精品解析：河南省郑州市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

郑州市2024—2025学年上期期末考试 高一数学试题卷 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知扇形弧长为5，弧所对圆心角为，则该扇形的半径为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少到需要花（ ）h（精确到1h，参考数据：） A. 5 B. 6 C. 15 D. 18 8. 设正数满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 把函数图象向左平移个单位长度，然后把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上的值域为 11. 设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上为减函数 D. 方程有且仅有5个实数根 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数过点，则__________． 13. 已知，且，则的取值范围为________. 14. 已知函数若是的最小值，则实数a的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 16. （1）计算：； （2）已知，求的值． 17. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的表达式； （2）判断在区间上的单调性，并证明你的结论； （3）解关于t的不等式． 18. 位于郑州海昌海洋旅游度假区内的“郑州之眼”摩天轮是目前中原地区最高的摩天轮．该摩天轮的最高点距离地面的高度约为105米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了60个座舱．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时． （1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式； （2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为37.5米？ （3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔9个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值及此时的时间t． 19. 已知函数，若对于其定义域中任意非零实数x，都有，则称函数为“倒负函数”． （1）若，，试判断和是不是“倒负函数”．并说明理由； （2）设，若，求的最小值； （3）若，证明：在定义域内有且仅有两个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州市2024—2025学年上期期末考试 高一数学试题卷 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式、分式性质列方程求函数定义域. 【详解】由解析式知，可得且. 故选：C 2. 设命题，，则p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由特称命题的否定将存在改任意并否定原结论，即可得结论. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，故p的否定为，. 故选：B 3. 已知扇形弧长为5，弧所对圆心角为，则该扇形的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定圆心角对应的弧度，再利用扇形的弧长公式求扇形半径. 【详解】由题设，弧所对圆心角为，且弧长为5，则扇形的半径为. 故选：D 4. 已知，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，讨论、分别解不等式求参数范围. 【详解】当，则，可得，即， 当，则，可得，即， 综上，. 故选：C 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由及，解出与即可求解. 【详解】因为，且， 所以，因为，所以，， 所以. 故选：A. 6. 已知奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的单调性可求不等式的解集. 【详解】因为为奇函数，故在上为增函数，而， 故的解为或， 的解为或， 当时，由可得，故或，此时不等式无解； 当时，可得，故或，故 综上可得：不等式的解集为. 故选：C. 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少到需要花（ ）h（精确到1h，参考数据：） A. 5 B. 6 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设条件可得，据此可求污染物减少到需要的时间. 【详解】由题设有，故，故， 令，故，故， 所以， 故选：C. 8. 设正数满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的最小值，从而可得在上恒成立，根据判别式非正可求参数的取值范围. 【详解】因为，故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故在上恒成立，故在上恒成立， 故即， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据反例可判断A的正误，根据不等式的性质可判断B的正误，根据两者之间的推出关系可判断CD的正误. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，故且，故，故B正确； 对于C，当时，也成立，而时，成立， 故是的充分不必要条件，故C错误； 对于D，当时，，故， 取，则，但不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：BD. 10. 把函数图象向左平移个单位长度，然后把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象平移写出解析式，再由正弦型函数的性质判断各项的正误. 【详解】把函数图象向左平移个单位长度，则， 再把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，则， 所以的最小正周期为，A对； ，B错； 由，则函数的图象关于直线对称，C对； 由，则，故， 故函数在上的值域为，D对. 故选：ACD 11. 设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上为减函数 D. 方程有且仅有5个实数根 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法可求判断A；由已知可得，进而可求判断B；作出函数图象可判断C；在同一坐标系下作出的图象，可判断D. 【详解】令，由，可得， 所以，故A正确； 由，所以，所以是的一个周期， 所以，故B正确； 当，，由， 可得， 作出图象如图所示： 可知在上为增函数，故C错误； 由方程，可得与的交点个数，又， 结合与的图象，可知两函数有且只有5个交点， 所以方程有且仅有5个实数根，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：方程根的个数，零点个数问题，常常转化为两函数图象的交点个数问题处理. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出幂函数的解析式，然后代入求值即可. 【详解】设幂函数为 幂函数的图像过点，即，求出；幂函数的解析式为：,则. 故答案为： 13. 已知，且，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式变形，然后解不等式即可. 【详解】由题意，且，当且仅当时，即时等号成立， 令，则上式为：，即， 解得或（舍），所以的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数若是的最小值，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】当时探讨函数的最小值，再探讨当时，函数的取值范围，列式求解作答. 【详解】当时，若，即，有， 在上递减，在上递增， 则与是的最小值矛盾， 若，即，有在上递减， 所以，，则， 当时，函数， 当且仅当，即时等号成立， 因是的最小值，则有，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元一次不等式、指数不等式求集合，再由集合交并补运算求集合； （2）根据题设有是的真子集，列不等式组即可求参数范围. 【小问1详解】 当时，，， 所以，且或，则． 【小问2详解】 因为p是q的必要不充分条件，所以是的真子集， 由，， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为． 16. （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）5；（2）-3 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质可求代数式的值； （2）根据诱导公式和同角三角函数的基本关系式可得，再根据二倍角的正弦和余弦公式可求的值. 【详解】（1）原式． （2）， 所以． 17. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的表达式； （2）判断在区间上的单调性，并证明你的结论； （3）解关于t的不等式． 【答案】（1）； （2） 在上单调递增，证明如下： 任取， ， 而，，， 故在上单调递增． （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求参数，即可得函数解析式； （2）应用单调性定义证明函数单调性； （3）利用函数的奇偶性、单调性列不等式组求解集. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，，则， 此时，恒成立． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为为奇函数，原不等式等价于， 又在上单调递增， 所以，解得， 综上． 18. 位于郑州海昌海洋旅游度假区内的“郑州之眼”摩天轮是目前中原地区最高的摩天轮．该摩天轮的最高点距离地面的高度约为105米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了60个座舱．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时． （1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式； （2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为37.5米？ （3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔9个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值及此时的时间t． 【答案】（1）， （2）5分钟或25分钟 （3）当或25分钟时，h最大值为45米 【解析】 【分析】（1）设，根据所给条件求出，即可得到函数解析式； （2）令，由余弦函数的性质及的范围计算可得； （3）设经过分钟后甲距离地面的高度为，则乙距离地面的高度为，，表示出，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 设． 由题意知． 又，故， ，，可取． ， 故解析式为，． 【小问2详解】 令，则，即， ，，或，解得或． 故游客甲坐上摩天轮后5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为37.5米． 【小问3详解】 经过分钟后，甲距离地面的高度为， 乙与甲间隔的时间为分钟， 所以乙距离地面的高度，， 则两人的高度差 ，． 令，解得，， 又，所以当或25分钟时，h最大值为45米． 19. 已知函数，若对于其定义域中任意非零实数x，都有，则称函数为“倒负函数”． （1）若，，试判断和是不是“倒负函数”．并说明理由； （2）设，若，求的最小值； （3）若，证明：在定义域内有且仅有两个零点． 【答案】（1）是“倒负函数”，不是“倒负函数”，理由如下： 若，，满足， 所以是“倒负函数”． 由，则，而， 对于，则无意义，所以不是“倒负函数”． （2）； （3） 因为，， 任取，， 所以在上单调递增，同理在上单调递增． 又，， 由零点存在性定理知，，， 所以在上有且只有一个零点． 又， 所以是“倒负函数”，， 所以，也是的零点， 所以在和各有一个零点，即在定义域内有且只有两个零点． 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义及对数函数的性质判断和是否为“倒负函数”． （2）利用单调性定义证明在上的单调性，根据已知可得，再应用基本不等式求目标式的最小值； （3）由单调性定义可得在、上单调递增，应用零点存在性定理判断区间零点，结合题设定义判断零点个数，即可证结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 任取，， 所以在上单调递减， 由（1）知，，所以， 又，所以，所以． ，当且仅当时等号成立． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第二、三问，应用单调性定义判断函数的单调性，结合函数新定义、基本不等式、零点存在性定理求解证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $