第04讲 平行四边形（3个知识点+8类题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

八年级下苏科版第04讲 平行四边形3个知识点+8类题型 课程标准 学习目标 1.平行四边形的性质； 2.平行四边形的判定； 3.反正法。 1.掌握平行四边形的性质； 2.掌握平行四边形的5种判定方法； 3.了解反正法的基本应用； 4.综合运用平行四边形的性质和判定解决问题。 知识点1：平行四边形的概念和性质 ①平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ②平行四边形的性质平行四边形是中心对称图形， 对称中心是对角线的交点 【即学即练】 1．（2023春•盐都区期中）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【分析】①正确．根据平行四边形的判定方法即可判断． ②错误．观察图形即可判断． ③错误．面积是变小了． ④正确．根据平行四边形性质即可判断． 【解答】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确， ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误， ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误， ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 2．（2024春•姑苏区校级期中）如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝5cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【分析】根据平行四边形性质得出AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝5cm，AD∥BC，求出∠EDC＝∠DEC，推出CE＝DC＝5cm，代入BE＝BC﹣CE求出即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8cm，AB＝5cm， ∴AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝5cm，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC， ∵E平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠EDC， ∴∠EDC＝∠DEC， ∴CE＝DC＝5cm， ∴BE＝BC﹣CE＝3cm， 故选：C． 3．（2024春•玄武区期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线BE，CF分别与AD相交于点E，F，若AB＝7，BC＝10，则EF的长为 　4　． 【分析】证出∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE，同理DF＝CD，则AE＝DF，进而得出EF的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝7，AD∥BC，AD＝BC＝10， ∴∠AEB＝∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝7， 同理DF＝CD， ∴AE＝DF， 即AE﹣EF＝DF﹣EF， ∴AF＝DE， ∵AB＝7，BC＝10， ∴DE＝AD﹣AE＝10﹣7＝4， ∴EF＝DF﹣DE＝7﹣3＝4． 故答案为：4． 4．（2024春•南京期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC的周长为10，△BCD的周长为16，则OB﹣OA的值为 　3　． 【分析】由平行四边形的性质推出BD＝2OB，AC＝2OA，AB＝CD，由△ABC的周长＝AB+BC+AC＝10，△BCD的周长＝CD+BC+BD＝16，即可求出OB﹣OA＝3． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2OB，AC＝2OA，AB＝CD， ∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝10，△BCD的周长＝CD+BC+BD＝16， ∴BD﹣AC＝16﹣10＝6， ∴2OB﹣2OA＝6 ∴OB﹣OA＝3． 故答案为：3． 5．（2024春•秦淮区期中）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若AB＝5，AD＝10，BF＝8，则▱ABCD的面积为 　48　． 【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可求AB＝AF＝5，由等腰三角形的性质可得BO＝OF＝4，AE⊥BF，由勾股定理可求AO的长，即可求解． 【解答】解：如图，设AE与BF交于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠DAE＝∠BEA， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE， 同理：AB＝AF＝5， ∴DF＝5＝AF， ∵AE平分∠BAD，AB＝AF， ∴BO＝OF＝4，AE⊥BF， ∴AO3， ∴S△ABF•BF•AO＝12， ∴▱ABCD的面积＝4S△ABF＝48， 故答案为：48． 6．（2024春•嘉定区期末）如图，点P为平行四边形ABCD内任意一点，联结PA、PB、PC、PD，如果将△PAB、△PBC、△PDC、△PDA的面积分别记为S1、S2、S3、S4，那么以下结论正确的是（　　） A．S1＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S4＝S2+S3 D．S1+S3＝S2+S4 【分析】分别设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的AB、BC、CD、AD边上的高为h、l、m、n，可分别表示出其面积，再结合平行四边形的性质判断即可． 【解答】解：分别设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的AB、BC、CD、AD边上的高为h、l、m、n，设四边形ABCD的AB边上的高为o，BC边上的高为p， 则h+m＝o，l+n＝p， ∴S1AB•h，S2BC•l，S3CD•m，S4DA•n， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝DA，且S四边形ABCD＝AB•o＝BC•p， ∴S1+S3＝S1AB•hCD•mAB•o，S2+S4＝S1BC•lDA•nBC•p， ∴S1+S3＝S2+S4， 故选：D． 知识点2：平行四边形的判定 【即学即练】 7．（2024春•梁溪区校级期中）▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　） A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE 【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解． 【解答】解：连接AC与BD相交于O， 在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， 要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可； A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意； B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意； C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意； D、由∠DAF＝∠BCE，从而推出△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意； 故选：C． 8．（2024春•南京期中）在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上． （1）如图①，若BE∥DF，求证：四边形BFDE为平行四边形； （2）如图②，∠A为钝角，BE＝DF，求证：四边形BFDE是平行四边形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，求得DE∥BF，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）过E作EM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N，根据矩形的性质得到EM＝DN，根据全等三角形的性质得到∠EBM＝∠DFN，推出BE∥DF，根据平行四边形的判定定理得到四边形BFDE是平行四边形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴DE∥BF， ∵BE∥DF， ∴四边形BFDE为平行四边形； （2）过E作EM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N， ∴∠EMB＝∠DNF＝90°，EM⊥DN， ∵AD∥BC， ∴四边形EMND是矩形， ∴EM＝DN， 在Rt△BEM与Rt△FDN中， ， ∴Rt△BEM≌Rt△FDN（HL）， ∴∠EBM＝∠DFN， ∴BE∥DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． 知识点3：反正法 反证法：先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论正确，这种方法叫做反证法。 【即学即练】 9．（2024春•越城区期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精当的武器之一．”那么我们用反证法证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步应假设（　　） A．等腰三角形的底角是直角或钝角 B．等腰三角形的底角是直角 C．等腰三角形的底角是钝角 D．等腰三角形的底角是锐角 【分析】根据用反证法证明的第一步是假设结论不成立；先设等腰三角形的底角都是直角或钝角，即可得出答案． 【解答】解：根据反证法的第一步：假设结论不成立设，可以假设“等腰三角形的两底角都是直角或钝角”． 故选：A． 10．（2024秋•裕华区期末）下列说法中，正确的结论有（　　） ①； ②到三角形三边距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点； ③说明“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是：a＝0； ④“对顶角相等”的逆命题是真命题； ⑥用反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”应先假设“这个三角形中最小角大于60°”． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据实数的大小比较、角平分线的性质、对顶角相等、反证法判断即可． 【解答】解：①2，3， 则23，故本小题结论错误； ②到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点，故本小题结论错误； ③说明“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是：a＝0，结论正确； ④“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故本小题结论错误； ⑥用反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”应先假设“这个三角形中最小角大于60°”，结论正确； 故选：B． 11．（2024春•丹东期末）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代的数学发展过程中也起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，其是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的一个例子，我们用反证法证明命题“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，应先假设（　　） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形不是平行四边形 C．对角线不互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线不互相平分的四边形不是平行四边形 【分析】反证法即假设结论的反面成立，即可得出答案． 【解答】解：用反证法证明命题“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，应先假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形， 故选：C． 12．（2024春•邳州市校级月考）用反证法证明下列问题： 如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分． 【分析】利用反证法证明的第一步假设BD和CE互相平分，进而利用平行四边形的判定与性质得出BE∥CD，进而得出与已知出现矛盾，从而得出原命题正确． 【解答】证明：连接DE， 假设BD和CE互相平分， ∴四边形EBCD是平行四边形， ∴BE∥CD， ∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上， ∴AB不可能平行于AC，与已知出现矛盾， 故假设不成立原命题正确， 即BD和CE不可能互相平分． 【类型一：平行四边形的性质】 1．（2024春•工业园区校级期中）如图，已知平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交边AD于E，∠ABC的平分线交AD于F，若AB＝12，AE＝5，则EF＝　7　． 【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，根据两直线平行内错角相等可得∠AFB＝∠FBC，再由角平分线的定义可得∠ABF＝∠FBC，从而不难推出∠AFB＝∠ABF，由等角对等边可得AB＝AF，已知AE的长，从而EF的长不难求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AFB＝∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠FBC， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AB＝AF； ∵AB＝12，AE＝5， ∴EF＝AF﹣AE＝12﹣5＝7， 故答案为：7． 2．（2024春•梁溪区校级期中）如图，在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（　　） A．12 B．16 C．24 D．36 【分析】由AD∥BC，AB∥CD，得∠AEB＝∠CBE，∠DEC＝∠DCE，∠ABC+∠DCB＝180°，而∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠DCE＝∠BCE∠DCB，所以∠AEB＝∠ABE，∠DEC＝∠DCE，∠CBE+∠BCE＝90°，则∠BEC＝90°，BC＝AD＝6，所以CE2+BE2＝BC2＝36，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3， ∴DC＝AB＝3，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠AEB＝∠CBE，∠DEC＝∠DCE，∠ABC+∠DCB＝180°， ∵∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，点E恰好在AD边上， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠DCE＝∠BCE∠DCB， ∴∠AEB＝∠ABE，∠DEC＝∠DCE，∠CBE+∠BCE（∠ABC+∠DCB）＝90°， ∴AE＝AB＝3，DE＝DC＝3，∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝90°， ∴BC＝AD＝AE+DE＝3+3＝6， ∴CE2+BE2＝BC2＝62＝36， 故选：D． 3．（2024春•京口区期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝2，∠ACB＝30°，则BD的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】由平行四边形的性质得BO＝DO，AO＝CO，再由直角三角形的性质求出BC的长，由勾股定理求出AC的长，进而得出AO的长，然后由勾股定理求出OB的长，即可得出结论． 【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴BO＝DO，AO＝CO， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝2，∠ACB＝30°， ∴BC＝2AB＝4， ∴AC2， ∴AOAC， ∴OB， ∴BD＝2OB＝2， 故选：B． 4．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝4cm2，S▱ABCD＝64cm2，则阴影部分的面积为（　　）cm2． A．24 B．27 C．28 D．30 【分析】先根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，再证明△BEQ∽△FCQ，所以，则利用BQ＝CQ得到BE＝CF，所以AE＝DF，同样方法证明PE＝PD，利用三角形面积公式得到S△APE＝S△APD＝4cm2，然后利用平行四边形的面积公式得到S△FAB＝32cm2，从而可求得阴影部分的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵BE∥CF， ∴△BEQ∽△FCQ， ∴， ∵Q是BF中点， ∴BQ＝CQ， ∴BE＝CF， ∴AE＝DF， ∵AE∥DF， ∴△APE∽△FPD， ∴1， ∴PE＝PD， ∴S△APE＝S△APD＝4cm2， ∵S▱ABCD＝64cm2， ∴S△FAB64＝32（cm2）， ∴阴影部分的面积＝32﹣4＝28（cm2）． 故选：C． 10．（2023春•鹿城区校级期中）如图，点E、G分别是▱ABCD边AD、AB上的点，AE：ED＝3：2，BG：GA＝1：3，作EF∥AB交BC于点F，GH∥AD交CD于点H，连接FH，若S▱ABCD＝50，则图中阴影面积为 　25　． 【分析】先证四边形AEOG，四边形AEFB，四边形DEFC，四边形EDOH，四边形HCFO，四边形BGOF都是平行四边形，由面积的和差关系可求解． 【解答】解：如图，设EF与HG的交点为O，连接AO，CO，DO，BO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， 又∵EF∥AB，GH∥AD， ∴AB∥CD∥EF，GH∥AD∥BC， ∴四边形AEOG，四边形AEFB，四边形DEFC，四边形EDOH，四边形HCFO，四边形BGOF都是平行四边形， ∴S△AGOS▱AEOG，S△HOF＝S△OHC， ∵AE：ED＝3：2，S▱ABCD＝50， ∴S▱ABFE＝30，S▱DEFC＝20， ∴S△AOB＝15，S△DOC＝10， ∵BG：GA＝1：3＝CH：DH， ∴S△AOG，S△COH， ∴阴影面积＝225， 故答案为：25． 11．（2024春•锡山区期中）在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． （1）在图1中证明BE＝CD； （2）在图2中，若∠ABC＝90°，G是EF的中点，求∠BDG的度数． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AB＝CD，则∠DAE＝∠BEA，而∠DAE＝∠BAE，所以∠BEA＝∠BAE，则AB＝BE，即可证明BE＝CD； （2）连接BG，CG，可证明四边形ABCD是矩形，所以∠DAE＝∠BAE＝45°，则FD＝AD＝CB，FC＝EC，而G是EF的中点，则CG⊥EF，CG＝FG＝EG，∠BCG＝∠FCG＝45°，再证明△DFG≌△BCG，得DG＝BG，∠DGF＝∠BGC，可推导出∠BGD＝∠CGE＝90°，则∠BDG＝∠DBG＝45°． 【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴AB＝BE， ∴BE＝CD． （2）解：如图2，连接BG，CG， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°， ∴∠ECF＝90°，∠DAE＝∠BAE∠BAD＝45°， ∴∠F＝∠DAF＝45°， ∴∠CEF＝∠F＝45°， ∴FD＝AD＝CB，FC＝EC， ∵G是EF的中点， ∴CG⊥EF，CG＝FG＝EGEF，∠BCG＝∠FCG∠ECF＝45°， ∴∠F＝∠BCG， 在△DFG和△BCG中， ， ∴△DFG≌△BCG（SAS）， ∴DG＝BG，∠DGF＝∠BGC， ∵∠CGF＝∠CGE＝90°， ∴∠BGD＝∠BGC﹣∠CGE+∠DGE＝∠DGF﹣∠CGF+∠DGE＝∠CGE＝90°， ∴∠BDG＝∠DBG＝45°， ∴∠BDG的度数是45°． 【类型二：平行四边形的判定】 12．（2024春•淮安期中）现有一张平行四边形纸片ABCD，AD＞AB，要求用尺规作图的方法在边BC，AD上分别找点M．N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（　　） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【分析】根据作图以及平行四边形的性质与判定分别分析甲，乙证明ANCM是平行四边形即可． 【解答】解：甲：由作图可知，BM＝BA，DN＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴BM＝DN， ∴CM＝AN，CM∥AN， ∴ANCM是平行四边形； 乙：由作图可知，AM平分∠BAD，CN平分∠BCD， ∴∠BAM＝∠DAM，∠BCN＝∠DCN， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAM＝∠BMA，∠DNC＝∠BCN， ∴∠BAM＝∠BMA，∠DNC＝∠DCN， ∴AB＝BM，CD＝DN， ∴BM＝DN， ∴AN＝CM，AN∥CM， ∴ANCM是平行四边形； 故选：C． 13．（2024春•惠山区期中）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接BF，则下列结论中其中正确的有（　　） ①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】连接EC，过点C作CH⊥EF于点H．先证明△BAD≌△CAE，再证明△EFC是等边三角形，即可解决问题． 【解答】解：连接EC，过点C作CH⊥EF于点H． ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS），故①正确； ∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°， ∵EF∥BC， ∴∠EFC＝∠ACB＝60°， ∴△EFC是等边三角形， ∴EF＝EC＝BD＝1，FH＝EH， ∴CH， ∵EF∥BD， ∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确， ∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF， ∴△ABD≌△BCF（SAS），故①正确， ∵S平行四边形BDEF＝BD•CH＝1，故③正确， ∵AC＝BC＝3，BD＝CF＝1， ∴CD＝2BD，AF＝2CF， ∵S△ABD， ∴S△AEF•S△AECS△ABD，故④正确， ∴①②③④都正确， 故选：D． 14．（2024春•镇江期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴PD∥BQ． 若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ． 设运动时间为t． 当0＜t≤4时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t，BQ＝10﹣2.5t， ∴10﹣t＝10﹣2.5t， 1.5t＝0， ∴t＝0（舍去）； 当4＜t≤8时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝2.5t﹣10， ∴10﹣t＝2.5t﹣10， 解得：t； 当8＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t﹣20，BQ＝30﹣2.5t， ∴10﹣t＝30﹣2.5t， 解得：t（舍去）； 综上所述，t的值为时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． 故选：B． 15．（2024春•淮阴区期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为 　9.6　． 【分析】当DE是平行四边形BDCE的对角线，且DE⊥AC时，DE的长最小，作BH⊥AC于H，连接AM，由勾股定理．三角形的面积公式求出BH的长，即可解决问题． 【解答】解：当DE是平行四边形BDCE的对角线，且DE⊥AC时，DE的长最小，BC和DE交于M，作BH⊥AC于H，连接AM， 在平行四边形BDCE中，MB＝CM，BE∥AC， ∴MBBC＝6， ∴AM8， ∵△ABC的面积AC•BHBC•AM， ∴10BH＝12×8， ∴BH＝9.6， ∵四边形BEDH是矩形， ∴DE＝BH＝9.6． ∴DE长的最小值是9.6． 故答案为：9.6． 16．（2023春•榆阳区期末）在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2． ①当CD．CE＝2时，求BE的长； ②求证：CD＝CH． 【分析】（1）通过ASA证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，又DF∥BE，即可证明四边形BEDF是平行四边形； （2）①过点D作DN⊥EC于点N，先根据勾股定理求出DN＝4，由∠DBC＝45°得BN＝DN，即可求出答案； ②根据DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，则有∠EDN＝∠ECG，再证∠CDH＝∠CHD，得出CD＝CH． 【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点， ∴AD∥BC，BO＝DO， ∴∠ADB＝∠CBD， 在△BOE与△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴DF＝BE， ∵DF∥BE， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N， ∵DE＝DC，DN⊥EC，CE＝2， ∴EN＝CN＝1， ∴DN3， ∵∠DBC＝45°，DN⊥BC， ∴∠DBC＝∠BDN＝45°， ∴DN＝BN＝3， ∴BE＝BN﹣EN＝3﹣1＝2， ②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE， ∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°， ∴∠EDN＝∠ECG， ∵DE＝DC，DN⊥EC， ∴∠EDN＝∠CDN， ∴∠ECG＝∠CDN， ∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN， ∴∠CDB＝∠DHC， ∴CD＝CH． 【类型三：与平行四边形有关的分类讨论问题】 17．（2023春•扬州期中）在▱ABCD中，已知AB＝6，BE平分∠ABC交AD边于点E，点E将AD分为1：3两部分，则AD的长为 　8或24　． 【分析】由角平分线的定义以及平行四边形的性质，求得AB＝AE＝6，点E将AD分为1：3两部分，可得DE＝18或DE＝2两种情况，分别讨论即可求解． 【解答】解：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BEA＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠BEA， ∴AB＝AE＝6． ∵点E将AD分为1：3两部分， ∴DE＝18或DE＝2， ∴当DE＝18时，AD＝24； 当DE＝2时，AD＝8； 故答案为：8或24． 18．（1）在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F，若AD＝11，EF＝5，则AB＝　8或3　． （2）在▱ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，则∠A的度数为 　55°或35°　． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代换得到∠DFC＝∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，得出AB＝BE＝CF＝CD，分两种情况，即可得到结论； （2）首先求出∠ADB的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出∠A的度数． 【解答】解：（1）分两种情况： ①如图1，在▱ABCD中， ∵BC＝AD＝11，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB， ∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC， ∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F， ∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF， ∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF， ∴AB＝BE，CF＝CD， ∴AB＝BE＝CF＝CD ∵EF＝5， ∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝2AB﹣5＝11， ∴AB＝8； ②在▱ABCD中，∵BC＝AD＝11，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB， ∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC， ∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F， ∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF， ∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF， ∴AB＝BE，CF＝CD， ∴AB＝BE＝CF＝CD ∵EF＝5， ∴BC＝BE+CF＝2AB+EF＝2AB+5＝11， ∴AB＝3； 综上所述：AB的长为8或3． 故答案为：8或3； （2）分两种情况： ①当E点在线段AD上时，如图所示， ∵BE是AD边上的高，∠EBD＝20°， ∴∠ADB＝90°﹣20°＝70°， ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD55°． ②当E点在AD的延长线上时，如图所示， ∵BE是AD边上的高，∠EBD＝20°， ∴∠BDE＝70°， ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD∠BDE70°＝35°． 故答案为：55°或35°． 19．（2022春•大丰区期中）平行四边形ABCD中，边AB＝15，对角线AC＝13，BC边上的高为12，则平行四边形ABCD面积为 　48或168　． 【分析】首先根据题意画出图形，然后分别从高在平行四边形内部与外部，去分析求解即可求得答案． 【解答】解：∵AB＝15、AC＝13，BC边上的高是12， 即AE＝12， 在Rt△ABE中，BE9， 在Rt△ACE中，CE5， 如图1，BC＝BE+CE＝14， ∴平行四边形ABCD的面积为：BC•AE＝14×12＝168， 如图2，BC＝BE﹣CE＝4， ∴平行四边形ABCD的面积为：BC•AE＝4×12＝48， 综上可得：平行四边形ABCD的面积等于：48或168． 故答案为：48或168． 【类型四：平行四边形的折叠问题】 20．（2024春•鼓楼区校级期中）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，若∠1＝∠2＝42°，则∠DAB的度数为 　63　°． 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝∠EAC，由三角形的外角性质求出∠BAC＝∠ACD＝∠EAC∠1＝21°，再由三角形内角和定理即可求出∠B，再根据同旁内角互补求解答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， 由折叠的性质得：∠BAC＝∠EAC， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠EAC∠1＝21°， ∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣42°﹣21°＝117°， ∴∠DAB的度数为＝180°﹣∠B＝63°． 故答案为：63． 21．（2024春•玄武区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD'与CE交于点F．若∠B＝54°，∠DAE＝20°，则∠FED'的大小为 　32　°． 【分析】由三角形外角的性质可得∠AEC＝∠D+∠DAE＝74°，由折叠的性质可得∠AED＝∠AED'＝106°，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝54°， ∵∠DAE＝20°， ∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝74°， ∴∠AED＝106°， ∵将△ADE沿AE折叠至△AD'E处， ∴∠AED＝∠AED'＝106°， ∴∠FED'＝∠AED'﹣∠AEC＝106°﹣74°＝32°， 故答案为：32． 22．（2024春•锡山区期中）已知在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝6，∠A＝135°，点E在AD上，BE＝DE．将△ABD沿BD翻折到△FBD，连接EF．则BE的长为 　5　，EF的长为 　　． 【分析】过点B作BG⊥DA的延长线于点G，过点E作EH⊥BF于点H，由平行四边形和等腰三角形的性质可推出∠EBD＝∠CBD，由折叠可知AB＝BF＝3，∠ABD＝∠FBD，∠A＝135°，于是可得∠ABC＝∠EBF＝45°，易得△ABG为等腰直角三角形，BG＝AG＝3，设AE＝x，则GE＝3+x，BE＝DE＝6﹣x，在Rt△BEG中，利用勾股定理建立方程，解得x＝1，则BE＝5，易得△BEH为等腰直角三角形，BH＝EH，则FH＝BF﹣BH，再利用勾股定理即可求解． 【解答】解：过点B作BG⊥DA的延长线于点G，过点E作EH⊥BF于点H， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD， ∵BE＝DE， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠CBD， 根据折叠的性质可得，AB＝BF＝3，∠ABD＝∠FBD， ∵∠A＝135°， ∴∠ABD+∠CBD＝∠FBD+∠EBD＝45°，即∠ABC＝∠EBF＝45°， ∵DG∥BC，BG⊥AD， ∴∠GAB＝∠ABC＝45°， ∴△ABG为等腰直角三角形，BG＝AG3， 设AE＝x，则GE＝AG+AE＝3+x，BE＝DE＝AD﹣AE＝6﹣x， 在Rt△BEG中，BG2+GE2＝BE2， ∴32+（3+x）2＝（6﹣x）2， 解得：x＝1， ∴BE＝6﹣x＝5， ∵∠EBF＝45°，EH⊥BF， ∴△BEH为等腰直角三角形，BH＝EH， ∴FH＝BF﹣BH＝3， 在Rt△EFH中，EF． 故答案为：5，． 【类型五：平行四边形的动点问题】 23．（2024春•姑苏区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则▱ABCD的面积为（　　） A．10 B． C．5 D． 【分析】通过图象中（3，0），（7，2），（8，2）可得直线运动到A，D，B三点时所移动距离，从而求出AB长度，再通过添加辅助线构造直角三角形求出平行四边形的高而求解． 【解答】解：由图象可知，直线经过A时移动距离为3，经过D时移动距离为7，经过B时移动距离为8， ∴AB＝8﹣3＝5． 如图，当直线经过点D时，交AB于点E，作DF垂直于AB于点F，由图2可知DE2， ∵直线与AB夹角为45°， ∴DF＝EF＝2， ∴ABCD面积为AB•DF＝5×2＝10． 故选：A． 24．（2024春•苏州期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝90°，AB＝6cm，AD＝10cm．动点M从点B出发沿边BC以2cm/s速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以4cm/s速度沿射线DA运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为t s． （1）当t＝3时，AM＝　6cm　； （2）是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）若动点M关于直线BN对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出t的值． 【分析】（1）证明△ABM是等边三角形，可得结论； （2）先计算BC的长为13cm，可得点M运动到C的时间为：t6.5，所以点N可以在点A的左边和右边，根据AN＝BM列方程可解答； （3）分两种情况：根据AN＝AB列方程可解答． 【解答】解：（1）当t＝3时，BM＝6cm， ∵AB＝6cm， ∴AB＝BM， ∵∠B＝60°， ∴△ABM是等边三角形， ∴AM＝AB＝6cm； 故答案为：6cm； （2）存在t或5时，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形； 如图1，过点A作AE⊥BC于E， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠C＝∠AEC＝∠DAE＝90°， ∴四边形AECD是矩形， ∴CE＝AD＝10cm， ∵∠B＝60°，∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝30°， ∴BEAB6＝3cm， ∴BC＝13cm， ∴t的最大值是6.5， 由题意得：BM＝2t cm，DN＝4t cm， ∵AD＝10cm， ∴AN＝|10﹣4t|cm， ∵AD∥BC， ∴当AN＝BM时，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形， 即10﹣4t＝2t或4t﹣10＝2t， ∴t或5， 综上，t或5时，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形； （3）动点M关于直线BN对称的点恰好落在直线AB上时，存在以下两种情况： ①如图2，点N在边AD上， 由对称得：BN是FM的垂直平分线， ∴BF＝BM，BN⊥FM， ∴∠ABN＝∠MBN60°＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠ANB＝∠CBN＝30°， ∴∠ABN＝∠ANB， ∴AN＝AB， ∴10﹣4t＝6， ∴t＝1， 如图3，点N在DA的延长线上， ∵∠ABC＝60°， ∴∠FBM＝120°， 由对称得：BF＝BM，BN⊥FM， ∴∠FBQ＝∠MBQ∠FBM120°＝60°， ∴∠ABN＝∠FBQ＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠BAN＝∠ABM＝60°， ∴△ABN是等边三角形， ∴AN＝AB， ∴4t﹣10＝6， ∴t＝4， 综上，t的值是1或4． 【类型六：平行四边形在函数中的存在性问题】 25．（2024春•梁溪区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将线段OA绕着点O顺时针方向旋转60°后得到线段OB，连接AB，直线AB交x轴于点C． （1）求直线AB的解析式． （2）若点D是点C关于直线OB的对称点，△BOC沿着直线CB平移得到△B1O1C1，求的最小值，及此时B1的坐标． （3）点E是坐标平面内一点，且满足S△EOB＝S△AOB，在y轴上是否存在一点F，使得以点B、O、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由旋转的性质知△AOB是等边三角形，求得点C的坐标是（6，0），利用待定系数法即可求解； （2）如图，连接CD，BD，OO1，O1C1，OD，证明∠BOC＝90°﹣60°＝30°，△DOC为等边三角形，∠OKC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，可得当C1与K重合时，再进一步求解即可； （3）如图，由点E是坐标平面内一点，且满足S△EOB＝S△AOB，可得E在过A点与OB平行的直线上或在OB下方，与OB平行，与A到OB的距离相等的平行线CJ上，再结合平行四边形的判定与性质分类讨论即可． 【解答】解：（1）∵点A的坐标是，将线段OA绕着点O顺时针方向旋转60°后得到线段OB， ∴△AOB是等边三角形，且， ∴∠OAB＝60°，∠ACO＝30°， ∴，， ∴点C的坐标是（6，0）， 设直线AB的解析式为， 则， ∴， ∴直线AB的解析式为； （2）如图1，连接CD，BD，OO1，O1C1，OD， 由平移可得：∠ACO＝∠B1C1O1＝30°，OC＝O1C1＝6， 由（1）可得：△ABO为等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠BOC＝90°﹣60°＝30°， ∵点D是点C关于直线OB的对称点， ∴OD＝OC，BC＝BD，∠BOC＝∠BOD＝30°， ∴∠DOC＝60°， ∴△DOC为等边三角形，∠OKC＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴DO＝OC＝6，， ∴当C1与K重合时， ∴，此时最小， 即的最小值为6； 如图2，，， ∴， 过B1作B1G⊥OC于G， ∴，， ∴， ∴； （3）如图3，点E是坐标平面内一点，且满足S△EOB＝S△AOB， ∴E在过A点与OB平行的直线上或在OB下方，与OB平行，与A到OB的距离相等的平行线CJ上， ∵以点B、O、E、F为顶点的四边形是平行四边形， ∴F与A重合，当OB为对角线时， ∴， 由（1）（2）可得：OB＝AB＝BC，，C（6，0）， ∴， ∴由平移可得：； 同理：F与J重合，当OE为对角线时， 此时， ∴，， 如图4，F与J重合，当BE为对角线时， 同理：， 由平移可得：； 当E在AI上时，如图5，F与A重合，当BF为对角线时， ∴，， 如图6，F与A重合，当OF为对角线时， ∴；； 当F与J重合，当OB为对角线时，如图7， ∴；； 综上：或或或． 【类型七：与平行四边形有关的作图题】 26．（2024春•建邺区期中）已知∠MAN，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图①，B，C分别在射线AM、AN上，求作▱ABDC； （2）如图②，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点． 【分析】（1）分别以B、C点为圆心，以AC、AB为半径画弧．两弧相交于点D，则四边形ABDC满足条件； （2）连接AO，延长AO到G使OG＝AO，再作∠PGA＝∠OAN交AM于P，连接PO并延长交AN于Q，则PQ满足条件． 【解答】解：（1）如图①，平行四边形ABDC为所作； （2）如图②，PQ为所作． 27．（2024春•玄武区校级期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC中，A是格线上的点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图（1）中，作▱ABDC； （2）在图（2）中，将线段CB绕C逆时针旋转90°至CE（点E为点B的对应点）；过点E作EF⊥AB于F．（可以写出必要的文字说明） 【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形； （2）利用△CDE的三条高交于一点，作出直线EF即可． 【解答】解：（1）如图1中，平行四边形ABCD即为所求； （2）如图2中，直线EF即为所求． 方法：取CD是中点J，连接BJ，延长BJ交直线AC于点T，则DT∥BC，DT⊥EC，取格点W，连接CW交DT于点Q，作直线EQ交AB一点F，直线EF即为所求． 28．（2024春•锡山区期中）图①、图②、图③均是10×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，作以点P为对称中心的平行四边形ABEF． （2）在图②中，作四边形ABCD的边BC上的高AM． （3）在图③中，在四边形ABCD的边CD上找一点N，连结AN，使∠DAN＝45°． 【类型八：平行四边形综合题】 29．（2024春•南京期中）在▱ABCD中，当∠B＝45°，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的中点，点F为CD上一点，连结EF，作GE⊥EF交▱ABCD的边于点G． （1）如图1，若G点在BC边上，，则△GEF的面积是 　6　； （2）如图2，若G点在AB边上，，则△GEF的面积是 　10　． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出∠B＝∠D＝45°，过点F作FK⊥DE于K，利用等腰三角形的判定和性质及勾股定理得出△GLE为等腰直角三角形，，过点A作AM⊥BC于点M，则AM＝GL＝BM，继续利用勾股定理得出GE＝6，即可求解； （2）过点F作FK⊥DE于K，延长KF交BC的延长线于点M，过点G作GN⊥BC，延长NG交DA的延长线于点L，过点F作FI⊥GN，结合（1）中方法得出∠B＝∠D＝45°，DK＝KF＝3，AE＝DE＝4，EK＝DE﹣DK＝1，设GI＝x，通过计算可得GL＝3﹣x，再由勾股定理列方程可求得x，即可求解． 【解答】解：（1）∵▱ABCD，∠B＝45°， ∴∠B＝∠D＝45°， 过点F作FK⊥DE于K， ∴DK＝KF， ∵， ∴DK＝KF＝2， ∵AD＝BC＝8，点E是AD边上的中点， ∴AE＝DE＝4， ∴EK＝DE﹣DK＝2＝KF， ∴，∠KEF＝∠EFK＝45°， ∵GE⊥EF， ∴∠AEG＝45°， 过点G作GL⊥AE， ∴△GLE为等腰直角三角形， ∴， 过点A作AM⊥BC于点M，则AM＝GL＝BM， ∵AB＝6， ∴， ∴GE＝6， ∴△GEF的面积为：； 故答案为：； （2）过点F作FK⊥DE于点K，延长KF交BC的延长线于点M，过点G作GN⊥BC与点N，延长NG交DA的延长线于点L，过点F作FI⊥GN， 由（1）得∠B＝∠D＝45°，DK＝KF＝3，AE＝DE＝4， ∴EK＝DE﹣DK＝1， ∴， ∵，∠M＝90°，∠CFM＝45°， ∴， ∵∠INM＝∠NIF＝90°， ∴四边形INMF为矩形， ∴， 设GI＝x，则， ∴IF＝MN＝BC﹣BN+CM＝8﹣x， ∴GF2＝GI2+IF2＝x2+（8﹣x）2， ∵∠B＝45°， ∴， ∴， ∵∠L＝90°，∠LGA＝45°， ∴， ∴LE＝AE+LA＝7﹣x， ∴GE2＝LE2+LG2＝（3﹣x）2+（7﹣x）2， ∵∠GEF＝90°， ∴GE2+EF2＝GF2， 可得方程 （3﹣x）2+（7﹣x）2+10＝x2+（8﹣x）2， 解得x＝1， ∴LG＝2，LE＝6， ∴， ∴△GEF的面积为：． 1．（2024春•宜兴市期中）如图，在▱ABCD中，∠A＝65°，将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1的大小为 　50°　． 【分析】由旋转的性质得出BC＝BC1，由等腰三角形的性质得出∠BCC1＝∠C1，由旋转角∠ABA1＝∠CBC1，根据等腰三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1， ∴BC＝BC1， ∴∠BCC1＝∠C1， ∵∠A＝65°， ∴∠A＝∠BCD＝∠C1＝65°， ∴∠BCC1＝∠C1＝65°， ∴∠CBC1＝180°﹣2×65°＝50°， ∴∠ABA1＝50°， 故答案为：50°． 2．（2024春•句容市期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P为BC上一点，且AB＝AP，则PD＝　　． 【分析】过点D作DM⊥BC交BC的延长线于点M，过点A作AN⊥BC交BC于点N，根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD＝2，AD∥BC，即得AN＝DM，再由平行线的性质得出∠DCM＝60°，即得∠CDM＝30°，CMCD＝1，再由题意可得出△ABP是等边三角形，则BP＝2，PC＝1，再根据直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半及勾股定理得到ANDM，最后利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，过点D作DM⊥BC交BC的延长线于点M，过点A作AN⊥BC交BC于点N， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2， ∴AB∥CD，AB＝CD＝2，AD∥BC， ∴AN＝DM， ∵∠B＝60°，AB∥CD， ∴∠DCM＝∠B＝60°， ∴∠CDM＝90°﹣∠DCM＝30°， ∴CMCD＝1， ∵∠B＝60°，AB＝AP， ∴△ABP是等边三角形，AN⊥BC， ∴BP＝AB＝2，∠BAN＝30°， ∵BC＝3， ∴PC＝BC﹣BP＝1， ∴PM＝PC+CM＝2， ∵∠BAN＝30°，∠ANB＝90°， ∴BNAB＝1， ∴AN， 在Rt△PMD中，DM，PM＝2， PD， 故答案为：． 3．（2024春•丹徒区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，P为BC边上任意一点（点P与点C不重合），连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长的最小值是 　　． 【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知当PQ⊥BC时，PQ最小，从而可求出PQ的最小值． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10， ∴， ∵四边形APCQ是平行四边形， ∴AQ∥BC， 如图，当PQ⊥BC时，PQ最小， ∵， ∴， 解得：， ∴PQ的最小值为， 故答案为：． 4．（2024春•丹阳市期中）如图，平行四边形BDEF的顶点F在等腰直角三角形ABC的边AB上，点D在CB的延长线上，G为EC的中点，连接FG，若DE＝6，，则FG＝　3　． 【分析】延长EF交AC于点M，由平行四边形的性质得出EF∥BD，ED＝BF＝6，证出EF＝FM，证明FG为△ECM的中位线，则可得出答案． 【解答】解：延长EF交AC于点M， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴EF∥BD，ED＝BF＝6， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC， ∴∠AFM＝∠AMF＝45°， ∴AF＝AM， ∴FMAF， ∵EFAF， ∴EF＝FM， ∵G为CE的中点， ∴FG为△ECM的中位线， ∴FG3． 故答案为：3． 5．（2024春•京口区期中）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，∠EAF＝60°．若AE＝3，AF＝4，则AB的长为　　． 【分析】延长AE交DC延长线于M点，过M点作MN⊥AF于N点，先证明△ABE≌△MCE，得到AM＝2AE＝6，然后在Rt△AMN中，利用30°直角三角形的性质和勾股定理可求AN＝3，MN＝3，然后在Rt△MNF中利用勾股定理求出MF值，依据MFAB，则AB值可求． 【解答】解：延长AE交DC延长线于M点，过M点作MN⊥AF于N点， ∵E点为BC中点， ∴BE＝CE． ∵AB∥DM， ∴∠B＝∠ECM． 又∠AEB＝∠MEC， ∴△ABE≌△MCE（ASA）． ∴CM＝AB，AE＝ME＝3， ∴AM＝2AE＝6． 在Rt△AMN中，∠MAN＝60°， 所以∠AMN＝30°， ∴ANAM＝3，MN3， ∴NF＝AF﹣AN＝4﹣3＝1． 在Rt△MNF中，利用勾股定理可得 MF2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB， 又F为CD中点， ∴CFCDAB． ∴MF＝MC+CFAB． 所以AB＝2， 解得AB． 故答案为． 6．（2024春•玄武区校级期中）如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF、EF，则以下四个结论：①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．一定正确的有（　　）个． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项． 【解答】解：∵△ABE、△ADF是等边三角形， ∴FD＝AD，BE＝AB， ∵AD＝BC，AB＝DC， ∴FD＝BC，BE＝DC， ∵∠CBE＝∠FDC，∠FDA＝∠ABE， ∴∠CDF＝∠EBC， ∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确； ∵∠FAE＝∠FAD+∠EAB+∠BAD＝60°+60°+（180°﹣∠CDA）＝300°﹣∠CDA， ∠FDC＝360°﹣∠FDA﹣∠ADC＝300°﹣∠CDA， ∴∠CDF＝∠EAF，故②正确； 同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF， ∵BC＝AD＝AF，BE＝AE， ∴△EAF≌△EBC（SAS）， ∴∠AEF＝∠BEC， ∵∠AEF+∠FEB＝∠BEC+∠FEB＝∠AEB＝60°， ∴∠FEC＝60°， ∵CF＝CE， ∴△ECF是等边三角形，故③正确； 在等边三角形ABE中， ∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段， ∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误． 故选：B． 7．（2024春•南京期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作▱PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为　　． 【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， ∵四边形APCQ是平行四边形， ∴PO＝QO，CO＝AO， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作BC的垂线OP′， ∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°， ∴△CAB∽△CP′O， ∴， ∴， ∴OP′， ∴则PQ的最小值为2OP′， 故答案为：． 8．（2024春•兰陵县期末）如图，在▱ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接AE并延长到点F，AE＝EF，BD＝5，DE＝1，则CF的长为（　　） A．3 B． C． D．4 【分析】过点F作GF∥AD，交BD于点G，可证明△ADE≌△FGE，可得AD＝FG，EG＝DE＝1，再根据平行四边形的性质可得FG∥BC，FG＝BC，从而得到四边形BCFG是平行四边形，即可求解． 【解答】解：如图，过点F作GF∥AD，交BD于点G， ∴∠DAE＝∠GFE，∠ADE＝∠EGF， ∵AE＝EF， ∴△ADE≌△FGE（AAS）， ∴AD＝FG，EG＝DE＝1， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴FG∥BC，FG＝BC， ∴四边形BCFG是平行四边形， ∴CF＝BG， ∵BD＝5， ∴BG＝BD﹣EG﹣DE＝3， ∴CF＝3， 故选：A． 9．（2024春•蜀山区期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC＝2BD＝10，则AB+CD的最小值为（　　） A． B．10 C．15 D． 【分析】过点B作BE∥AC，BE＝AC＝10，则四边形BECA是平行四边形，利用勾股定理求出DE的长，再利用三角形三边关系可得答案． 【解答】解：过点B作BE∥AC，BE＝AC＝10， 则四边形BECA是平行四边形， ∴AB＝CE， ∵BD⊥AC，AC∥BE， ∴∠DBE＝90°， ∵2BD＝10， ∴BD＝5， ∴DE5， ∵DE+CE≥DE， ∴DE+CE的最小值为5， 故选：D． 10．（2024春•秦淮区期中）如图，已知线段a，b，c，用直尺和圆规按下列要求分别作一个平行四边形ABCD（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）▱ABCD的一边为a，两条对角线分别为b，c； （2）▱ABCD的相邻两边分别为b，c，其高为a． 【分析】（1）结合平行四边形的判定与性质，任意作射线AM，以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交射线AM于点C，作线段AC的垂直平分线，交AC于点O，再作线段c的垂直平分线，以点O为圆心，线段c的一半的长为半径画弧，以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，在AC的上方交于点B，以点O为圆心，线段c的一半的长为半径画弧，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，在AC的下方交于点D，连接AB，BC，CD，AD即可． （2）结合平行四边形的判定与性质，任意作直线MN，在直线MN上任取一点E，过点E作直线MN的垂线，以点E为圆心，线段a的长为半径画弧，交垂线于点A，再以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线MN于点B，以点B为圆心，线段c的长为半径画弧，交射线EN于点C，最后以点A为圆心，线段c的长为半径画弧，以点C为圆心，线段b的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AB，AD，BC，BD即可． 【解答】解：（1）如图，任意作射线AM，以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交射线AM于点C，作线段AC的垂直平分线，交AC于点O，再作线段c的垂直平分线，以点O为圆心，线段c的一半的长为半径画弧，以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，在AC的上方交于点B，以点O为圆心，线段c的一半的长为半径画弧，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，在AC的下方交于点D，连接AB，BC，CD，AD， 则四边形ABCD即为所求． （2）如图，任意作直线MN，在直线MN上任取一点E，过点E作直线MN的垂线，以点E为圆心，线段a的长为半径画弧，交垂线于点A，再以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线MN于点B，以点B为圆心，线段c的长为半径画弧，交射线EN于点C，最后以点A为圆心，线段c的长为半径画弧，以点C为圆心，线段b的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AB，AD，BC，BD， 则四边形ABCD即为所求． 11．（2024春•鼓楼区校级期中）点P是平行四边形ABCD的对角线AC上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点． （1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是 　OE＝OF　； （2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立请说明理由． （3）当点P在线段OC上运动，且∠OEF＝45°时，请在备用图中画出图形并直接写出线段CF，AE，OE之间的关系，不需说明理由． 【分析】（1）证明△AOE≌△COF即可得出结论； （2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论； （3）作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得：△AOE≌△COG，OFEG＝OE＝OG，再利用∠OEF＝45°，得△GOF是等腰直角三角形，根据线段的和差即可得到结论． 【解答】解：（1）OE＝OF， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF， 故答案为：OE＝OF； （2）解：如图2，（1）中的结论仍然成立，理由是： 延长EO交CF于G， ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴AE∥CF， ∴∠EAO＝∠OCG， ∵AO＝OC，∠AOE＝∠COG， ∴△AOE≌△COG（ASA）， ∴EO＝OG， 在Rt△EFG中，FOEG＝OE； （3）解：FC＝AEOE，理由是： 如图3，延长EO、CF交于G， 同理得：△AOE≌△COG， ∴OE＝OG，AE＝CG， 在Rt△EGF中，OFEG＝OE＝OG， ∵∠OEF＝45°， ∴△EFG是等腰直角三角形， ∴△GOF是等边三角形， ∴FGOGOE， ∴FC＝CG﹣FG＝AE﹣FG＝AEOE， 即FC＝AEOE． 12．（2024春•梁溪区校级期中）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝24cm，∠ABC＝90°，P，Q同时沿着四边形的边逆时针运动，点P从点D出发，以1cm/s的速度运动，点Q从点B出发，以2cm/s的速度运动，设运动时间为t秒． （1）CD＝　20　cm； （2）若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，用含t的代数式表示四边形PQCD的面积S（cm2）； （3）若其中一个动点回到其出发点时，另一个动点也随之停止运动，则当t＝　s或8s或24s或s　时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）过点D作DE⊥BC交BC于点E，证出四边形ABED为矩形，得出BE＝AD＝8cm，AB＝DE＝12cm，EC＝16cm，根据勾股定理即可求出DC． （2）若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，分为当点P在AD上运动，即0≤t≤8时，运用S＝S四边形PQCD＝S梯形ABCD﹣S梯形APQB求解；当点P在AB上运动，即8≤t≤12时，运用S＝S四边形PQCD＝S梯形ABCD﹣S△PQB﹣S△APD 即可求解； （3）分为①当AP＝BQ时，②当PD＝QC时，③当AQ＝BP时，④当PC＝QD时，分别画图求解即可计算． 【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC交BC于点E，如图1， ∵∠ABC＝90°，AD∥BC， ∴∠A＝∠BED＝∠ABC＝90°， 则四边形ABED为矩形， ∴BE＝AD＝8cm，AB＝DE＝12cm， ∴EC＝BC﹣BE＝24﹣8＝16（cm）， ∴DC20（cm）， 故答案为：20； （2）若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动， 如图2，当点P在AD上运动，即0≤t≤8时， 则DP＝t cm，BQ＝2t cm，AP＝（8﹣t）cm， ∴S＝S四边形PQCD＝S梯形ABCD﹣S梯形APQB（8+24）×12（8﹣t+2t）×12＝144﹣6t（cm2）； 如图3，当点P在AB上运动，即8≤t≤12时， 则AP＝（t﹣8）cm，BQ＝2t cm，BP＝12﹣（t﹣8）＝（20﹣t）cm， ∴S＝S四边形PQCD＝S精形ABCD﹣S△PQB﹣S△APD（8+24）×122t•（20﹣t）8•（t﹣8）＝t2﹣24t+224（cm2）， 综上，S＝144﹣6t（0≤t≤8）或S＝t2﹣24t+224（8≤t≤12）； （3）①如图4，当AP＝BQ时，8﹣t＝2t，此时ts，四边形ABQP是平行四边形； ②如图5，当PD＝QC时，t＝24﹣2t，此时t＝8s，四边形PQCD为平行四边形； ③如图6，当AQ＝BP时，四边形ABPQ是平行四边形，8﹣（2t﹣24﹣20）＝t﹣8﹣12，此时t＝24s； ④如图7，当PC＝QD时，24﹣（t﹣8﹣12）＝2t﹣24﹣20，此时ts，四边形PCDQ为平行四边形； 综上所述，当ts或t＝8s或t＝24s或ts时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形， 故答案为：s或8s或24s或s． 13．（2024春•丹徒区期中）如图，▱ABCD的顶点B与坐标原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为（3，4），AD＝8．动点P从点D出发沿DA以1个单位每秒的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以3个单位每秒的速度沿射线BC运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）求CD的长； （2）连结PQ，是否存在t的值，使得PQ与CD互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）若点P关于直线DQ对称的点恰好落在直线CD上，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）过点A作AE⊥OC于点E，利用点的坐标的特征，勾股定理和平行四边形的性质解答即可； （2）连接PC，DQ，利用平行四边形的判定与性质得到PD＝CQ，依题意列出关于t的方程解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点Q在BC上时，利用轴对称的性质，平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性质得到CQ＝CD，依题意列出关于t的方程解答即可；②当点Q在BC的延长线上时，利用同样的方法解答即可． 【解答】解：（1）过点A作AE⊥OC于点E，如图， ∵点A的坐标为（3，4）， ∴OE＝3，AE＝4， ∴OA＝AB5， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD＝AB＝5． （2）存在t的值，使得PQ与CD互相平分，t的值为4，理由： 连接PC，DQ，如图， 若PQ与CD互相平分， ∴四边形PCQD为平行四边形， ∴PD＝CQ， 由题意得：PD＝t，BQ＝3t， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC＝AD＝8， ∴CQ＝BQ﹣BC＝3t﹣8， ∴t＝3t﹣8， ∴t＝4． ∴存在t的值，使得PQ与CD互相平分，t的值为4． （3）①当点Q在BC上时，如图， ∵点P关于直线DQ对称的点恰好落在直线CD上， ∴∠ADQ＝∠CDQ， ∵AB∥CD， ∴∠DQC＝∠ADQ， ∴∠DQC＝∠CDQ， ∴CQ＝CD， ∵CQ＝BC﹣BQ＝8﹣3t， ∴8﹣3t＝5， ∴t＝1． ∴PD＝1， ∴AP＝7， ∴P（10，4）； ②当点Q在BC的延长线上时，如图， ∵点P关于直线DQ对称的点恰好落在直线CD上， ∴∠PDF＝∠P′DF， ∵AD∥BC， ∴∠CQD＝∠PDF， ∴∠P′DF＝∠CDQ， ∴∠CDQ＝∠CQD， ∴CQ＝CD， ∵CQ＝3t﹣8， ∴3t﹣8＝5， ∴t． ∴DP， ∴AP＝AD﹣DP＝8， ∴P（，4）． 综上，点P关于直线DQ对称的点恰好落在直线CD上，点P的坐标为（10，4）或（，4）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下苏科版第04讲 平行四边形3个知识点+8类题型 课程标准 学习目标 1.平行四边形的性质； 2.平行四边形的判定； 3.反正法。 1.掌握平行四边形的性质； 2.掌握平行四边形的5种判定方法； 3.了解反正法的基本应用； 4.综合运用平行四边形的性质和判定解决问题。 知识点1：平行四边形的概念和性质 ①平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ②平行四边形的性质平行四边形是中心对称图形， 对称中心是对角线的交点 【即学即练】 1．（2023春•盐都区期中）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 2．（2024春•姑苏区校级期中）如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝5cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 3．（2024春•玄武区期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线BE，CF分别与AD相交于点E，F，若AB＝7，BC＝10，则EF的长为 　　． 4．（2024春•南京期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC的周长为10，△BCD的周长为16，则OB﹣OA的值为 　　． 5．（2024春•秦淮区期中）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若AB＝5，AD＝10，BF＝8，则▱ABCD的面积为 　　． 6．（2024春•嘉定区期末）如图，点P为平行四边形ABCD内任意一点，联结PA、PB、PC、PD，如果将△PAB、△PBC、△PDC、△PDA的面积分别记为S1、S2、S3、S4，那么以下结论正确的是（　　） A．S1＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S4＝S2+S3 D．S1+S3＝S2+S4 知识点2：平行四边形的判定 【即学即练】 7．（2024春•梁溪区校级期中）▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　） A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE 8．（2024春•南京期中）在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上． （1）如图①，若BE∥DF，求证：四边形BFDE为平行四边形； （2）如图②，∠A为钝角，BE＝DF，求证：四边形BFDE是平行四边形． 知识点3：反正法 反证法：先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论正确，这种方法叫做反证法。 【即学即练】 9．（2024春•越城区期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精当的武器之一．”那么我们用反证法证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步应假设（　　） A．等腰三角形的底角是直角或钝角 B．等腰三角形的底角是直角 C．等腰三角形的底角是钝角 D．等腰三角形的底角是锐角 10．（2024秋•裕华区期末）下列说法中，正确的结论有（　　） ①； ②到三角形三边距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点； ③说明“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是：a＝0； ④“对顶角相等”的逆命题是真命题； ⑥用反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”应先假设“这个三角形中最小角大于60°”． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2024春•丹东期末）反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代的数学发展过程中也起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，其是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的一个例子，我们用反证法证明命题“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，应先假设（　　） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形不是平行四边形 C．对角线不互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线不互相平分的四边形不是平行四边形 12．（2024春•邳州市校级月考）用反证法证明下列问题： 如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分． 【类型一：平行四边形的性质】 1． （2024春•工业园区校级期中）如图，已知平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交边AD于E，∠ABC的平分线交AD于F，若AB＝12，AE＝5，则EF＝　　． 2．（2024春•梁溪区校级期中）如图，在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（　　） A．12 B．16 C．24 D．36 3．（2024春•京口区期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝2，∠ACB＝30°，则BD的长是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝4cm2，S▱ABCD＝64cm2，则阴影部分的面积为（　　）cm2． A．24 B．27 C．28 D．30 10．（2023春•鹿城区校级期中）如图，点E、G分别是▱ABCD边AD、AB上的点，AE：ED＝3：2，BG：GA＝1：3，作EF∥AB交BC于点F，GH∥AD交CD于点H，连接FH，若S▱ABCD＝50，则图中阴影面积为 　 　． 11．（2024春•锡山区期中）在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． （1）在图1中证明BE＝CD； （2）在图2中，若∠ABC＝90°，G是EF的中点，求∠BDG的度数． 【类型二：平行四边形的判定】 12．（2024春•淮安期中）现有一张平行四边形纸片ABCD，AD＞AB，要求用尺规作图的方法在边BC，AD上分别找点M．N，使得四边形AMCN为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（　　） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 13．（2024春•惠山区期中）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接BF，则下列结论中其中正确的有（　　） ①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2024春•镇江期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A． B． C．或 D．或 15．（2024春•淮阴区期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为 　　 ． 16．（2023春•榆阳区期末）在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2． ①当CD．CE＝2时，求BE的长； ②求证：CD＝CH． 【类型三：与平行四边形有关的分类讨论问题】 17． （2023春•扬州期中）在▱ABCD中，已知AB＝6，BE平分∠ABC交AD边于点E，点E将AD分为1：3两部分，则AD的长为 　　． 18．（1）在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F，若AD＝11，EF＝5，则AB＝　　． （2）在▱ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，则∠A的度数为 　 　． ． 19．（2022春•大丰区期中）平行四边形ABCD中，边AB＝15，对角线AC＝13，BC边上的高为12，则平行四边形ABCD面积为 　　． 【类型四：平行四边形的折叠问题】 20．（2024春•鼓楼区校级期中）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，若∠1＝∠2＝42°，则∠DAB的度数为 　 　°． 21．（2024春•玄武区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD'与CE交于点F．若∠B＝54°，∠DAE＝20°，则∠FED'的大小为 　　 °． 22．（2024春•锡山区期中）已知在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝6，∠A＝135°，点E在AD上，BE＝DE．将△ABD沿BD翻折到△FBD，连接EF．则BE的长为 　 　，EF的长为 　 　． 【类型五：平行四边形的动点问题】 23．（2024春•姑苏区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则▱ABCD的面积为（　　） A．10 B． C．5 D． 24．（2024春•苏州期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝90°，AB＝6cm，AD＝10cm．动点M从点B出发沿边BC以2cm/s速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以4cm/s速度沿射线DA运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为t s． （1）当t＝3时，AM＝　 　； （2）是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）若动点M关于直线BN对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出t的值． 【类型六：平行四边形在函数中的存在性问题】 25．（2024春•梁溪区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将线段OA绕着点O顺时针方向旋转60°后得到线段OB，连接AB，直线AB交x轴于点C． （1）求直线AB的解析式． （2）若点D是点C关于直线OB的对称点，△BOC沿着直线CB平移得到△B1O1C1，求的最小值，及此时B1的坐标． （3）点E是坐标平面内一点，且满足S△EOB＝S△AOB，在y轴上是否存在一点F，使得以点B、O、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型七：与平行四边形有关的作图题】 26．（2024春•建邺区期中）已知∠MAN，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图①，B，C分别在射线AM、AN上，求作▱ABDC； （2）如图②，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点． 27．（2024春•玄武区校级期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC中，A是格线上的点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图（1）中，作▱ABDC； （2）在图（2）中，将线段CB绕C逆时针旋转90°至CE（点E为点B的对应点）；过点E作EF⊥AB于F．（可以写出必要的文字说明） 28．（2024春•锡山区期中）图①、图②、图③均是10×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，作以点P为对称中心的平行四边形ABEF． （2）在图②中，作四边形ABCD的边BC上的高AM． （3）在图③中，在四边形ABCD的边CD上找一点N，连结AN，使∠DAN＝45°． 【类型八：平行四边形综合题】 29．（2024春•南京期中）在▱ABCD中，当∠B＝45°，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的中点，点F为CD上一点，连结EF，作GE⊥EF交▱ABCD的边于点G． （1）如图1，若G点在BC边上，，则△GEF的面积是 　　 ； （2）如图2，若G点在AB边上，，则△GEF的面积是 　 　． 1．（2024春•宜兴市期中）如图，在▱ABCD中，∠A＝65°，将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1的大小为 　 　． 2．（2024春•句容市期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P为BC上一点，且AB＝AP，则PD＝　 　． 3．（2024春•丹徒区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，P为BC边上任意一点（点P与点C不重合），连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长的最小值是 　 　． 4．（2024春•丹阳市期中）如图，平行四边形BDEF的顶点F在等腰直角三角形ABC的边AB上，点D在CB的延长线上，G为EC的中点，连接FG，若DE＝6，，则FG＝　 　． 5．（2024春•京口区期中）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，∠EAF＝60°．若AE＝3，AF＝4，则AB的长为　 　． 6．（2024春•玄武区校级期中）如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF、EF，则以下四个结论：①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．一定正确的有（　　）个． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（2024春•南京期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作▱PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为　 ． 8．（2024春•兰陵县期末）如图，在▱ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接AE并延长到点F，AE＝EF，BD＝5，DE＝1，则CF的长为（　　） A．3 B． C． D．4 9．（2024春•蜀山区期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC＝2BD＝10，则AB+CD的最小值为（　　） A． B．10 C．15 D． 10．（2024春•秦淮区期中）如图，已知线段a，b，c，用直尺和圆规按下列要求分别作一个平行四边形ABCD（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）▱ABCD的一边为a，两条对角线分别为b，c； （2）▱ABCD的相邻两边分别为b，c，其高为a． 11．（2024春•鼓楼区校级期中）点P是平行四边形ABCD的对角线AC上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点． （1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是 　 　； （2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立请说明理由． （3）当点P在线段OC上运动，且∠OEF＝45°时，请在备用图中画出图形并直接写出线段CF，AE，OE之间的关系，不需说明理由． 12．（2024春•梁溪区校级期中）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝24cm，∠ABC＝90°，P，Q同时沿着四边形的边逆时针运动，点P从点D出发，以1cm/s的速度运动，点Q从点B出发，以2cm/s的速度运动，设运动时间为t秒． （1）CD＝　 　cm； （2）若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，用含t的代数式表示四边形PQCD的面积S（cm2）； （3）若其中一个动点回到其出发点时，另一个动点也随之停止运动，则当t＝　 时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 13．（2024春•丹徒区期中）如图，▱ABCD的顶点B与坐标原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为（3，4），AD＝8．动点P从点D出发沿DA以1个单位每秒的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以3个单位每秒的速度沿射线BC运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）求CD的长； （2）连结PQ，是否存在t的值，使得PQ与CD互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）若点P关于直线DQ对称的点恰好落在直线CD上，请直接写出点P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$