专题03 平行线之铅笔头模型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（浙教版2024）

平行线之铅笔头模型 解题技巧：找到铅笔头，形似，可以通过延长或者做平行线构造出此模型； 然后再利用结论快速解题。 结论： 题型讲解 例1．如图，，，，已知，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】：B; 【解析】：解：过作， ，， ，， ， ，， ， ，，， ． 选：． 变式1-1．如图，，，平分，设，，，则、、的数量关系是　　 A． B． C． D． 【答案】：A; 【解析】：解：如图所示，过点作，过点作， ，平分，，，， ，，， ，，，， ，， 即，，， ，， ． 选：． 变式1-2．如图所示，，若，下列各式：①；②；③；④，其中正确的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】：D; 【解析】：解：如图1，过点作， ， ， ，， ，故①正确； 如图2，过点作， ，， ，， ， 即，故②不正确； 又，， 即，故③不正确； ，， ，， ， 故④正确；正确的为①④， 选：． 例2．下列各图中的与平行． 图1中的， 图2中的， 图3中的， 图4中的　720　， 据此推测，图10中的　　． 【答案】：，; 【解析】：解：图1中的， 图2中的， 图3中的， 图4中的， 图10中的． 答案：，． 变式2-1．【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用．李老师给出如下问题：直线，点为，之间一点，连接，，得到，试探究与，的数量关系． ①小红根据题意画出图形，如图1．经过探究得出结论：． ②小明根据题意画出图形，如图2．经过探究得出结论：． 请你选择一名同学的结论，写出证明过程． 【归纳总结】 （2）李老师和同学们发现，在解决上面题目的过程中，都运用了在拐点作平行线的方法，平行线起到了构造等角或补角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图3，直线，点，在，之间，，求的度数． 【学以致用】 （3）如图4，直线，与，交于点，，点在，之间，点在上，直线平分交于点，若，求证：平分． 【答案】：（1）见解析;（2）500；（3）见解析; 【解析】：解：（1）小红：过点作，如图所示： ，， ，， ，． 小明：过点作，如图所示： ，， ，， ， ． （2）过点作，过点作，如图所示： ，， ，，， ，， ． （3）过点作，如图所示： ，， ，， 平分，， 设，， 则，， ，， ，， ，， ， ， ， 平分． 变式2-2．【学习新知】 射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则． （1）【初步应用】 生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光” 射到平面镜上，被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线，回答下列问题： ①当（即时，求的度数； ②当时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学知识及新知说明理由． （提示：三角形的内角和等于 （2）【拓展探究】 如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线已知，若要使，请直接写出的度数 　　； 【答案】：（1）①600;②见解析；（2）1250; 【解析】：解：（1）①，， ， ， ，，， ，； ②，， ，，， ，， （2）如图所示，过点作， ，， ，，， ，，， ， ， ，，，， ，， ，， 答案：． 例3．如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则　42　；现将支撑杆调整至图3所示位置，调整过程中，大小不变，，再顺时针调整平板至，使得，则　　． 【答案】：42，； 【解析】：解：如图，过点作， ，， ， ，， ，， ， ； 如图，延长，交于点， 由上述可知，， ，， ， ，， ， ． 答案：42，． 变式3-1．图1是一盏可折叠台灯，图2，图3是其平面示意图，固定底座于点，支架与分别可绕点和旋转，台灯灯罩且可绕点旋转调节光线角度，台灯最外侧光线，组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，，此时，则　　．现继续调节图2中的支架与灯罩，发现当最外侧光线与水平方向的夹角，且的角平分线与垂直时，光线最适合阅读（如图，则此时　　． 【答案】：答案：；； 【解析】：解：如图所示，过点作，过点作， ，， ，， ，， ， ，， ，； 如图，过点作，过点作交，于点，， ，， ，平分，， ，， ， 角平分线与垂直，， ， ， 答案：；． 变式3-2．如图，已知，是直线，间的一点，于点，交于点，． （1）的度数为 　　． （2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，求的度数； ②当直线与的夹角为时，求的值． 【答案】：（1）600；（2）①400；②6s； 【解析】：解：（1）延长与相交于点，如图1， ，， ，， ， 答案：； （2）①Ⅰ如图2， ，，， 射线运动的时间（秒， 射线旋转的角度； Ⅱ如图3所示， ，，， 射线运动的时间（秒， 射线旋转的角度（不符合题意，舍去）， 综上所述，的度数为； ②如图4，设直线与交于点，则， ，，， ，，， ， ， 解得：． 例4．（1）如图1，，，．求度数； （2）如图2，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你写出、、间的数量关系，并说明理由． 【答案】：（1）1100；（2）;(3)或; 【解析】：解：（1）如图1，过点作． ． ，．． ． ． ． （2）如图2，过点作． ，即． ，，． ，即． ． ． （3）当在的左侧，如图3． ，． 又， ，即． 当在的右侧，如图4． ，． 又，． ． 变式4-1．问题情境：如图1，，，．求度数． 小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得　　． 问题迁移：如图3，，点在射线上运动，，． （1）当点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由． （2）如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系． 【答案】：1100；（1）；（2）)或; 【解析】：解：过作， ，， ，， ， 故答案为：； （1），理由如下： 如图3，过作交于， ，， ，， ； （2）当在延长线时，； 理由：如图4，过作交于， ，， ，， ； 当在之间时，． 理由：如图5，过作交于， ，， ，， ． 变式4-2．已知． （1）如图1，求的大小，并说明理由． （2）如图2，与的角平分线相交于点． ①若，，则　　． ②试探究与的数量关系，并说明你的理由． （3）如图3，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，求的度数． 【答案】：（1）3600；（2）①600;②；（3）540； 【解析】：解：（1）过作， ， ，，， ， ； （2）①由（1）知， ，，， 与的角平分线相交于点， ，， ，， ， 答案； ②由（1）知，， 与的角平分线相交于点， ，， ，， ， 即； （3）设，则， 由题意得， 解得， 答：的度数为． 例5．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线，为的平分线，和相交于点． 探究问题 （1）在图1中，，，之间的数量的关系为 　　． ，，之间的数量关系为：　　． 知识迁移 （2）如图2，若，，试猜想和间的数量关系，并加以证明． 【答案】：（1）；；（2）;； 【解析】：解：（1）如图所示，过点作， ，， ，， ，； 由上述证明可知，， 为的平分线，为的平分线， ，， ， ； 答案：；． （2），理由如下： 如图所示，过点作，过点作， 设，， ，， ，， ，， ，， ， ，即，， ， ，， ，， 为的平分线，为的平分线， ，，， ，，， ，， ． 变式5-1．已知射线射线，为一动点，平分，平分，且与相交于点． （1）在图1中，当点运动到线段上时，． ①直接写出的度数； ②求证：； （2）当点运动到图2的位置时，猜想与之间的关系，并加以说明； （3）当点运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出与之间的关系，并加以证明． 【答案】：（1）①900；②见解析；（2）;；（3）； 【解析】：解：（1）①， ，； ②证明：在图1中，过作，则． ，， ． ． （2）猜想：，理由如下： 、分别平分和， ，． 由（1）知，， ． （3）在图3中，（2）中的结论不成立，而是满足， 其证明过程是： 过作，则． ，， ． ，即． 、分别平分和， ，． 由（1）知， ． 变式5-2．【图形感知】：如图1，，点在直线上，点在直线上，点为、之间一点． （1）如图2，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图，过点作． ，（已知）， 　　（平行于同一条直线的两条直线平行）， ， 　　， （等式性质）， ． （2）如图3，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面结论的推理思路可得、、之间的关系是 　　； 【结论应用】直接利用上述结论进行证明； （3）如图4，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点．猜想并证明与的数量关系； 【答案】：（1）；两直线平行，同旁内角互补；（2）;；（3）； 【解析】：（1）证明：如图，过点作． ，（已知），（平行于同一条直线的两条直线平行）， ，（两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， ． 答案：，两直线平行，同旁内角互补． （2）解：． 过点作的平行线， ，， ， ，， ， ． 答案：． （3）解：． 由（2）中结论可知， ，． 直线，分别平分，， ，， ， 即． 又，． 例6．如图1，，点位于，之间，为钝角，，垂足为点． （1）若，则　　； （2）如图2，过点作，交的延长线于点，求证：； （3）如图3，在（2）问的条件下，平分交于点，若，求的度数． 【答案】：（1）1300；（2）见解析；（3）300； 【解析】：（1）解：过点作，则， ，，． ，， ． ，， ． 答案：； （2）证明：如图2，过点作，则． ，． ，． 又，．． ，， ． ． （3）解：设，由（2）可得， ，． 过点作，如图3， ，． ． ． 平分，，即，解得． 的度数为． 变式6-1．如图1，，． （1）①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：　　； （2）如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； （3）在（2）的条件下，若，点为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．已知，求的度数． 【答案】：（1）①1200；②；（2）不变，1350；（3）550或750； 【解析】：解：（1）①过点作， ，， ，， 又，， ； ②过点作， ，， ，， 又，， ， 答案：； （2）不发生变化，，理由为： 由②可得，， 、的角平分线交于点， ，， 过点作，则， ，， ； （3）由（2）得，，， ，， 过点作， ，， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 例7．问题情境1：如图1，，是、内部一点，在的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，探究，，之间的关系，小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得，，之间的关系是 　　； 问题情境2：如图3，，是，内部一点，在的左侧，我们称这种模型为“猪脚模型”，仿照问题1的思路可得，，之间的关系是 　　； 问题迁移：请合理利用上面的结论解决以下问题： 已知，与两个角的角平分线相交于点． （1）如图4，若，求的度数； （2）如图5中，，，探究与之间的数量关系； （3）如图5中，若，，设，用含有，的代数式直接写出　　． 【答案】：问题情境；问题情境 （1）1400；（2）；（3）； 【解析】：解：问题情境 如图2，，理由是： 过作， ，，， ，， ， 即， 答案：； 问题情境 如图3，，理由是： 过点作， ，， ，，， 即； 答案：； 问题迁移： （1）如图4，、分别是和的平分线， ，， 由问题情境1得：， ，，， ； （2）如图5，，理由是： 设，，则，，，， 由问题情境1得：， ，， ， ，， ； （3）如图5，设，， 则，，，， 由问题情境1得：， ，， ， ， ； 答案：． 变式7-1．如图，已知，与相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的平分线与的平分线相交于点．请你写出与之间的关系，并加以证 明； （3）如图3，当，，且时，请你直接写出的度数（用含，的式子表示）． 【答案】：（1）见解析；（2）；（3）； 【解析】：（1）证明：过点作，如图1， ，， ，， ， 即； （2）解：，证明如下： 过点作，如图2， ，， ，， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ， 由（1）得：， ， ， 整理得：； （3）过点作，如图3， ，， ，， ，， ， ， ． 专题练习 1．如图，，，，已知，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】：A； 【解析】：解：过作， ，， ，， ， ，， ， ，，， ． 选：． 2．如图，两直线，点、、、为、之间的四点，则的度数之和为　　 A． B． C． D． 【答案】：D; 【解析】：解：过作，过作，过作，过作， ，， ，，，，， ． 选：． 3．如图，，，，设，，，则，，的数量关系是　　 A． B． C． D． 【答案】：（1）A; 【解析】：解：过作，过作， ，，， ，， ， ，， ，，，， ，， 即，， ， ，即， 选：． 4．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】：C; 【解析】：解：如图，过点作， ，， ，， ． ，． ． ． 选：． 5．如图，已知，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】：C; 【解析】：解：如图，设与直线相交于， ，， 由三角形的外角性质得， ． 选：． 6．如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆始终和桌面平行，灯脚始终和桌面垂直， （1）当时，求； （2）连杆、可以绕着、和进行旋转，灯头始终在左侧，设，，的度数分别为，，，请画出示意图，并直接写出示意图中，，之间的数量关系． 【答案】：（1）1500；（2）或或或或或; 【解析】：解：（1）如图，过作，延长交于， ，， ，， ， 又是的外角，， ， （2）分四种情况： ①如图所示，过作，延长交于， ，， ，， ， 又是的外角，， ， ， ，即． 即． ②如图所示，过作，过作，则，， ，， ，即， ，即； ③如图所示，过作，过作， 易得，，， ，即， ， ； ④如图所示，过作，过作， 易得，，， ， 即， ． ⑤如图，同法可得． ⑥如图，同法可得． 7．课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： 如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点作，所以　　，　　． 又因为．所以． 解题反思： 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图2，已知，求的度数． 提示：过点作． 深化拓展： （3）已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间． 如图3，点在点的左侧，若，则的度数为　　． 【答案】：（1）；（2）；（3）65； 【解析】：解：（1）过点作，，， 又， ． （2）过点作， ，， ，， ． （3）如图，过点作， ，， ，， 平分，平分，，， ，， 答案：65； 8．课题学习：平行线问题中的“转化思想” 【阅读理解】 “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，所有的与平行线有关的角都存在于这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”． 在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题： 例题如图①，已知，若，，则有　84　． 分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截”基本图形后，才可以运用平行线的条件或性质．过点作，根据平行于第三条直线的两直线平行，可得，这样可将图形转化，进而可以求出． 【方法应用】 已知， （1）如图②，若，，求的度数； （2）如图②，直接写出、、之间的数量关系； （3）如图③，平分，平分，，则的度数为 　　． 【答案】：（1）840；（2）；（3）； 【解析】：解：（1）过点作，如图， ，， ，， ，，， ； 答案：84； （2）由（1）可得：； （3）由（2）可得：， 平分，平分， ，， ， 过点作，如图， ，， ，， ， 即， 解得． 答案：． 9．如图，，点为两直线之间的一点． （1）如图1，若，，则　　； （2）如图2，试说明，； （3）①如图3，若的平分线与的平分线相交于点，判断与的数量关系，并说明理由； ②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数． 【答案】：（1）550；（2）；（3）①；②． ； 【解析】：解： （1） 如图所示，过点作， ， ，， ， 故答案为． （2）如图所示，过点作， ，，， ， 即． （3）①，理由如下： 由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， 由（2）可知，， ． ②由①知， ，，， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平行线之铅笔头模型 解题技巧：找到铅笔头，形似，可以通过延长或者做平行线构造出此模型； 然后再利用结论快速解题。 结论： 题型讲解 例1．如图，，，，已知，则的度数为　　 A． B． C． D． 变式1-1．如图，，，平分，设，，，则、、的数量关系是　　 A． B． C． D． 变式1-2．如图所示，，若，下列各式：①；②；③；④，其中正确的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 例2．下列各图中的与平行． 图1中的， 图2中的， 图3中的， 图4中的　　， 变式2-1．【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用．李老师给出如下问题：直线，点为，之间一点，连接，，得到，试探究与，的数量关系． ①小红根据题意画出图形，如图1．经过探究得出结论：． ②小明根据题意画出图形，如图2．经过探究得出结论：． 请你选择一名同学的结论，写出证明过程． 【归纳总结】 （2）李老师和同学们发现，在解决上面题目的过程中，都运用了在拐点作平行线的方法，平行线起到了构造等角或补角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图3，直线，点，在，之间，，求的度数． 【学以致用】 （3）如图4，直线，与，交于点，，点在，之间，点在上，直线平分交于点，若，求证：平分． 变式2-2．【学习新知】 射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则． （1）【初步应用】 生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光” 射到平面镜上，被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线，回答下列问题： ①当（即时，求的度数； ②当时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学知识及新知说明理由． （提示：三角形的内角和等于 （2）【拓展探究】 如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线已知，若要使，请直接写出的度数 　　； 例3．如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则　42　；现将支撑杆调整至图3所示位置，调整过程中，大小不变，，再顺时针调整平板至，使得，则　　． 变式3-1．图1是一盏可折叠台灯，图2，图3是其平面示意图，固定底座于点，支架与分别可绕点和旋转，台灯灯罩且可绕点旋转调节光线角度，台灯最外侧光线，组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，，此时，则　　．现继续调节图2中的支架与灯罩，发现当最外侧光线与水平方向的夹角，且的角平分线与垂直时，光线最适合阅读（如图，则此时　　． 变式3-2．如图，已知，是直线，间的一点，于点，交于点，． （1）的度数为 　　． （2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，求的度数； ②当直线与的夹角为时，求的值． 例4．（1）如图1，，，．求度数； （2）如图2，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你写出、、间的数量关系，并说明理由． 变式4-1．问题情境：如图1，，，．求度数． 小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得　　． 问题迁移：如图3，，点在射线上运动，，． （1）当点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由． （2）如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系． 变式4-2．已知． （1）如图1，求的大小，并说明理由． （2）如图2，与的角平分线相交于点． ①若，，则　　． ②试探究与的数量关系，并说明你的理由． （3）如图3，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，求的度数． 例5．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线，为的平分线，和相交于点． 探究问题 （1）在图1中，，，之间的数量的关系为 　　． ，，之间的数量关系为：　　． 知识迁移 （2）如图2，若，，试猜想和间的数量关系，并加以证明． 变式5-1．已知射线射线，为一动点，平分，平分，且与相交于点． （1）在图1中，当点运动到线段上时，． ①直接写出的度数； ②求证：； （2）当点运动到图2的位置时，猜想与之间的关系，并加以说明； （3）当点运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出与之间的关系，并加以证明． 变式5-2．【图形感知】：如图1，，点在直线上，点在直线上，点为、之间一点． （1）如图2，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图，过点作． ，（已知）， 　　（平行于同一条直线的两条直线平行）， ， 　　， （等式性质）， ． （2）如图3，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面结论的推理思路可得、、之间的关系是 　　； 【结论应用】直接利用上述结论进行证明； （3）如图4，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点．猜想并证明与的数量关系； 例6．如图1，，点位于，之间，为钝角，，垂足为点． （1）若，则　　； （2）如图2，过点作，交的延长线于点，求证：； （3）如图3，在（2）问的条件下，平分交于点，若，求的度数． 变式6-1．如图1，，． （1）①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：　　； （2）如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； （3）在（2）的条件下，若，点为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．已知，求的度数． 例7．问题情境1：如图1，，是、内部一点，在的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，探究，，之间的关系，小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得，，之间的关系是 　　； 问题情境2：如图3，，是，内部一点，在的左侧，我们称这种模型为“猪脚模型”，仿照问题1的思路可得，，之间的关系是 　　； 问题迁移：请合理利用上面的结论解决以下问题： 已知，与两个角的角平分线相交于点． （1）如图4，若，求的度数； （2）如图5中，，，探究与之间的数量关系； （3）如图5中，若，，设，用含有，的代数式直接写出　　． 变式7-1．如图，已知，与相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的平分线与的平分线相交于点．请你写出与之间的关系，并加以证 明； （3）如图3，当，，且时，请你直接写出的度数（用含，的式子表示）． 专题练习 1．如图，，，，已知，则的度数为　　 A． B． C． D． 2．如图，两直线，点、、、为、之间的四点，则的度数之和为　　 A． B． C． D． 3．如图，，，，设，，，则，，的数量关系是　　 A． B． C． D． 4．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．如图，已知，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 6．如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆始终和桌面平行，灯脚始终和桌面垂直， （1）当时，求； （2）连杆、可以绕着、和进行旋转，灯头始终在左侧，设，，的度数分别为，，，请画出示意图，并直接写出示意图中，，之间的数量关系． 7．课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： 如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点作，所以　　，　　． 又因为．所以． 解题反思： 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图2，已知，求的度数． 提示：过点作． 深化拓展： （3）已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间． 如图3，点在点的左侧，若，则的度数为　　． 8．课题学习：平行线问题中的“转化思想” 【阅读理解】 “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，所有的与平行线有关的角都存在于这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”． 在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题： 例题如图①，已知，若，，则有　84　． 分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截”基本图形后，才可以运用平行线的条件或性质．过点作，根据平行于第三条直线的两直线平行，可得，这样可将图形转化，进而可以求出． 【方法应用】 已知， （1）如图②，若，，求的度数； （2）如图②，直接写出、、之间的数量关系； （3）如图③，平分，平分，，则的度数为 　　． 9．如图，，点为两直线之间的一点． （1）如图1，若，，则　　； （2）如图2，试说明，； （3）①如图3，若的平分线与的平分线相交于点，判断与的数量关系，并说明理由； ②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$