专题04 二元一次方程组（7大压轴类型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（浙教版2024）

专题04 二元一次方程组压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、二元一次方程组的解 2 类型二、二元一次方程组的公共解 4 类型三、二元一次方程组整数解 5 类型四、二元一次方程组整体代换 5 类型五、二元一次方程组创新题 8 类型六、二元一次方程组几何问题 10 类型七、二元一次方程组方案问题 15 压轴能力测评 18 一、二元一次方程的概念和解 1．二元一次方程概念 含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 二、二元一次方程组的解法 1．由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组，其一般形式为． 2．解二元一次方程组的基本思想：解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 3．二元一次方程组的解法 （1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程． （2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程． 三、二元一次方程组的整数解 1.可以通过列举法；2.可以通过一些整数倍数特点，要能被整除再进行列举； 四、二元一次方程组整体代换 1.通过代换，把复杂的方程组化简单的方程组，进行解二元一次方程组，再进行代入求解； 2.对比两个方程组，保留系数一样，其他的和方程组的字母放一起，再整体对应相等进行求解； 五、二元一次方程组实际问题 列方程解决实际问题通常有下列几个步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系 ②设：设未知数，用字母表示适当是未知数． ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系． ④列：根据题中的相等关系列出方程． ⑤解：解方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所得解是否符合题意，写出问题的答案． 类型一、二元一次方程组的解 例1．已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是　　 ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则； A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 变式1-1．已知关于，的方程组以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若则．其中正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 变式1-2．已知关于，的方程组以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②③ 例2．已知关于和的方程组为常数），得到下列结论： ①无论取何值，都有； ②若，则； ③方程组有非负整数解时，； ④若和互为相反数，则，其中正确的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2-1．已知关于，的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解； ②无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③，都为自然数的解有4对； ④若，则． 正确的有几个　　 A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-2．甲、乙、丙、丁四位同学对关于，的二元一次方程组（其中，均为非零常数）进行探究后有以下描述： 甲：若，则； 乙：当，时，方程组中的与互为相反数； 丙：若是方程组的解，则方程组的解为． 丁：当时，． 则所有正确的描述有　　A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 类型二、二元一次方程组的公共解 例3．关于，的二元一次方程，当取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是　　 A． B． C． D． 变式3-1．已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 　　． 例4．定义一种新的运算：☆，例如：3☆． 若☆，且关于，的二元一次方程，当，取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 　　． 变式4-1．关于，的方程，其中，是常数．若，则的值是 　　．不论，取何值，该方程始终成立，则的值是 　　． 变式4-2．已知关于，的方程组 （1）请直接写出方程的所有正整数解； （2）若方程组的解满足，求的值； （3）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？ （4）若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 类型三、二元一次方程组整数解 例5．若关于、的方程组有整数解，则正整数的值为 　　． 变式5-1．若关于、的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 变式5-2．方程组有正整数解，则整数的值为 　　． 类型四、二元一次方程组整体代换 例6．若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是　　 A． B． C． D． 变式6-1．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定规律，可以试试”；丙说“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以7，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，求出方程组的解是 　　． 变式6-2．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组中两个方程的两边都除以9，通过换元替代的方法来解决”．参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是　　． 例7．已知的解是，则方程组的解是　　． 变式7-1．已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为　　． 变式7-2． 若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是 ． 例8 阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形： 即③ 把方程①代入③得：， 把代入①得，方程组的解为． 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组 （2）已知，满足方程组． 求的值； 求的值． 变式8-1． 教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解．方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题．请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组． 变式8-2． 阅读材料：善于思考的小军在解方程组时．采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：，即③． 把方程①代入③得：，， 所以代入①得，方程组的解为． 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组； （2）已知，满足方程组，求的值． 类型五、二元一次方程组创新题 例9．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：　 　． （2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出，的值． 变式9-1．阅读材料：写出二元一次方程的几个解：，发现这些解的一般形式可表示为为有理数）．把一般形式再变形为，可得，整理得原方程． 根据阅读材料解答下列问题：若二元一次方程的解，可以写成为有理数），则　　． 变式9-2．关于，的二元一次方程均可以变形为的形式，其中，，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为，，． （1）二元一次方程的“关联系数”为　　； （2）已知关于，的二元一次方程的“关联系数”为，，，若为该方程的一组解，且，均为正整数，求，的值． 例10．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为　　 （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有3组整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式10-1．阅读材料并回答下列问题： 当，都是实数，且满足，就称点为“可爱点”．例如：点，令得，，所以不是“可爱点”； ，令得，，所以是“可爱点”． （1）请判断点是否为“可爱点”：　否　（填“是”或“否” ． （2）若以关于，的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求的值； （3）若以关于，的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求正整数，的值． 类型六、二元一次方程组几何问题 例11． 阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于、的二元一次方程组，解出、的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　20　； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图，求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 变式11-1． 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背张，座垫张）． 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 　9　张和坐垫 　　张． 方法三：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 例12．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计） （1）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； （2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值． 变式12-1．用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面、做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器． （1）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果将两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ （2）现有长方形铁片张，正方形铁片张，如果加工这两种容器若干个，恰好将两种铁片刚好全部用完．则的值可能是 　　； ．2019 ．2020 ．2021 ．2022 （3）给长方体容器加盖可以加工成铁盒．先工厂仓库有35张铁皮可以裁剪成长方形和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1张铁皮可裁剪出3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁剪出1张长方形铁片和2张正方形铁片．请问怎样充分利用这35张铁皮，最多可以加工成多少个铁盒？ 变式12-2． 某学校实践课准备用图甲所示的型正方形板材和型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． （1）若学校现有库存型板材50张，型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子． ①请完成下列表格： 只竖式箱子 只横式箱子 型板材张数（张 　　 型板材张数（张 　　 ②恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． （2）若学校新购得张规格为的型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张型板材和2张型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成型板材，另一部分全部切割成型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则的最小值是 　　，此时能制作横式箱子 　　只． 例13 ．用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为厘米，厘米和30厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木块锯成两块刚好能做箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，． （1）用含，的代数式表示这三块木板的面积； （2）若甲块木块的面积比丙块木块的面积大300平方厘米，乙块木块的面积为1800平方厘米，求，的值； （3）如果购买一块长120厘米，宽为的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为，试求的值． 变式13-1：某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照如图1所示的裁法一或裁法二裁下，型两种板材（单位：． （1）列出方程组，求，的值； （2）若将张标准板材用裁法一裁剪，张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的，型板材做成如图2所示的横式无盖长方体礼品盒． ①两种裁法共产生型板材 　　张，型板材 　　张（用含，的代数式表示）； ②若裁剪的标准板材共40张，且用做礼品盒时恰好把①中的型板材和型板材用完，求做成的横式无盖长方体礼品盒有多少个？ 变式13-2．要制作200个，两种规格的顶部无盖木盒，种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图①．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图②，切割、拼接等板材损耗忽略不计． （1）设制作种木盒个，则制作种木盒 　　个；若使用甲种方式切割的木板材张，则使用乙种方式切割的木板材 　　张； （2）该200张木板材恰好能做成200个和两种规格的无盖木盒，请分别求出，木盒的个数和使用甲、乙两种方式切割的木板材张数． 类型七、二元一次方程组方案问题 例14．学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨辆） 5 8 10 汽车运费（元辆） 400 500 600 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节省运费，该学校打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？ 变式14-1．水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨辆） 5 8 10 汽车运费（元辆） 400 500 600 （1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？ 变式14-2 ．重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数人 100以上 每人门票价元 12 10 8 某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于50人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付588元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元． （1）两个班各有多少人？ （2）小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于100元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满100元，但不超过300元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过300元，其中300元部分给予九折优惠，超过300元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费377.3元，其中小明的付款费小于100元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款366.8元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品3件、商品7件、商品1件共需24元；若购买商品4件、商品10件、商品1件共需33元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 例15．某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为，，三个场馆，且购买1张场馆门票和1张场馆门票共需90元，购买3张场馆门票和2张场馆门票共需230元．场馆门票为每张15元．由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票． （1）求场馆和场馆的门票价格． （2）若购买场馆的门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． （3）若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1100元，求所有满足条件的购买方案． 变式15-1．根据以下素材，探索完成任务． 设计奖项设置和奖品采购的方案 某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案． 素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元． 素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品． 素材3 （1）1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． （2）计划设置一等奖人，二等奖30人，三等奖人，且． （3）一等奖：1支水笔和一本笔记本，二等奖：一支水笔，三等奖：一本笔记本． 问题解决 任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？ 任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？ 任务3 确定购买人数 任务2中购买的奖品刚好全部发完，则 　　，　　． 1． 关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一组固定不变的解，这组解为 　　． 2．无论取何值，关于、的二元一次方程总有一个公共解，这个公共解是　　． 3．我们称使方程成立的一对数，为“相伴数对”，记为． （1）若是“相伴数对”，求的值； （2）若是“相伴数对”，请用含的代数式表示． 4．阅读下述材料，再按要求解答 如果一个关于、的一次方程可化为形如：，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“1性质”的方程． （1）若关于，的方程是具有“1性质”的方程，则的值为 　　． （2）若关于，的方程是具有“1性质”的方程，且是该方程的一个解，试求，的值． 5．已知关于，的方程组，给出下列结论： ①是方程组的解；②当时，，的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解； 其中正确的个数是　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．若关于，的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的整数的和是 　　． 7．若方程组的解是，则方程组的解为　　． 8．若关于，方程组的解为，则方程组的解为　　． 9． 小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！试求图2这个正方形的面积． 10．张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． （1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板 　　张，长方形纸板 　　张． （2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ （3）该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且．试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值．（直接写出答案） 11．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图甲，（单位： （1）列出方程（组，求出图甲中与的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生型板材 　　张，型板材 　　张； ②已知①中的型板材和型板材恰好做成竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，求、的值． 12.小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法，并获得如下信息： 营业员：月销售件数200件，月总收入3400元； 营业员：月销售件数300件，月总收入3700元； 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． （1）求、的值； （2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？ 13.根据以下素材，探索完成任务 如何设计购买方案？ 素材1 某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为，，三个场馆，且购买1张场馆门票和1张场馆门票共需90元，购买3张场馆门票和2张场馆门票共需230元．场馆门票为每张15元． 素材2 由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 若购买场馆的门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 任务3 拟定购买方案 若购买门票总预算为1100元，在不超额的前提下，要让去场馆的人数尽量的多，请你设计一种购买方案． 购买方案 门票类型 购买数量 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程组压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、二元一次方程组的解 2 类型二、二元一次方程组的公共解 7 类型三、二元一次方程组整数解 10 类型四、二元一次方程组整体代换 12 类型五、二元一次方程组创新题 17 类型六、二元一次方程组几何问题 21 类型七、二元一次方程组方案问题 29 压轴能力测评 35 一、二元一次方程的概念和解 1．二元一次方程概念 含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 二、二元一次方程组的解法 1．由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组，其一般形式为． 2．解二元一次方程组的基本思想：解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 3．二元一次方程组的解法 （1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程． （2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程． 三、二元一次方程组的整数解 1.可以通过列举法；2.可以通过一些整数倍数特点，要能被整除再进行列举； 四、二元一次方程组整体代换 1.通过代换，把复杂的方程组化简单的方程组，进行解二元一次方程组，再进行代入求解； 2.对比两个方程组，保留系数一样，其他的和方程组的字母放一起，再整体对应相等进行求解； 五、二元一次方程组实际问题 列方程解决实际问题通常有下列几个步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系 ②设：设未知数，用字母表示适当是未知数． ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系． ④列：根据题中的相等关系列出方程． ⑤解：解方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所得解是否符合题意，写出问题的答案． 类型一、二元一次方程组的解 例1．已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是　　 ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则； A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】：D； 【解析】：解：关于，的二元一次方程组， ①②得，，即：， （1）①当方程组的解，的值互为相反数时，即时，即， ，故①正确， （2）②原方程组的解满足， 当时，， 而方程的解满足， 因此②不正确， （3）方程组，解得， ， 因此③是正确的， （4）方程组， 由方程①得，代入方程②得， ，即 因此④是正确的， 选：． 变式1-1．已知关于，的方程组以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若则．其中正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 【答案】：A; 【解析】：解：①当时，原方程组可整理得：， 解得：，把代入得： ， 即①正确， ②解方程组，得： 若，则， 解得：，即存在实数，使得， 即②正确， ③解方程组，，得： ，， 不论取什么实数，的值始终不变，故③正确； ④解方程组，，得： ，若 ，故④错误， 选：． 变式1-2．已知关于，的方程组以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②③ 【答案】：C; 【解析】： 解：由，解得， 当时，， 将代入，①错误，故不符合要求； ， 令，解得， 当时，，②正确，故符合要求； ， 无论取什么实数，的值始终不变，③正确，故符合要求； ， 解得，④正确，故符合要求， 正确的有②③④， 选：． 例2．已知关于和的方程组为常数），得到下列结论： ①无论取何值，都有； ②若，则； ③方程组有非负整数解时，； ④若和互为相反数，则，其中正确的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：C; 【解析】：解：方程组， ①②得，即，故①正确； 若，则，解得， ，故②正确； 解方程组，得， 方程组有非负整数解时，有， ，或1，故③不正确； 若和互为相反数，则， ， ，故④正确． 选：． 变式2-1．已知关于，的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解； ②无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③，都为自然数的解有4对； ④若，则． 正确的有几个　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】：D; 【解析】：解：①将代入原方程组，得解得 将，，代入方程的左右两边， 左边，右边， 当时，方程组的解也是的解； ②解原方程组，得， 无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③ 、为自然数的解有，，，． ④，，解得．选：． 变式2-2．甲、乙、丙、丁四位同学对关于，的二元一次方程组（其中，均为非零常数）进行探究后有以下描述： 甲：若，则； 乙：当，时，方程组中的与互为相反数； 丙：若是方程组的解，则方程组的解为． 丁：当时，． 则所有正确的描述有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】：A; 【解析】：解：甲：， 原方程组变为： ①②得：，解得：，故甲正确； 乙：当，时，方程组变为， ①②得：，解得：， 代入①得：，解得：，故乙正确； 丙：把代入得：， 把代入得：，故丙正确； 丁：甲：，， 原方程组变为：， ①②得：，解得：， 代入①得：， 解得：，，故丁正确． 选． 类型二、二元一次方程组的公共解 例3．关于，的二元一次方程，当取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是　　 A． B． C． D． 【答案】：B 【解析】：解：当，得． ． 当，得．． 这个公共解是． 选：． 变式3-1．已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 　　． 【答案】：； 【解析】：解：该方程变形为， 当时，解得， 将代入方程得，， 解得； 当时，解得， 将代入方程得，， 解得， 不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是， 答案：． 例4．定义一种新的运算：☆，例如：3☆． 若☆，且关于，的二元一次方程，当，取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 　　． 【答案】：； 【解析】：解：☆，☆， ，即， 则方程可转化为， 则， 当，取不同值时，方程都有一个公共解， ，解得， 答案：． 变式4-1．关于，的方程，其中，是常数．若，则的值是 　　．不论，取何值，该方程始终成立，则的值是 　　． 【答案】：，3； 【解析】：解：（1）， ，则， ，则，得， 则； （2）不论，取何值，该方程始终成立，且由（1）知， ，，解得，， 则， 答案：，3． 变式4-2．已知关于，的方程组 （1）请直接写出方程的所有正整数解； （2）若方程组的解满足，求的值； （3）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？ （4）若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】：（1）所有正整数解为：，；（2）；（3）；（4）或； 【解析】：解：（1）方程，， 解得：， 当时，；当时，， 方程的所有正整数解为：，； （2）由题意得：，解得， 把代入，解得； （3），， 当时，，即固定的解为：， （4）， ①②得：，，， 恰为整数，也为整数，是1的约数， 或， 或． 类型三、二元一次方程组整数解 例5．若关于、的方程组有整数解，则正整数的值为 　1或3　． 【答案】：1或3； 【解析】：解：， ①得：③， ②得：④， ③④得：，， 把代入②得：， 关于、的方程组有整数解， 或或或， 或或或， 或3或或， 为正整数，或3， 答案：1或3． 变式5-1．若关于、的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】：B 【解析】：解：对方程组 ②①，得，， 关于、的方程组的解为整数， ，．即、1、3、4， 满足条件的所有的值的和为． 选：． 变式5-2．方程组有正整数解，则整数的值为 　，　． 【答案】：，　； 【解析】：解：，①②，得， 把代入②，得， 方程组有正数解，，，解得， 方程组有正整数解，， ，， 的整数为，，，0，1，2， 分别代入，， 使，为正整数解的的值为， 、， 答案：，． 类型四、二元一次方程组整体代换 例6．若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是　　 A． B． C． D． 【答案】：A; 【解析】：解：关于，的二元一次方程组可化成， 关于，的二元一次方程组的解是， ，解得：， 选：． 变式6-1．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定规律，可以试试”；丙说“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以7，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，求出方程组的解是 　　． 【答案】：； 【解析】：解：方程组整理得：， 由方程组的解是，得到，解得：， 答案：； 变式6-2．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组中两个方程的两边都除以9，通过换元替代的方法来解决”．参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是　　． 【答案】：； 【解析】：解：方程组变形为：， 设，，则， 方程组的解是， 的解是：， 即，，解得：，， 答案：． 例7．已知的解是，则方程组的解是　　． 【答案】：； 【解析】：解：将代入得：， 将代入方程组得： 解得：， 答案：． 变式7-1．已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为　　． 【答案】：； 【解析】：解：关于，的二元一次方程组的解为， ，，解得，答案：． 变式7-2． 若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是． 【答案】： 【解析】：解：方法一：关于、的二元一次方程组的解是， 将解代入方程组；可得， 关于、的二元一次方程组可整理为：解得： 方法二：关于、的二元一次方程组的解是， 由关于、的二元一次方程组可知 解得：答案： 例8 阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形： 即③ 把方程①代入③得：， 把代入①得，方程组的解为． 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组 （2）已知，满足方程组． 求的值； 求的值． 【答案】：（1）；（2）17；；； 【解析】： 解：（1）把方程②变形：③， 把①代入③得：，即，把代入①得：，则方程组的解为； （2）由①得：，即③， 把③代入②得：，解得：，则； ，， 或， 则． 变式8-1． 教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解．方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题．请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组． 【答案】：； 【解析】：解：令，， 原方程组可化为：，①②得，，即， ②①得，，即，，原方程组的解为． 变式8-2． 阅读材料：善于思考的小军在解方程组时．采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：，即③． 把方程①代入③得：，， 所以代入①得，方程组的解为． 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组； （2）已知，满足方程组，求的值． 【答案】：（1）；（2）17； 【解析】：解：（1）将方程②变形：即③， 把方程①代入③得：， ， 把代入①得， 方程组的解为； （2）①②得到，， ． 类型五、二元一次方程组创新题 例9．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：　 　． （2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出，的值． 【答案】：（1）；（2），； 【解析】：解：（1）由题知，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 故答案为：． （2）二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 又二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ，解得， ，． 变式9-1．阅读材料：写出二元一次方程的几个解：，发现这些解的一般形式可表示为为有理数）．把一般形式再变形为，可得，整理得原方程． 根据阅读材料解答下列问题：若二元一次方程的解，可以写成为有理数），则　　． 【答案】：-3； 【解析】：解：，，， ，， ，，， 答案：． 变式9-2．关于，的二元一次方程均可以变形为的形式，其中，，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为，，． （1）二元一次方程的“关联系数”为　，，　； （2）已知关于，的二元一次方程的“关联系数”为，，，若为该方程的一组解，且，均为正整数，求，的值． 【答案】：（1），，；（2）或．； 【解析】： 解：（1），，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为，，， 二元一次方程的“关联系数”为，，； 答案：，，； （2）关于，的二元一次方程的“关联系数”为，，， 二元一次方程为． 为该方程的一组解，，均为正整数， ，即． 或． 例10．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为　　 （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有3组整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：B; 【解析】：解：，， ，解得，故（1）正确； ，， ，，故（2）正确； ，， 当时，则不成立，，， 、都是整数，或或， 或或0或或或， 满足题意的、的值可以为，，，，，，故（3）错误； ，，，，， ，，对任意有理数、都成立， ，故（4）错误． 综上：正确的有①②． 选：． 变式10-1．阅读材料并回答下列问题： 当，都是实数，且满足，就称点为“可爱点”．例如：点，令得，，所以不是“可爱点”； ，令得，，所以是“可爱点”． （1）请判断点是否为“可爱点”：　否　（填“是”或“否” ． （2）若以关于，的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求的值； （3）若以关于，的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求正整数，的值． 【答案】：（1）否；（2）10；（3）或或或．； 【解析】：解：（1）点，令，解得， ，不是“可爱点“， 答案：否； （2）方程组的解为， 点，是“可爱点”，，， ，， 解得， 的值为10． （3）方程组的解为， 点，是“可爱点”，，， ，，解得， ，为正整数， 或或或． 类型六、二元一次方程组几何问题 例11． 阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于、的二元一次方程组，解出、的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　20　； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图，求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】：（1）60；（2）20cm；（3）64； 【解析】：解：（1）设小长方形的长为，宽为， 根据题意得：，解得：， ． 故每个小长方形的面积为60； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高 ，单独一个纸杯的高度为 ， 则，解得， 则． 即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是． （3）设小长方形的长为，宽为，根据题意得 ，解得， ． 答案：64． 变式11-1． 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背张，座垫张）． 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 　9　张和坐垫 　　张． 方法三：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 【答案】：任务一：9，3；2，6；任务二：240;任务三：需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张; 【解析】：解：任务一： 设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，根据题意得：，， ，为非负整数， 或或， 方法二：裁切靠背9张和坐垫3张； 方法三：裁切靠背2张和坐垫6张； 答案：9，3；2，6； 任务二：（张， 该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅； 任务三： 应该是设张靠背9张和坐垫3张．张靠背2张和坐垫6张， 根据题意得：，解得：， （张， 需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张． 例12．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计） （1）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； （2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值． 【答案】：(1) 加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个，恰好能将购进的纸板全部用完 ;(2)的所有可能值为155，160，165，170． ; 【解析】：（1）设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个， 根据题意得：，解得：． 答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个，恰好能将购进的纸板全部用完． （2）设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个， 根据题意得：，． 、为正整数，为5的倍数， 又，满足条件的为：155，160，165，170． 答：在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为155，160，165，170． 变式12-1．用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面、做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器． （1）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果将两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ （2）现有长方形铁片张，正方形铁片张，如果加工这两种容器若干个，恰好将两种铁片刚好全部用完．则的值可能是 　　； ．2019 ．2020 ．2021 ．2022 （3）给长方体容器加盖可以加工成铁盒．先工厂仓库有35张铁皮可以裁剪成长方形和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1张铁皮可裁剪出3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁剪出1张长方形铁片和2张正方形铁片．请问怎样充分利用这35张铁皮，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】：(1) ;(2)B ; (3)最多可以加工成19个铁盒．; 【解析】： 解：（1）设可加工成竖式长方体容器个，横式长方体容器个， 由题意得：，解得： 答：可加工成竖式长方体容器100个，横式长方体容器538个； （2）设可加工成竖式容器容器个，横式容器个 由题意得：，①②得：， 是5的倍数， 答案：； （3）设做长方形铁片的铁板为块，做正方形铁片的铁板为块，由题意得：， 解得：，在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做（张，9块做正方形铁片可做（张，剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片， 共做长方形铁片（张，正方形铁片（张， 可做铁盒为（个， 答：最多可以加工成19个铁盒． 变式12-2． 某学校实践课准备用图甲所示的型正方形板材和型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． （1）若学校现有库存型板材50张，型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子． ①请完成下列表格： 只竖式箱子 只横式箱子 型板材张数（张 　　 型板材张数（张 　　 ②恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． （2）若学校新购得张规格为的型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张型板材和2张型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成型板材，另一部分全部切割成型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则的最小值是 　　，此时能制作横式箱子 　　只． 【答案】：(1) ①， ;②制作出竖式和横式的箱子各20只和10只 ;(2) 35，5; 【解析】：解：（1）①如图所示：做一个竖式箱子，需1张板，4张板，做一个横式箱子，需2张板，3张板，故答案：，； ②恰好将库存板材用完，根据题意，得 ，解得， 答：制作出竖式和横式的箱子各20只和10只； （2）设型板有张全部切成板，则有张全部切成板， 且一张的型板可以切成张型板或3张型板， 得张板，张板， 因为竖式箱子制作20只用掉20张板，80张板， 则剩余板张，板张， 根据题意，得整理，得， ，， ，，，解得， ，且为整数，取最小值为2时，代入，得（不符合题意，舍去）， 当时，代入，得， 取最小值为3时，最小． 此时，剩余板10张，可以做5只横式板． 的最小值是35，此时能制作横式箱子5只． 答案：35，5． 例13 ．用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为厘米，厘米和30厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木块锯成两块刚好能做箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，． （1）用含，的代数式表示这三块木板的面积； （2）若甲块木块的面积比丙块木块的面积大300平方厘米，乙块木块的面积为1800平方厘米，求，的值； （3）如果购买一块长120厘米，宽为的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为，试求的值． 【答案】：(1) 甲：，乙：，丙： ;(2) ; (3); 【解析】：解：（1）甲：，乙：，丙：． （2）由题意得：，解得：； （3）由题意可得：，整理得：， 则． 变式13-1：某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照如图1所示的裁法一或裁法二裁下，型两种板材（单位：． （1）列出方程组，求，的值； （2）若将张标准板材用裁法一裁剪，张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的，型板材做成如图2所示的横式无盖长方体礼品盒． ①两种裁法共产生型板材 　　张，型板材 　　张（用含，的代数式表示）； ②若裁剪的标准板材共40张，且用做礼品盒时恰好把①中的型板材和型板材用完，求做成的横式无盖长方体礼品盒有多少个？ 【答案】：(1) ;(2)①， ; ②做成的横式无盖长方体礼品盒有24个; 【解析】：解：（1）由题意列方程组为，解得； （2）①两种裁法共产生型板材：张，型板材张， 故答案为：，； ②每个横式无盖长方体礼品盒由3块板材，2块板材组成， 由题意列方程组为：解得：， 共产生型板材72张，型板材48张， 做成的横式无盖长方体礼品盒有24个． 变式13-2．要制作200个，两种规格的顶部无盖木盒，种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图①．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图②，切割、拼接等板材损耗忽略不计． （1）设制作种木盒个，则制作种木盒 　　个；若使用甲种方式切割的木板材张，则使用乙种方式切割的木板材 　　张； （2）该200张木板材恰好能做成200个和两种规格的无盖木盒，请分别求出，木盒的个数和使用甲、乙两种方式切割的木板材张数． 【答案】：(1) ， ;(2) 故制作种木盒100个，制作种木盒100个，使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张; 【解析】：解：（1）要制作200个，两种规格的顶部无盖木盒，制作种木盒个， 故制作种木盒个； 有200张规格为的木板材，使用甲种方式切割的木板材张， 故使用乙种方式切割的木板材张； 故答案为：，； （2）使用甲种方式切割的木板材张，则可切割出个长、宽均为的木板， 使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板； 设制作种木盒个，则需要长、宽均为的木板个， 制作种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个； 故，解得：， 故制作种木盒100个，制作种木盒100个，使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张． 类型七、二元一次方程组方案问题 例14．学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨辆） 5 8 10 汽车运费（元辆） 400 500 600 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节省运费，该学校打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？ 【答案】：(1)需甲种车型为8辆，乙种车型为10辆 ;(2)甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费7500元 ; 【解析】：解：（1）设需甲车辆，乙车辆，根据题意得 ，解得． 答：需甲种车型为8辆，乙种车型为10辆． （2）设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆，由题意得 ，化简得，即， 、、均为正整数， 只能等于5，从而，， 甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆， 需运费（元． 答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费7500元． 变式14-1．水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨辆） 5 8 10 汽车运费（元辆） 400 500 600 （1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？ 【答案】：(1) 需甲车型8辆，乙车型10辆;(2)运送方案：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆 ; 【解析】：（1）设需甲车型辆，乙车型辆，得： ，解得． 答：需甲车型8辆，乙车型10辆； （2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，得： ，消去得，， 因，是正整数，且不大于14，得，10， 由是正整数，解得，， 当，，时，总运费为：元； 当，，时，总运费为：元元； 运送方案：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆． 变式14-2 ．重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数人 100以上 每人门票价元 12 10 8 某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于50人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付588元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元． （1）两个班各有多少人？ （2）小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于100元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满100元，但不超过300元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过300元，其中300元部分给予九折优惠，超过300元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费377.3元，其中小明的付款费小于100元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款366.8元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品3件、商品7件、商品1件共需24元；若购买商品4件、商品10件、商品1件共需33元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 【答案】：(1)甲班有49人，乙班有53人;(2) ①分开付款时小明支付了52.5元或94.5元; ②他们购买、、各一件共需要6元．; 【解析】：解：（1）甲班人数为：（人． 不是10的倍数，两个班的人数超过了100人． 乙班人数为（人． 答：甲班有49人，乙班有53人； （2）①Ⅰ．设分开付款时小明支付了元（没有任何优惠），则小红支付了元． ，， ，小红购物原价超过300元． ．解得：． Ⅱ．设分开付款时小明支付了元（享受了九折优惠），小红支付了元． ．解得：． 分开付款时小明支付了52.5元或94.5元． ②设商品的单价为元件，商品的单价为元件，商品的单价为元件，则 ． ②①得：．由①，得：． ． 答：他们购买、、各一件共需要6元． 例15．某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为，，三个场馆，且购买1张场馆门票和1张场馆门票共需90元，购买3张场馆门票和2张场馆门票共需230元．场馆门票为每张15元．由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票． （1）求场馆和场馆的门票价格． （2）若购买场馆的门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． （3）若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1100元，求所有满足条件的购买方案． 【答案】：(1) ;(2)此次购买门票所需总金额的最小值为1210元 ; (3)购买10张场馆门票，12张场馆门票，8张场馆门票．; 【解析】：（1）解：设场馆门票为元，场馆门票为元， ，解得． 答：场馆门票的单价为50元，场馆门票的单价为40元． （2）设购买场馆门票张，则购买场馆门票张， 依题意得：，解得：． 设此次购买门票所需总金额为元，则 ， ，随的增大而减小． ，且为整数， 当时，取得最小值，最小值． 答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元． （3）设购买场馆门票张，场馆门票张，则购买场馆门票， 依题意得： ，． 又，均为正整数， 或或． 当，时，，符合题意． 当，时，，符合题意． 当，时，，符合题意，舍去； 共有2种购买方案， 方案1：购买5张场馆门票，16张场馆门票，14张场馆门票； 方案2：购买10张场馆门票，12张场馆门票，8张场馆门票． 又在不超额的前提下，要让去场馆的人数尽量的多， 选择方案2， 即购买10张场馆门票，12张场馆门票，8张场馆门票． 变式15-1．根据以下素材，探索完成任务． 设计奖项设置和奖品采购的方案 某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案． 素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元． 素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品． 素材3 （1）1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． （2）计划设置一等奖人，二等奖30人，三等奖人，且． （3）一等奖：1支水笔和一本笔记本，二等奖：一支水笔，三等奖：一本笔记本． 问题解决 任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？ 任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？ 任务3 确定购买人数 任务2中购买的奖品刚好全部发完，则 　18　，　　． 【答案】：(1) 一盒水笔120元，一包笔记本80元;(2) 将880元全部用完，可以购买购买水笔2盒，笔记本8包或水笔4盒，笔记本5包或水笔6盒，笔记本2包；(3)18，62; 【解析】： 解：（1）设一盒水笔元，一包笔记本元， 由题意得：得：， 答：一盒水笔120元，一包笔记本80元； （2）设购买水笔盒，笔记本包， 由题意得：， 整理得：， 、均为正整数，或或， 有3种购买方案： ①购买水笔2盒，笔记本8包； ②购买水笔4盒，笔记本5包； ③购买水笔6盒，笔记本2包； 答：将880元全部用完，可以购买购买水笔2盒，笔记本8包或水笔4盒，笔记本5包或水笔6盒，笔记本2包； （3）由题意可知，共需笔记本为本，水笔支， 方案①中，水笔为：（支，笔记本为：（本， 由题意得：，解得：（不符合题意，舍去）； 方案②中，水笔为：（支，笔记本为：（本， 由题意得：，解得：，符合题意； 方案③中，水笔为：（支，笔记本为：（本， 由题意得：，解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，，， 答案：18，62． 1．关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一组固定不变的解，这组解为 　　． 【答案】：; 【解析】：解：可化为， 不论取何值，方程总有一组固定不变的解， ，解得． 答案：． 2．无论取何值，关于、的二元一次方程总有一个公共解，这个公共解是　　． 【答案】：; 【解析】：解：方程整理为， 则，解得：，答案：． 3．我们称使方程成立的一对数，为“相伴数对”，记为． （1）若是“相伴数对”，求的值； （2）若是“相伴数对”，请用含的代数式表示． 【答案】：(1) ;(2); 【解析】：解：（1）是“相伴数对”，，解得； （2）是“相伴数对”，， 解得：． 4．阅读下述材料，再按要求解答 如果一个关于、的一次方程可化为形如：，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“1性质”的方程． （1）若关于，的方程是具有“1性质”的方程，则的值为 　　． （2）若关于，的方程是具有“1性质”的方程，且是该方程的一个解，试求，的值． 【解析】：解：（1）关于，的方程是具有“1性质”的方程，， 解得，答案：； （2）将原方程化为：， 则，解得． 【答案】：(1) ;(2) ; 5．已知关于，的方程组，给出下列结论： ①是方程组的解；②当时，，的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解； 其中正确的个数是　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】：C; 【解析】：解：①解得：， 当时，，，故①错误； ②将代入方程组得：解得： ，的值互为相反数，故②正确； ③将代入方程组得：解得： 当时，方程化为： ，是方程的解，故③正确． 选：． 6．若关于，的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的整数的和是 　3　． 【答案】：3; 【解析】： 解：，由①，得③，将③代入②，得④， 将④代入③，得． ，和均为整数，，． 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； 当时，（舍去）； 综上，或2． ， 满足条件的整数的和是3． 答案：3． 7．若方程组的解是，则方程组的解为　　． 【答案】：; 【解析】：解：方程组的解是， 方程组的解为，即， 答案：. 8．若关于，方程组的解为，则方程组的解为　　． 【答案】：; 【解析】：解：将为代入方程组的，得①， 令，， 对方程组 进行变形得；将①代入得 整理得，解得 ，解得; 答案：; 9．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！试求图2这个正方形的面积． 【答案】：; 【解析】：解：设每个长方形的宽为 ，长为 ，那么可得出方程组为： ，解得： ，． 答：图2这个正方形的面积是． 10．张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． （1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板 　5　张，长方形纸板 　　张． （2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ （3）该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且．试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值．（直接写出答案） 【答案】：(1)5，10;(2)加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完 ; (3)的所有可能值是：293，298; 【解析】：解：（1）根据图中所给1个竖式无盖纸盒构成：4个长方形侧面和1个正方形底面可知，需要1个正方形纸板（底面）和4个长方形纸板（侧面）； 根据图中所给1个横式无盖纸盒构成：2个正方形侧面个长方形侧面一个长方形底面可知，需要2个正方形纸板（侧面）和3个长方形纸板（侧面和底面）； 综上所述，做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板张，长方形纸板张， 答案：5，10； （2）设竖式纸盒加工个，横式纸盒加工个， 根据题意得：，解得：， 加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完， 答：加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完； （3）设竖式纸盒加工个，则横式纸盒加工个， 由题意得：，化简得：， ，且、为整数， ，即， 满足题意的有19，20，21，22， 使为整数的取值是：20，22， 的所有可能值是：293，298． 11．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图甲，（单位： （1）列出方程（组，求出图甲中与的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生型板材 　64　张，型板材 　　张； ②已知①中的型板材和型板材恰好做成竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，求、的值． 【答案】：(1) ;(2)64，38 ; (3)．; 【解析】：解：（1）由题意得：， 解得：， 答：图甲中与的值分别为：60、40； （2）①由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：， 所以两种裁法共产生型板材为（张， 由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：， 所以两种裁法共产生型板材为（张， 答案：64，38； ②根据题意竖式有盖礼品盒的个，横式无盖礼品盒的个， 则型板材需要个，型板材需要个， 所以，解得． 12.小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法，并获得如下信息： 营业员：月销售件数200件，月总收入3400元； 营业员：月销售件数300件，月总收入3700元； 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． （1）求、的值； （2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？ 【答案】：(1) ;(2)购买甲、乙 、丙服装各一件共需190元; 【解析】： 解：（1）根据题意得：， 解得：． （2）设购买一件甲服装需要元，购买一件乙服装需要元，购买一件丙服装需要元， 根据题意得：， ①②，得：． 答：购买甲、乙、丙服装各一件共需190元． 13.根据以下素材，探索完成任务 如何设计购买方案？ 素材1 某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为，，三个场馆，且购买1张场馆门票和1张场馆门票共需90元，购买3张场馆门票和2张场馆门票共需230元．场馆门票为每张15元． 素材2 由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 若购买场馆的门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 任务3 拟定购买方案 若购买门票总预算为1100元，在不超额的前提下，要让去场馆的人数尽量的多，请你设计一种购买方案． 购买方案 门票类型 购买数量 【答案】：(1) ;(2) 此次购买门票所需总金额的最小值为1210元; (3)购买10张场馆门票，12张场馆门票，8张场馆门票．; 【解析】： （1）解：设场馆门票为元，场馆门票为元， ，解得． 答：场馆门票的单价为50元，场馆门票的单价40元． （2）设购买场馆门票张，则购买场馆门票张， 依题意得：，解得：． 设此次购买门票所需总金额为元，则 ， ， 随的增大而减小． ，且为整数， 当时，取得最小值，最小值． 答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元． （3）设购买场馆门票张，场馆门票张，则购买场馆门票， 依题意得： ， ． 又，均为正整数， 或或． 当，时，，符合题意． 当，时，，符合题意． 当，时，，符合题意，舍去； 共有2种购买方案， 方案1：购买5张场馆门票，16张场馆门票，14张场馆门票； 方案2：购买10张场馆门票，12张场馆门票，8张场馆门票． 又在不超额的前提下，要让去场馆的人数尽量的多， 选择方案2， 即购买10张场馆门票，12张场馆门票，8张场馆门票． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$