6.4.3余弦定理、正弦定理（第1课时）余弦定理（4知识点+6题型+随堂练习）-2024-2025学年寒假预习课程同步讲练（人教A版2019必修第二册）

6.4.3 余弦定理、正弦定理（第1课时） 余弦定理 明确学习目标 课标要求 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 3.能够利用余弦定理判断三角形的形状 重点难点 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 3.能够利用余弦定理判断三角形的形状 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 余弦定理的内容 余弦 定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2=b2+c2-2bccos A， b2=c2+a2-2cacos B， c2=a2+b2-2abcos C 推论 cos A=， cos B=， cos C= 2.一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 知识点2 已知两边及一角解三角形 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 知识点3 已知三边解三角形 (1)已知三角形的三边解三角形的方法 ①利用余弦定理的推论求出三个角的余弦值，进而求出三个角.②先利用余弦定理的推论求出两个角的余弦值，进而确定两个角，再结合内角和定理，确定第三个角. (2)已知三边确定最大或最小的内角的理论依据是“大边对大角”，这一点在比较三角形内角的大小和判断三角形形状时比较有用. 知识点4 利用余弦定理判断三角形的形状 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，常有两种方式：①先化边为角；②先化角为边. (2)①判断△ABC为锐角三角形时，有一个角为锐角，不能说明该三角形为锐角三角形，需要说明三个角均为锐角或最大角为锐角；②判断△ABC为钝角(或直角)三角形时，只要有一个角是钝角(或直角)即可. (3)统一成边或角的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解. (4)余弦定理的重要变形：a2+b2-c2=2abcos C；b2+c2-a2=2bccos A；a2+c2-b2=2accos B. 提升学科能力 题型一 余弦定理的理解与辨析 例1．设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据余弦定理可知，. 故选：B 跟踪训练 1．下列说法中错误的是（    ） A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形 B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形 C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题 D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例 【答案】A 【解析】根据正弦定理和余弦定理对各个命题进行判断． 【详解】在三角形中，已知两边及其一边的对角，可用余弦定理列出第三边的方程，解方程得第三边，A错； 正弦定理和余弦定理都反映了任意三角形中边角的关系，它们适用于任意三角形，B正确； 余弦定理可以直接解决已知三边求角，已知两边及其夹角求第三边的问题，C正确； 当夹角为90°时，余弦定理就变成了勾股定理．D正确． 故选：A． 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，对两个定理的正确理解是解题关键． 2．某同学要用三条长度分别为3,5,7的线段画出一个三角形，则他将． A．画不出任何满足要求的三角形 B．画出一个锐角三角形 C．画出一个直角三角形 D．画出一个钝角三角形 【答案】D 【分析】运用余弦定理求出较长边所对角的余弦值，从而判断三角形形状 【详解】令长度较长的边对应的角为 则 画出一个钝角三角形 故选 【点睛】本题主要考查了运用余弦定理判断三角形形状，只需要计算出余弦值即可进行判断，较为基础． 3．在中，角、、的对边分别是、、，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理知：A，B，C正确. 对选项D，由余弦定理得，故D错误. 故选：ABC 题型二 已知三边解三角形 例2．在△ABC中，若，则最大角的余弦值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】大边对大角，由余弦定理即可求解. 【详解】∵，∴所对的角C为最大角． 由余弦定理得 故选：B 跟踪训练 1．已知的三边，，，则角A的大小是 ． 【答案】 【分析】由余弦定理可得角A余弦，即可得答案. 【详解】因，，，由余弦定理， 则.     ∵，∴． 故答案为：． 2．在中，已知，，，求，，． 【答案】，， 【分析】利用余弦定理以及三角形内角和即可求解. 【详解】由余弦定理得． ，， ， ，． ， ，，． 3．记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求的值； (2)若点在边上，且，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据余弦定理求解； （2）根据余弦定理先求，再求，或者应用向量关系平方计算即可. 【详解】（1）如图，在中，因为，，， 所以． （2）方法一   因为点在边上，且， 所以，， 又因为， 所以在中，由余弦定理得，可得． 方法二   ， ， ， ，即． 题型三 已知两边一角解三角形 例3．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，．求的值和的值． 【答案】，． 【分析】由余弦定理计算先求出边长,再应用求出. 【详解】解   在中，，，， 由余弦定理得， 解得． 则． 跟踪训练 1．一个三角形的两边长分别为4和6，它们夹角的余弦值是，则该三角形的第三条边长为（    ） A．12 B． C．6 D．4 【答案】B 【分析】直接利用余弦定理建立方程求出第三边的长即可． 【详解】解：由余弦定理第三条边的平方， 可得三角形的第三条边长为：． 故选：B． 2．在中，，，，则边长 . 【答案】 【分析】先由已知条件求出角，然后利用余弦定理可求出. 【详解】由得. 由余弦定理得，， 解得. 故答案为： 3．在中，已知，解此三角形. 【答案】 【分析】根据余弦定理求出，再由余弦定理求出，即可得. 【详解】因为 ， 所以， 由余弦定理可得， 因为，所以，从而. 题型四 判断三角形形状 例4．在中，角所对的边分别为．若，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用余弦定理角化边，然后因式分解可得. 【详解】由余弦定理可得：， 即， 整理得：， 得或，所以为等腰或直角三角形. 故选：D 跟踪训练 1．在中，若，则一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】由余弦定理化简计算即可. 【详解】由及余弦定理得：，即. 故选：D 2．在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据余弦定理把题中条件化为边的关系式，即可判定. 【详解】根据余弦定理知， ， 所以，则, 故三角形为直角三角形， 故选： 3．在中，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用余弦定理将化简为，从而可求解. 【详解】由，得， 由余弦定理得，化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确. 故选：D. 题型五 利用余弦定理求参数 例5．在锐角三角形ABC中，，，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由锐角三角形及余弦定理列不等式组，结合三角形三边关系即可结果. 【详解】由题意，即，则， 同理，即，则，又， 综上，， 故选：C 跟踪训练 1．已知的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则的取值范围是 A．05 B．15 C．13 D．14 【答案】C 【详解】试题分析：新三角形的三边分别为，其中边长为的边对的角最大记为角，所以角为钝角．所以，即，整理可得，解得．因为均为三角形的三边长，且最短边长为，最长边长为所以，综上可得．故C正确． 考点：1余弦定理；2三角形中边与角的关系及三边间的关系． 2．若钝角三角形的三边长为、、，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知此三角形的最大边为，设此边所对应的角为，则为钝角，，结合余弦定理可得，再结合三角形的三边关系即可得答案. 【详解】解：因为， 所以此三角形的最大边为， 设此边所对应的角为，则为钝角， 由余弦定理可得， 即有， 整理得，解得， 又因为， 即，所以的取值范围为：. 故答案为： 3．不等边三角形中，角的对边分别为，且最大边满足，则角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知边长条件和最大边,求角的范围即可 【详解】因为,所以,所以 又因为为最大边且三角形是不等边三角形,所以,所以,即得 所以 故答案为: . 题型六 利用余弦定理求周长（边） 例6．在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量，且满足. (1)求A的大小； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得，再结合三角形角的范围求解即可； （2）根据已知利用余弦定理求得，利用完全平方和求得，即可得解. 【详解】（1）因为向量，且满足， 所以，所以， 又，所以； （2）在中，由余弦定理及，得， ，所以，所以，所以， 所以的周长为. 跟踪训练 1．已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)若，求； (2)若，当最大时，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可求解； （2）根据余弦定理结合不等式可得，即可得，进而可求解. 【详解】（1）由可得， 故， 又，, 由于，所以； （2）， 当且仅当时等号成立， 由于，，故最大为，此时，， 故周长为. 2．已知 的三内角 A , B , C 所对的边分别为， 且 (1)求角C﹔ (2)若，,求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】(1)角化边化简可得即可求解;(2)利用余弦定理结合已知条件即可求解. 【详解】（1）由得, 因为, 所以,因为,所以, 因为,所以. （2）由余弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以，解得. 3．在中，角，，所对的边分别为，，，且 （1）求角； （2）已知，求周长的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)利用三角形射影定理求出即可计算得解； (2)利用余弦定理结合试子变形求出边a的取值范围即可得解. 【详解】(1)在中，，由射影定理得：， 于是得，而 ，则， 所以； (2)由余弦定理得：， 而，则，即，当且仅当时取等号，又，于是得， 所以的周长的取值范围为. 质量检测评价 一、单选题 1．在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据余弦定理直接求解即可. 【详解】由余弦定理得． 故选：C． 2．在中，，则的最大角与最小角的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，则，由余弦定理求角，再结合三角形内角和求，即得的最大角与最小角之和. 【详解】结合，不妨设，，，根据大边对大角可知：， 由余弦定理可得：， 又因为，所以，所以， 所以的最大角与最小角之和为. 故选：C 3．在锐角中，，，分别为角，，的对边，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 是锐角三角形，根据余弦定理可得三边关系，从而得解. 【详解】 ， 因为是锐角三角形，根据余弦定理可得， . 故选：D 4．在中，若，则的形状一定是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用余弦定理可得边的关系，故可得正确的选项. 【详解】因为，故， 整理得到， 故，故或， 即或，故的形状为等腰或直角三角形， 故选：D. 5．在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】依题意，设，则，又， 由余弦定理，得， 即，解得（负值舍去），即. 故选：D. 6．在中，已知角、、的对边分别为、、，且满足，则角为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】因为，即， 由余弦定理， 又，所以. 故选：C 二、多选题 7．的内角所对的边分别是，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是直角三角形 【答案】AD 【分析】由余弦定理易得A项正确；通过举反例，可迅速排除B,C 项，对于D，则先用降幂公式，再用余弦定理，化简后即可判定直角三角形. 【详解】对于A，由余弦定理，，因，故角为钝角， 则是钝角三角形，故A正确； 对于B，若，,显然满足，但此时是直角三角形，故B错误； 对于C，若，显然满足，但此时是直角三角形，故C错误； 对于D，由可得，，即得，， 由余弦定理，，整理得，，故是直角三角形，即D正确. 故选：AD. 8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【分析】根据三角形的几何性质，结合三角函数的诱导公式以及余弦定理，可得答案. 【详解】对于A，在中，，则，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，则A是锐角，显然B，C是否都是锐角无法确定，C错误； 对于D，由，得，则是钝角，是钝角三角形，D正确. 故选：ABD. 9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（    ）． A． B． C．bc的最大值为 D．为钝角三角形 【答案】ABD 【分析】根据余弦定理、商关系、二倍角公式和基本不等式计算分别判断各个选项； 【详解】对于A，因为，结合余弦定理推论可得， ，化简得，解得（舍）或，A正确； 对于B，因为， 所以，又， 所以，B正确； 对于C，解得， 根据余弦定理可得，代入得 利用基本不等式， 当且仅当时取等号； 所以，C错误； 对于D，是钝角，D正确； 故选：ABD. 三、填空题 10．在中，，，，则 ． 【答案】1 【分析】根据题意利用余弦定理运算求解即可. 【详解】根据余弦定理得， 即， 整理可得，解得或（舍去）． 故答案为：1． 11．在中，已知，，，则 . 【答案】/ 【分析】已知三边，利用余弦定理可得. 【详解】已知，，， 由余弦定理得，， 解得. 故答案为：. 12．已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，推得，再结合余弦定理，即可求解． 【详解】在中，，， 则，即， ，，， 则角为钝角或角为钝角， 若角是钝角， 则，即， 故， 若角是钝角， 则，即，解得． 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 13．在中，若，求A、B、C． 【答案】，， 【分析】设，则，，进而利用余弦定理求解即可. 【详解】由于，可设，则，． 由余弦定理的推论，得， 又，所以． 同理可求得，，所以，． 故，，. 14．在中，已知，，，求c和． 【答案】c＝2， 【分析】首先代入余弦定理求，再根据三边，求，即可求解. 【详解】由余弦定理得＝4， 所以． 再由余弦定理可得． 因为是三角形的内角，所以． 15．已知为的三个内角，其所对的边分别为，且. (1)求A的大小； (2)若，求c的值． 【答案】(1)120° (2) 【分析】（1）由题意，根据二倍角的余弦定理可得，即可求解； （2）利用余弦定理建立关于c的方程，解之即可求解. 【详解】（1）∵，， ∴，∴， 由，得. （2）由余弦定理，知， 又， ∴， 化简，得，解得或（舍去）． 16．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且. (1)求角B的度数； (2)若，，且，求a、c的值. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）运用三角恒等变换和解一元二次方程解题即可； （2）运用余弦定理，结合已知条件联立方程即可. 【详解】（1）在中，由， 得. 又由， 得， 即，，. （2）由余弦定理，得， 又，， ∴，∴. ∵，∴解得，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.3 余弦定理、正弦定理（第1课时） 余弦定理 明确学习目标 课标要求 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 3.能够利用余弦定理判断三角形的形状 重点难点 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 3.能够利用余弦定理判断三角形的形状 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 余弦定理的内容 余弦 定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2=b2+c2-2bccos A， b2=c2+a2-2cacos B， c2=a2+b2-2abcos C 推论 cos A=， cos B=， cos C= 2.一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 知识点2 已知两边及一角解三角形 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 知识点3 已知三边解三角形 (1)已知三角形的三边解三角形的方法 ①利用余弦定理的推论求出三个角的余弦值，进而求出三个角.②先利用余弦定理的推论求出两个角的余弦值，进而确定两个角，再结合内角和定理，确定第三个角. (2)已知三边确定最大或最小的内角的理论依据是“大边对大角”，这一点在比较三角形内角的大小和判断三角形形状时比较有用. 知识点4 利用余弦定理判断三角形的形状 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，常有两种方式：①先化边为角；②先化角为边. (2)①判断△ABC为锐角三角形时，有一个角为锐角，不能说明该三角形为锐角三角形，需要说明三个角均为锐角或最大角为锐角；②判断△ABC为钝角(或直角)三角形时，只要有一个角是钝角(或直角)即可. (3)统一成边或角的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解. (4)余弦定理的重要变形：a2+b2-c2=2abcos C；b2+c2-a2=2bccos A；a2+c2-b2=2accos B. 提升学科能力 题型一 余弦定理的理解与辨析 例1·．设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．下列说法中错误的是（    ） A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形 B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形 C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题 D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例 2．某同学要用三条长度分别为3,5,7的线段画出一个三角形，则他将． A．画不出任何满足要求的三角形 B．画出一个锐角三角形 C．画出一个直角三角形 D．画出一个钝角三角形 3．在中，角、、的对边分别是、、，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二 已知三边解三角形 例2．在△ABC中，若，则最大角的余弦值是（   ） A． B． C．0 D． 跟踪训练 1．已知的三边，，，则角A的大小是 ． 2．在中，已知，，，求，，． 3．记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求的值； (2)若点在边上，且，求． 题型三 已知两边一角解三角形 例3．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，．求的值和的值． 跟踪训练 1．一个三角形的两边长分别为4和6，它们夹角的余弦值是，则该三角形的第三条边长为（    ） A．12 B． C．6 D．4 2．在中，，，，则边长 . 3．在中，已知，解此三角形. 题型四 判断三角形形状 例4．在中，角所对的边分别为．若，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 跟踪训练 1．在中，若，则一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形 2．在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 3．在中，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 题型五 利用余弦定理求参数 例5．在锐角三角形ABC中，，，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则的取值范围是 A．05 B．15 C．13 D．14 2．若钝角三角形的三边长为、、，则a的取值范围是 . 3．不等边三角形中，角的对边分别为，且最大边满足，则角的取值范围是 ． 题型六 利用余弦定理求周长（边） 例6．在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量，且满足.(1)求A的大小；(2)若，，求的周长. 跟踪训练 1．已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)若，求； (2)若，当最大时，求的周长. 2．已知 的三内角 A , B , C 所对的边分别为， 且 (1)求角C﹔ (2)若，,求的值； 3．在中，角，，所对的边分别为，，，且 （1）求角；（2）已知，求周长的取值范围. 质量检测评价 一、单选题 1．在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．1 2．在中，，则的最大角与最小角的和是（    ） A． B． C． D． 3．在锐角中，，，分别为角，，的对边，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．在中，若，则的形状一定是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 5．在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D．3 6．在中，已知角、、的对边分别为、、，且满足，则角为（    ） A． B． C． D．或 二、多选题 7．的内角所对的边分别是，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是直角三角形 8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（    ）． A． B． C．bc的最大值为 D．为钝角三角形 三、填空题 10．在中，，，，则 ． 11．在中，已知，，，则 . 12．已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是 ． 四、解答题 13．在中，若，求A、B、C． 14．在中，已知，，，求c和． 15．已知为的三个内角，其所对的边分别为，且. (1)求A的大小；(2)若，求c的值． 16．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且. (1)求角B的度数； (2)若，，且，求a、c的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$