6.4.3余弦定理、正弦定理（第2课时）正弦定理（4知识点+7题型+随堂练习）-2024-2025学年寒假预习课程同步讲练（人教A版2019必修第二册）

6.4.3 余弦定理、正弦定理（第2课时） 正弦定理 明确学习目标 课标要求 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题. 重点难点 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题. 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 正弦定理的内容 1.正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即===2R(其中R为△ABC的外接圆半径). 2.正弦定理的变形 若R为△ABC外接圆的半径，则 (1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C. (2)sin A=，sin B=，sin C=. (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.  (4)=2R. 知识点2 已知两角及任意一边解三角形 (1)已知两角及任意一边解三角形的步骤：①根据三角形的内角和为180°，求出第三个角；②代入正弦定理求其他边长. (2)正弦定理实际上是三个等式：=，=，=，每个等式涉及四个元素，知道其中的三个就可以求另外一个. 知识点3 已知两边及其中一边的对角解三角形 已知两边及其中一边的对角，解三角形 (1)利用正弦定理解三角形的步骤 ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角. ②用三角形内角和定理求出第三个角. ③根据正弦定理求出第三边. 其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值. (2)利用余弦定理解三角形的步骤 先利用余弦定理求出第三边，再应用其推论求出另外两个角. 知识点4 三角形解的个数的判断 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)代数法：应用三角形中“大边对大角”的性质以及正弦函数的值域判断另一边对角的可能情况，进而判断三角形解的个数. (2)几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 提升学科能力 题型一 正弦定理理解与辨析 例1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．有关正弦定理的叙述 ①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于直角三角形; ③在某一个确定的三角形中，各边与其所对角的正弦的比是一定值 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，下列式于与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 题型二 已知两角一边解三角形 例2．在中， (1)已知，，，求，； (2)已知，，，求，． 跟踪训练 1．在中，内角所对的边分别为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2．在中，若，，，则 ； 3．在中，，，，求a，b和（提示：）. 题型三 已知两边一对角解三角形 例3．在中，已知，，，解这个三角形．（提示，） 跟踪训练 1．已知中，内角所对的边分别为，若，则（    ） A． B．或 C． D．或 2．在中，若，则 . 3．在中，解三角形： (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，． 题型四 判断三角形解的个数 例4．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 跟踪训练 1．在中，，，，则三角形（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不确定 2．在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中，能使恰有一个解的是（    ） A． B． C． D． 3．已知的内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，有两解的是（    ） A． B． C． D． 题型五 求外接圆半径 例5．的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．在中，，，则外接圆的半径为（    ） A．2 B． C． D．4 2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为 ． 题型六 三角形的面积公式 例6．在中，，，在从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求： (1)的值； (2)的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 跟踪训练 1．在中，内角、、的对边分别为、、.已知，. (1)求的大小； (2)若，求的面积. 2．在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且，． (1)若的面积为，求a、b的值； (2)若，求的面积． 3．在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 题型七 正弦定理的简单综合应用 例7．在锐角中，已知，点M是线段AB的中点，且． (1)求角C； (2)求边c的取值范围． 跟踪训练 1．记的内角的对边分别为，已知． (1)若，求； (2)求的最小值． 2．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若的面积为，求的值. 3．在中，角，， 的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，，角的平分线交于点，求线段的长． 质量检测评价 一、单选题 1．在中，，，，则角的值为（      ） A．或 B．或 C． D． 2．在中，，且（    ） A． B． C． D． 3．在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知的外接圆半径为5， ，，则此三角形（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不能确定 5．在中，已知，则的外接圆半径为（　　） A．4 B．4 C． D． 6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的外接圆的面积为（　　） A． B． C． D． 7．在中，，，满足此条件的有两解，则边长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．在中，内角，，的对边分别为，，，，，其面积为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在锐角中，三个内角分别是，，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列说法中正确的有（    ） A．在中， B．在中，若，则 C．在中，若，则；若，则 D．在中， 11．（多选）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则符合条件的有两个 三、填空题 12．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则 . 13．在中，，，，则 . 14．在中，已知，，，则 . 四、解答题 15．在中，已知，，．求C、a及A． 16．在中，已知，，．求b、c和面积S．（结果精确到0.01） 17．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. (1)求；(2)若的面积为，求. 18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知． (1)求B； (2)若，再从条件①、条件②两个条件中选择一个作为已知，求的面积． 条件①：边上的中线； 条件②：角B的平分线与交于点M，． （注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.3 余弦定理、正弦定理（第2课时） 正弦定理 明确学习目标 课标要求 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题. 重点难点 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题. 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 正弦定理的内容 1.正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即===2R(其中R为△ABC的外接圆半径). 2.正弦定理的变形 若R为△ABC外接圆的半径，则 (1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C. (2)sin A=，sin B=，sin C=. (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.  (4)=2R. 知识点2 已知两角及任意一边解三角形 (1)已知两角及任意一边解三角形的步骤：①根据三角形的内角和为180°，求出第三个角；②代入正弦定理求其他边长. (2)正弦定理实际上是三个等式：=，=，=，每个等式涉及四个元素，知道其中的三个就可以求另外一个. 知识点3 已知两边及其中一边的对角解三角形 已知两边及其中一边的对角，解三角形 (1)利用正弦定理解三角形的步骤 ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角. ②用三角形内角和定理求出第三个角. ③根据正弦定理求出第三边. 其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值. (2)利用余弦定理解三角形的步骤 先利用余弦定理求出第三边，再应用其推论求出另外两个角. 知识点4 三角形解的个数的判断 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)代数法：应用三角形中“大边对大角”的性质以及正弦函数的值域判断另一边对角的可能情况，进而判断三角形解的个数. (2)几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 提升学科能力 题型一 正弦定理理解与辨析 例1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得，对比选项可知只有B正确． 故选：B． 跟踪训练 1．有关正弦定理的叙述 ①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于直角三角形; ③在某一个确定的三角形中，各边与其所对角的正弦的比是一定值 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用正弦定理直接判断作答. 【详解】由正弦定理知，在一个三角形中，各边和它所对角正弦的比相等， 因此，对于任意，都有，其中分别是角所对的边， 所以正弦定理适用于任意三角形.①②错误，③正确. 故选：B. 2．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理即得. 【详解】在中，由正弦定理， ∴，，故ABD错误，C正确. 故选：C. 3．在中，下列式于与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用正弦定理可得结果. 【详解】由正弦定理可得，设， 则， 故满足条件为AC选项. 故选：AC. 题型二 已知两角一边解三角形 例2．在中， (1)已知，，，求，； (2)已知，，，求，． 【答案】(1)， (2) 【分析】由三角形内角和为，结合正弦定理可分别求解. 【详解】（1）解：由三角形内角和为，得， 又， 由正弦定理， 得，； （2）解：由三角形内角和为，得，故为等腰三角形，， 由正弦定理， 得. 跟踪训练 1．在中，内角所对的边分别为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】首先分析题意，利用三角形内角和定理求A，再用正弦定理求边长即可. 【详解】易知，由正弦定理得， 化简得. 故选：B 2．在中，若，，，则 ； 【答案】 【分析】首先求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】因为，又，所以，则，解得（负值已舍去）， 由正弦定理，即，解得. 故答案为： 3．在中，，，，求a，b和（提示：）. 【答案】 【分析】利用正弦定理，可求得；由三角形内角和为可求得；再由正弦定理即可求得. 【详解】根据正弦定理得； 又； 所以. 题型三 已知两边一对角解三角形 例3．在中，已知，，，解这个三角形．（提示，） 【答案】答案见解析 【分析】由正弦定理可得，可求，进而分类讨论可求，. 【详解】在中，由正弦定理可得，， ，或． 当时，，由正弦定理得； 当时，，由正弦定理得． ，，或，，． 跟踪训练 1．已知中，内角所对的边分别为，若，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出，从而求出. 【详解】由正弦定理，得，解得， 又，所以或. 故选：D 2．在中，若，则 . 【答案】或 【分析】根据正弦定理求得，进而得到. 【详解】解：由正弦定理得， ， 因为，， 所以或. 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查通过正弦定理解三角形，考查学生的计算能力和对公式的掌握程度，属于基础题. 3．在中，解三角形： (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，． 【答案】(1)，， (2)，，或，， (3)无解 (4)，，或，，． 【分析】（1）先用正弦定理求出角，再利用三角形内角和定理及勾股定理求解； （2）先用正弦定理求出，再根据情况分类讨论求解； （3）方法一：利用正弦定理求出与1比较即可判断无解，方法二：通过得出不满足三角形内角和定理也可以求解； （4）利用正弦定理求出，再根据情况分类讨论求解． 【详解】（1）解：由正弦定理， 得． ∵， ∴． ∴，． （2）解：由， 得． ∵， ∴， ∴B为锐角或钝角， ∴或． 当时，． 又， ∴． 当时，， ∴． ∴，，或，，． （3）方法一：由，得 ， ∴．A不存在， ∴此题无解． 方法二：∵，，，， ∴， ∴， 与矛盾， ∴本题无解． （4）解：由正弦定理得． ∵，， ∴或． 当时，，为直角三角形， 由勾股定理得； 当时，，为等腰三角形， ∴． 题型四 判断三角形解的个数 例4．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】由余弦定理可判定选项A，利用正弦定理和大边对大角可判断选项B，C，D. 【详解】对于A，已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A错误； 对于B，根据正弦定理得，， 又，，B有两解，故B符合题意； 对于C，由正弦定理：得：， C只有一解，故C不符合题意. 对于D，根据正弦定理得，， 又，，D只有一解，故D不符合题意. 故选：B 跟踪训练 1．在中，，，，则三角形（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不确定 【答案】B 【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况. 【详解】由正弦定理得：， 又，有，满足条件的有两个. 故选：B 2．在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中，能使恰有一个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由已知条件，利用正弦定理角三角形，根据结果判断解的个数. 【详解】由正弦定理，，得， 若，，无解，A选项错误； 若，，得，恰有一个解，B选项正确； 若，，，有两解，有两个解，C选项错误； 若，，，恰有一个解，D选项正确. 故选：BD 3．已知的内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】直接利用正弦定理求出相应角的正弦值，再根据大边对大角得到结论. 【详解】A.因为，由正弦定理得：， 所以， 因为， 所以 即A为锐角，只有一解； B. 因为，由正弦定理得：， 所以， 因为， 所以， 即A为锐角或钝角，有两解； C. 因为，由正弦定理得：， 所以， 因为， 所以， 即C为锐角，有一解； D. 因为，由正弦定理得：， 所以， 因为， 所以 即A为锐角或钝角，有两解. 故选：BD 【点睛】本题主要考查正弦定理判断三角形解的个数问题，还考查了运算求解，分析问题的能力，属于中档题. 题型五 求外接圆半径 例5．的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理可以计算出第三边，再用正弦定理求出外接圆半径. 【详解】不妨设，，的外接圆的半径为， 则，． ， ， , ， ． 故选：C. 跟踪训练 1．在中，，，则外接圆的半径为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据内角和求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】因为，所以，解得. 设外接圆的半径为，则，解得. 故选：D 2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】. , 设该三角形外接圆的半径为 由正弦定理得 故选：A. 3．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】运用余弦定理和正弦定理进行求解即可. 【详解】根据余弦定理由， 而，因此有， 因为，所以， 由正弦定理可知的外接圆半径为， 故答案为： 题型六 三角形的面积公式 例6．在中，，，在从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求： (1)的值； (2)的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)选择条件①；选择条件②；选择条件③不合题意. (2)选择条件①；选择条件②. 【分析】（1）选条件①时，直接利用余弦定理的应用求出a的值；选条件②时，利用正弦定理的应用求出a的值；选条件③时，由于出现与已知条件中三角形有一解相矛盾，故舍去. （2）选条件①时，利用勾股定理证明为直角三角形，可求出三角形的面积； 选条件②时，利用三角函数的关系式求出，应用三角形面积公式的求出结果． 【详解】（1）（1）选择条件①， ，由于，， 所以，解得； 选择条件②， ，由于，， 由正弦定理，. 选择条件③， ，由正弦定理，得， 此时或，三角形不唯一，不合题意． （2）选择条件①， ，由，则，满足， 故为直角三角形，所以； 选择条件②， ，在中，， 所以. 跟踪训练 1．在中，内角、、的对边分别为、、.已知，. (1)求的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据三角恒等变换化简可得； （2）利用余弦定理可得，再利用面积公式可求得面积. 【详解】（1）由， 可得， 又， 即， 所以， 又，所以； （2）在中，由余弦定理可知， 则，即， 解得或， 所以，或. 2．在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且，． (1)若的面积为，求a、b的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得出关于的方程，利用的面积求得，联立成方程组，计算即得； （2）由题设和正弦定理得出，与联立解得，即可求得. 【详解】（1）由余弦定理得，即． 又，所以． 由解得 （2）由和正弦定理，所以． 由（1）得． 由解得 所以． 3．在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出. (2)由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果. 【详解】（1）由正弦定理得，所以 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. （2）由的面积为，得，解得， 又,则，. 由余弦定理得，解得，， 所以的周长为. 题型七 正弦定理的简单综合应用 例7．在锐角中，已知，点M是线段AB的中点，且． (1)求角C； (2)求边c的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角以及两角差的余弦公式化简即可得出答案； （2）因为，由余弦定理代入化简可得，令，结合正弦定理和两角和的正弦公式求出的范围，即可求出边的取值范围. 【详解】（1）， ， ∵， ， ， 又∵为锐角三角形， ， . （2）， ， ， ， ， ， 为锐角三角形， 所以， ， 令，， 令，由对勾函数的性质知， 函数在上单调递减，在上单调递增，所以， ，即， ∴，则， , 即的取值范围为. 跟踪训练 1．记的内角的对边分别为，已知． (1)若，求； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换公式得，再利用同角三角函数关系弦化切，求解即可； （2）利用正弦定理、余弦定理化简得，再利用余弦定理和不等式可求最值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又，则， 由结合正弦定理得， 故， 则①， 因为，所以②， 得， 等式左侧分子和分母同时除以， 即，解得． （2）由（1）知，即， 化简得， 则， 即， 由正、余弦定理可知， 化简可得，则或， 当时，显然有，故舍去； 故，即． 此时由余弦定理得 ， 当且仅当时，等号成立．故的最小值为． 2．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式求得，可求角； （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出即可作答． 【详解】（1）中，，由正弦定理得， 又，则有， 由，，则，得， 由，则，得 （2），则，由，得， 由余弦定理， 得，得. 3．在中，角，， 的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，，角的平分线交于点，求线段的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由辅助角公式可得，结合三角函数的性质即可求解， （2）根据余弦定理可得，即可利用等面积法或者利用角平分线定理，结合向量的线性运算以及模长公式求解. 【详解】（1）因， 由正弦定理可得． 又因为，则， 所以，整理得，即． 因为，所以， 所以，所以． （2）在中，，且， 则有，解得（舍去负值）． 方法1：由面积， ， 即，则，线段的长是． 方法2：由内角平分线定理有， 则，， 所以，线段的长是． 质量检测评价 一、单选题 1．在中，，，，则角的值为（      ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】在中，，，， 由正弦定理，即，解得， 又，所以，即，所以. 故选：D 2．在中，，且（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】因为， 所以， 由正弦定理，即， 解得. 故选：D 3．在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，并确定角的范围即可求解. 【详解】在中，，由正弦定理得， 则，而，即， 所以. 故选：B 4．已知的外接圆半径为5， ，，则此三角形（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不能确定 【答案】B 【分析】利用正弦定理即可判断此三角形解的情况． 【详解】根据正弦定理，得， 因为的外接圆半径为5，，，所以， 所以， 因为，所以为锐角， 又因为， 所以， 则或，故此三角形有两解． 故选：B. 5．在中，已知，则的外接圆半径为（　　） A．4 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的余弦定理，即可求解． 【详解】因为在中，已知， 设的外接圆半径为，由正弦定理可得， 解得的外接圆半径为R． 故选：C． 6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的外接圆的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和为得到，利用正弦定理得到外接圆半径，得到面积. 【详解】在中，，，所以. 设的外接圆的半径为R，则由正弦定理，可得， 解得R＝1，故的外接圆的面积. 故选：B 7．在中，，，满足此条件的有两解，则边长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由可得解. 【详解】作，在的一条边上取， 过点作垂直于的另一边，垂足为. 则,以点为圆心，2为半径画圆弧， 因为，即，所以圆弧与的另一边有两个交点 所以均满足条件，所以满足条件的三角形有两个. 故选：B. 8．在中，内角，，的对边分别为，，，，，其面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形面积公式得到，由余弦定理得到，由正弦定理得. 【详解】因为，，其面积为，所以，所以， 由余弦定理知，，所以， 由正弦定理可得，． 故选：C. 二、多选题 9．在锐角中，三个内角分别是，，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，根据正弦定理和三角形的性质分析判断，对于B，利用余弦函数的单调性分析判断，对于CD，利用正弦函数的单调性结合诱导公式分析判断. 【详解】对于A，因为，所以由大角对大边，得，所以由正弦定理得，所以A正确， 对于B，因为函数在区间上单调递减，，， 所以，所以B正确， 对于C，因为为锐角三角形，所以，所以， 因为函数在区间上单调递增，且， 所以，即，所以C正确， 对于D，因为为锐角三角形，所以，所以， 因为函数在区间上单调递增，且， 所以，即，所以D错误， 故选：ABC 10．下列说法中正确的有（    ） A．在中， B．在中，若，则 C．在中，若，则；若，则 D．在中， 【答案】ACD 【分析】根据正弦定理，逐项判断，即可得出结果. 【详解】设外接圆的半径为R，由正弦定理得． 对于A，，正确； 对于B，由二倍角公式得， 则，即， 整理得，即， 则或，所以或，错误； 对于C，（大边对大角），正确； 对于D，，正确． 故选：ACD. 11．（多选）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则符合条件的有两个 【答案】AD 【分析】根据正、余弦定理在解三角形中的应用，通过边角转化等一一判断即可. 【详解】对于A，当时，，根据正弦定理得， 整理得，故A正确； 对于B，因为，由正弦定理得，所以， 因为，所以，即C为锐角，但因为A，B中可能有钝角，所以不一定是锐角三角形，故B错误； 对于C，， 由正弦定理得，即， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由正弦定理得，即， 因为，所以，A为锐角，所以存在满足条件的有两个，故D正确． 故选：AD． 三、填空题 12．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则 . 【答案】 【分析】根据正弦定理可得结果. 【详解】由正弦定理，得，所以， 故答案为：. 13．在中，，，，则 . 【答案】 【分析】由正弦定理、三角形内角和求得，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】由正弦定理有，即，解得， 而，所以，所以， 所以. 故答案为：. 14．在中，已知，，，则 . 【答案】/ 【分析】由已知，利用三角形的面积公式，即可求得. 【详解】因为在中，已知，，， 所以， 解得. 故答案为: . 四、解答题 15．在中，已知，，．求C、a及A． 【答案】，， 【分析】首先由正弦定理求得 , 得到角 的大小, 然后由三角形内角和定理求得 , 再由正弦定理求得 . 【详解】在中，， 由正弦定理可得:，即，， ，， . 则由，得， . 16．在中，已知，，．求b、c和面积S．（结果精确到0.01） 【答案】答案见解析 【分析】根据正弦定理求出边长，再应用面积公式求出面积即可. 【详解】在中，,所以; ,所以; 17．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. (1)求； (2)若的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理将边化角，再利用三角恒等变换化简，即可解决； （2）利用三角形的面积公式，得，再利用余弦定理得，最后结合正弦定理即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 化简得， 因为，即，所以， 得，因为， 所以，又， 所以. （2）由（1）知，又的面积为， 所以，即， 由余弦定理可得， 所以，，，即 由正弦定理得，， 所以， 18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知． (1)求B； (2)若，再从条件①、条件②两个条件中选择一个作为已知，求的面积． 条件①：边上的中线； 条件②：角B的平分线与交于点M，． （注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简，即可求解； （2）若选择条件①，利用，可解得的值，进而根据三角形的面积公式计算即可；若选择条件②，利用可解得的值，进而求得三角形的面积. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 因为，，所以， 所以，即， 因为，，所以，即， 所以，即； （2）若选择条件①，因为边上的中线，则，因为 所以，则，化简得，解得， 所以的面积为. 若选择条件②，因为角B的平分线与交于点M，， 所以的面积， 的面积， 的面积， 由得，解得，所以， 所以的面积为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$