC=CD=AD AB//CD，AD//BC AC⊥BD OD=OB，OA=OC 【即学及练】 1．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝α，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接CE，EF，若CE＝EF，CE⊥BD，则∠DEF一定等于（　　） A．α B． C．90°﹣α D．90°+α 2．（2024春•鼓楼区校级期中）如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为 　 　． 3．（2024春•南京期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为 　 　． 4．（2024秋•海城市期末）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠A＝60°，连接BD，点E在线段BD上，过点E作EF⊥AB于点F，且DE＝BF，求DE的长． 知识点2：菱形的判定 ①四边相等的四边形是菱形； ②有一组邻边相等的平行四边形是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 【即学及练】 5．（2025•大渡口区模拟）如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 6．（2024•邯郸模拟）如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3． （1）以点A为圆心，任意长为 半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接DC，BC. 则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 7．（2024春•工业园区校级期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝4，菱形ADBF的面积为20，求AC的长． 8．（2024秋•天府新区期末）如图，在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，点D是AE的中点，连接CD，过点C作CB∥AE，过点A作AB∥CD，CB，AB交于点B，连接BD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接BE交AC于点G，交CD于点F，若BD＝BC，CD＝4，求OG的长． 知识点3：菱形的面积 菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。 S菱形ABCD=底×高=AC×BD 【即学即练】 9．（2024秋•海淀区校级期末）如图，四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，BD＝8，则菱形ABCD的面积是（　　） A． B． C． D．64 10．（2024秋•三水区期末）如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 11．（2024春•淮阴区期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于H，则AH等于（　　） A． B．4 C． D．5 【类型一：菱形的性质】 1．（2024秋•三亚期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，AF⊥BC于点F，交BD于点P．若AB＝6，则DP的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•梓潼县期末）如图，在菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣1，﹣2），C（3，1），则点A的坐标为 　 　． 3．（2024秋•平昌县月考）如图，在菱形ABCD中，直线MN分别交AB、CD、AC于点M、N和O．且AM＝CN，连接BO．若∠OBC＝60°，则∠DAC为（　　） A．65° B．30° C．25° D．20° 4．（2024秋•南山区校级期中）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE． （1）求证：OE＝CB； （2）如果OC：OB＝2：1，，求菱形的面积． 【类型二：菱形的判定】 5．（2023秋•镇雄县期末）在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为菱形的是（　　） A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．∠A＝∠B D．AC⊥BD 6．（2024秋•宝安区校级期中）如图，四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中所标的数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 7．（2023秋•青岛期末）一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF． （1）求证：AF∥CE； （2）当∠BAC＝　 　度时，四边形AECF是菱形？说明理由． 8．（2024•浙江模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF． （1）求证：BE＝DF； （2）作∠AEB的平分线交AB于点G，若EG∥AC，求证：四边形AECF是菱形． 9．（2024秋•青岛期末）在▱ABCD中，对角线AC与BD相交点O，过点O分别作AB和BC的垂线，垂足分别为H，M． （1）如图1，当OH＝OM时，求证：平行四边形ABCD是菱形； （2）如图2，当∠ABC＝90°时，若AB＝OB，求的值． 【类型三：菱形的翻折问题】 10．（2024春•玄武区期中）如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（　　） A．78° B．75° C．60° D．45° 11．（2024春•建邺区期中）如图，菱形纸片ABCD的边长为2，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB'⊥AD，垂足为F．若∠B＝60°，则BE的长是 ． 【类型四：菱形的旋转问题】 12．（2024春•仪征市期中）如图，一大一小菱形ABCD与菱形EFGH的中心均为点O，∠ABC＝∠EFG＝60°．若菱形ABCD固定，将菱形EFGH绕点O旋转一周（即360°），若在旋转过程中，菱形EFGH顶点F八次落在菱形ABCD的边界上，顺次连接其中四个落点，所得四边形为矩形的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 13．（2024春•玄武区校级期中）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为 　　 ． 【类型五：菱形的动点问题】 14．（2024春•苏州期中）如图1，在菱形ABCD中，点P沿A﹣B﹣C方向从点A移动到点C，设点P的移动路程为x，线段AP的长为y，点P在运动过程中y与x的变化关系如图2所示，点P运动到BC边上时，当x＝18，y的值最小为12，则a的值是 　 ． 15．（2024春•姑苏区校级期中）如图1，四边形ABCD是菱形，AD＝5，过点D作AB的垂线DH，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH＝3． （1）DH＝　 　；DM＝　 ； （2）如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当点P在边AB上运动时，是否存在这样的t的值，使∠MPB与∠BCD互为余角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【类型六：菱形在一次函数中的存在性问题】 16．（2024春•姑苏区校级期中）已知，如图，O为坐标原点，在四边形OABC中，BC∥OA，BC＝24，A（26，0），C（0，12），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当P运动 　 　秒，四边形PDAB是平行四边形． （2）在直线CB上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2024春•惠山区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（6，3），C（0，3）． （1）若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； （2）点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 【类型七：与菱形有关的作图题】 18．（2024春•鼓楼区校级期中）（1）图1是在Rt△ABC中，∠B＝90°，用直尺和圆规作矩形ABCD，作法是“以点A为圆心，BC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D“，请判断所作的四边形ABCD是不是矩形，并说明理由． （2）如图2，在矩形ABCD的边AB上任取一点E，O是AC中点，在BC、CD、DA上各找一点F、G、H，使得四边形EFGH是菱形．（要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹） 19．（2024春•南京期中）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线． （1）在AD边上确定一点E，将△BED沿BD翻折后，点E的对应点F恰好落在BC边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接BE、DF，判断四边形BEDF的形状． 20．（2024春•句容市期中）在平行四边形ABCD中，E、F分别是线段AD、BC上的点，请用直尺和圆规作菱形ABFE． 要求： （1）用两种不同方法，不写作图过程，保留作图痕迹； （2）选择其中一种给出证明过程． 21．（2024春•盐城期中）如图①，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝13，BC边上的高为4．求作菱形AEFG，使点E在边AD上，点F，G在边BC上． 小宁的作法1．如图②，在边AD上取一点E． 2．以点A为圆心，AE长为半径画弧，交BC于点G． 3．在BC上截取GF＝AE，连接EF，则四边形AEFG为所求作的菱形． （1）证明小宁所作的四边形AEFG是菱形． （2）小宁进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化．请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的AE的长的取值范围． 【类型八：菱形综合题】 22．（2024春•锡山区校级期中）邻边长分别为1，a（a＞1）的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于1的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值 　 　． 23.（2024春•江阴市期中）如图，E为菱形ABCD对角线AC上一点，直线DE交射线AB于点F，AD＝10，AC＝8． （1）求此菱形的面积； （2）当△BEF是直角三角形时，求AE的长． 1．（2024春•鼓楼区期中）如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　 　． 2．（2024秋•温县月考）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动过程中，AE+CF的长度（　　） A．逐渐增加 B．先减小再增加 C．恒等于 D．恒等于4 3．（2024春•鼓楼区校级期中）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点C（3，4），B（8，4），点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•锡山区期中）如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点P运动时△PAD的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系如图2，则a的值为（　　） A．8 B． C．6 D． 5．（2024春•镇江期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝30°，P为AD边上一动点，将△PCD沿CP折叠为△PCD′，E为AB边上一点，BE＝CE，则D′E的最小值为 　 ． 6．（2024春•邗江区校级期中）如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF＝50°，ED与BF的延长线交于点M．则对于以下结论： ①∠BME＝30°； ②△ADE≌△ABE； ③EM＝BC． 其中正确结论的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（2024春•睢宁县期中）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为 　 　；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$