7.3特殊角的三角函数同步练习 2024-2025学年 苏科版数学九年级下册

7.3特殊角的三角函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4，点D是BC上的一点，BD=1，点P是AC上的一个动点，连接DP，将线段DP绕点D顺时针旋转90°得到线段DQ，连接BQ，则线段BQ长的最小值是 （      ）    A．1 B．2 C． D． 2．的倒数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且，，，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 4．已知直角三角形中30°角所对的边长为3，则斜边长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 5．计算的结果是（ ） A．2 B． C． D．1 6．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到，使得点恰好落在上，则线段的长为（   ） A． B．5 C． D． 7．如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键的结果为m； 按键的结果为n； 按键的结果为k． 下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知 ，则锐角的度数等于（       ） A． B． C． D．或 9．点关于y轴对称的点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 10．已知锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．如图，中，，，点在的延长线上，且连接并延长，过作于点，若，则的面积为（      ） A．1 B．2 C． D． 12．三角板是我们数学学习中必不可少的工具，利用三角板可以拼出很多角，现将一副含45°角和30°角的三角板按如图所示的方式放置，则的值为（    ）    A． B． C． D．无法确定 二、填空题 13．计算：﹣14++sin60°+（π﹣）0＝ ． 14．计算： ． 15．计等： ． 16． ． 17．定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为 ． 三、解答题 18．计算：． 19．计算． 20．如图，在等边中，．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿边向终点B运动，过点P作于点D，过点P向上作，且，以、为边作矩形．设点P的运动时间为x（秒），矩形与的重叠部分图形的面积为y． （1）用含x的式子表示线段的长； （2）求出当点F落在边上时x的值； （3）求在运动过程中y与x之间的函数关系式． 21．（1）计算： （2）解不等式组 22．（1）计算：     （2）解不等式：3(x－1)＞2x＋2． 23．（1）计算: （2）因式分解： 24．（1）计算：． （2）化简求值：，其中 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《7.3特殊角的三角函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B B C C C C C B 题号 11 12 答案 C C 1．D 【分析】过点D作DT⊥BC交AC于点T，在DC上取一点G，使得DG=DT，连接TG、GQ，过点B作BR⊥QG于R。首先证明点Q在射线GQ上运动，∠DGQ是定值，求出BR，根据垂线段最短，即可解决问题 【详解】过点D作DT⊥BC交AC于点T，在DC上取一点G，使得DG=DT，连接TG、GQ，过点B作BR⊥QG于R。 ∵∠TDC=∠PDQ=90° ∴∠PDT=∠GDQ 在△PDT和△QDG中， ∴△PDT≌△QDG ∴∠DTP=∠DGQ ∴Q在射线GQ上运动，∠DGQ是定值 ∵∠TDC=∠B=90° ∴DT∥AB ∴ ，∠DTC=∠A ∴ ，∠DGQ =∠A ∴DT=DG= ∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4 ∴ ∴sin∠DGR=sin∠A ∴ ∴ ∴BR= 根据垂线段最短可知，当BQ与BR重合时，BQ的值最小，最小值为 故选D 【点睛】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、解直角三角形和垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 2．A 【分析】根据特殊角的三角函数值以及倒数的定义即可求解． 【详解】解：，的倒数是 ∴的倒数为， 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值以及倒数的定义，熟练掌握特殊角的三角函数值以及倒数的定义是解题的关键． 3．B 【分析】根据三角形面积的不同计算方法可以求得PQ+PS+PR=AD，根据AD的值即可求得BC的值，根据BC、AD的值即可计算出等边△ABC的面积． 【详解】连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，等边三角形面积S=BC（PQ+PS+PR）=BCAD， ∴AD=6+8+10=24， ∵∠ABC=60°，∠ADC=90°， ∴AB==16， ∴△ABC的面积S=BCAD=×24×16=192， 故选：B．    【点睛】本题考查了等边三角形面积的计算，考查了等边三角形高线与边的关系，特殊角的三角函数值的应用，本题中求证PQ+PS+PR=AD是解题的关键． 4．B 【分析】根据特殊三角函数值求解即可． 【详解】斜边长 故答案为：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的问题，掌握特殊三角函数值是解题的关键． 5．C 【详解】解：原式= 故选C． 6．C 【分析】由锐角三角函数可求，由旋转的性质可求，，，，，，可证是等边三角形，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ， ∴， ∴， ∵将绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到， ∴，，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用这些性质是解题的关键． 7．C 【分析】根据每一次的按键顺序列出相应的数学算式，得到结果比较即可． 【详解】第一次按键转换的数学式子为：，即 第二次按键转换的数学式子为： ，即 第三次按键转换的数学式子为： ，即 ∴ 故选： 【点睛】本题考查的是科学计算器的应用，根据按键顺序转换成数学式子，计算即可． 8．C 【分析】根据特殊角三角函数值，直接判断的度数即可． 【详解】解：， 锐角的度数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟练掌握常见特殊角三角函数值是解题关键． 9．C 【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y轴对称的坐标即可． 【详解】解：∵sin60°＝，cos30°＝， ∴点（，）关于y轴对称的点的坐标是（，）． 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 10．B 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，根据的正切值求出的度数是解题的关键．先根据，且是锐角求出的度数，即可求解． 【详解】解：，且是锐角， ， ， 故选：B． 11．C 【分析】先证得△AFC是等边三角形，再证得△DFC是直角三角形，由相似三角形的判定和性质求得FC的长，即可求解． 【详解】解：取AB的中点F，连接CF， ∵∠ACB=90°，∠CBA=30°， ∴∠CAB=60°，FC=FA=AB， ∴△AFC是等边三角形， ∴∠FAC=∠FCA=60°，AC=FC=FA， ∵BA=2AD， ∴AC=AD=FA， ∴△DFC是直角三角形，且∠DCF=90°，∠D=30°， ∵BE⊥DC， ∴FC∥BE， ∴△DCF△DEB， ∴， ∵BE=3， ∴FC=2， ∴DC=， ∴的面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定性质，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 12．C 【分析】根据特殊角的三角函数和三角板的特殊角的度数解答即可． 【详解】解：如图：    ， ， ， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数以及三角板的特殊角的度数，解题时注意：熟记特殊角的三角函数值． 13． 【分析】根据幂的运算、二次根式、特殊角的三角函数和零次幂的知识进行化简，最后求和即可. 【详解】解：原式＝﹣1+ ＝ ． 故答案为． 【点睛】本题考查了实数的计算，对原式的化简是解答本题的关键. 14．0 【分析】先计算负整数次幂、立方根、绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值，再进行加减运算． 【详解】解： ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及负整数次幂、立方根、绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是掌握各项运算法则并正确计算． 15． 【分析】本题考查特殊角的三角函数，是基础知识比较简单，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 首先利用乘方、特殊角的三角函数值对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解： 故答案为：． 16．/0.5 【分析】本题考查了特殊角度的三角函数值计算，代入特殊角度的三角函数值计算即可，熟记特殊角度的三角函数值是关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 17． 【分析】根据代入进行计算即可． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键． 18． 【分析】直接利用二次根式的乘法法则、特殊角的三角函数、绝对值的意义、0指数幂以及幂的乘积性质分别化简，然后从左到右依次计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则、特殊角的三角函数、绝对值的意义、0指数幂以及幂的乘积性质，熟练掌握相关运算性质和运算法则是解题关键． 19．1 【分析】利用负指数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的化简，即可求解． 【详解】解：原式 =1． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握负指数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的化简． 20．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质得，根据的正弦函数值即可求解； （2）当点F落在边上时，可得为等边三角形，用含x的式子表示线段、，由即可求解； （3）求出当点E和点C重合时，点P到终点B时x的值，分三种情况画出图形，列式化简即可得y与x之间的函数关系式． 【详解】解：（1）∵等边中，． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）当点F落在边上时，如图1， ∵为等边三角形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （3）当点E和点C重合时，如图2， ∵由（2）知，为等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 点P到终点B时，如图3， ∵为等边三角形，． ∴， ∴， ∴函数关系式确定如下： ①当时：（如图4） ； ②当时：（如图5） ∵△PBG是等边三角形， ∴∠PGB=∠HGF=60°，PB=PG=6-2x， ∴GF=PF-PG=3x-(6-2x)=5x-6， ∵tan60°=， ∴HF= tan60°×FG= FG， ∴ ； ③当时：（如图6） ∵四边形DPGC是梯形，且PB=PG=6-2x，CD=AC-AD=6-x, ∴． 综上所述，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的全等，特殊角的三角函数值，图形面积的分割，分类思想，熟练掌握等边三角形的性质，灵活运用特殊角的三角函数值，合理进行图形面积的分割计算是解得关键． 21．（1）；（2） 【分析】(1)根据实数的运算顺序进行运算即可； (2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分确定出不等式的解集． 【详解】解：（1）原式= = = （2） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴该不等式组的解集是： 【点睛】本题主要考查三角函数，实数的运算、解一元一次不等式组,解题关键是熟练掌握计算法则． 22．（1）0；（2）x＞5 【分析】（1）根据特殊角三角函数值，零次幂以及负指数幂，可得答案． （2）先去括号，再根据不等式的基本性质求出不等式的解集即可． 【详解】(1)原式=1−2+1=0； (2)去括号，得3x−3>2x+2， 移项、合并同类项得，x>5. 故答案为（1）0；（2）x＞5. 【点睛】本题考查解一元一次不等式，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值. 23．（1）12；（2） 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值计算即可； （2）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值以及因式分解，熟知各运算法则是解题的关键． 24．（1）5；（2） 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角三角函数值，实数的运算，零指数幂： （1）先分别计算绝对值，零指数幂，算术平方根，正弦值，然后进行加减运算即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）解： ， 当时，原式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$