6.4.1平面几何中的向量方法（3知识点+5题型+随堂练习）-2024-2025学年寒假预习课程同步讲练（人教A版2019必修第二册）

6.4.1 平面几何中的向量方法 明确学习目标 课标要求 1.能用向量方法解决简单的几何问题. 2.体会向量在解决数学问题中的作用. 重点难点 能用向量方法解决简单的几何问题. 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 利用向量证明平面几何问题 (1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 上述过程，可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”. (2)向量运算有两种思路 ①基底法：先选取基底，再用基底表示相关向量，进行运算. ②坐标法：先建立平面直角坐标系，再写出各点和相关向量的坐标，从而进行运算. 知识点2 利用平面向量求几何中的长度问题 用向量法解决长度问题时，如果题目中能找到两条已知夹角和长度的线段，则可以选为基底，从而应用公式|a|2=a2求解；如果题目中能求出a的坐标(x，y)，则利用|a|=求解. 知识点3 利用平面向量求几何中的角度问题 (1)用向量法求角度(或余弦值)时，首先要将所求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，再转化为实际问题中的角即可. (2)要注意两向量的夹角和要求角的关系. 提升学科能力 题型一 向量法证明线段垂直 例1．如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 跟踪训练 1．用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】先得到，，从而利用数量积公式求出，得到垂直关系. 【详解】由题意得，，      故， 因为，所以， 故. 2．如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可证； （2）利用坐标表示出，然后由三角函数性质可得. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系. （方法一）由题意可知，设，则， ，，，得，， 所以，故，即. （方法二）由题意可知，，，设， 则，得，得，， 所以，故，即. （2）由题意得，则，设，则，， 由（1）得，， 所以， 由，得，当，即时，. 故的最大值为. 3．如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可； （2）用基底表示两个向量，利用数量积的运算证明即可. 【详解】（1）， ； （2），证明如下： 由（1）知，， 所以， 设，则， 所以，所以，得证. 题型二 向量法求几何夹角问题 例2．在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】使用向量法建立，得到从而得到结果. 【详解】如图，所以， 则，即， 由，所以， 所以，，可得或（舍），故， 所以. 故选：C. 跟踪训练 1．已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形的几何性质，即可得所求. 【详解】 因为，所以，易知， 结合图形，，，则，故. 所以在直角三角形中可得，故. 故选：. 2．已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 【答案】/ 【分析】根据正三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解点坐标，再根据向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. 3．正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 题型三 向量法求线段长度 例3．如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，依题意可得，根据数量积的运算律求出，从而得到. 【详解】方法一：设，∵，∴， 又是边的中点，所以， ∴，∴， ∴， ∵，，所以，且， ∴，，， 代入得，解得， ∴，∴. 方法二：因为，，所以为等腰直角三角形， 又因为，为中线，所以，， 所以. 因为，所以， 所以，即， 所以. 过点作交于点，所以， 因为，设，则， 所以，解得，∴.    故选：C 跟踪训练 1．在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【详解】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 2．已知向量，线段的中点为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用平面向量基底表示，找到的关系求解即可. 【详解】设， 则， 由， 得，又已知，且， 则有， 故. 故选：A. 3．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过向量线性运算求得，再将用、表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长，即可求解的长； （2）把视作与夹角，运用平面向量的夹角公式求解.计算出的值，结合平面向量的数量积可计算出的值，最后利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 【详解】（1）由是上的中线，所以， 设，则， 又三点共线，所以，解得，所以， 因为是上的中线，所以， 所以， 所以，故. （2）为与夹角，且， 因为是BC上的中线，所以， 所以 ，所以， 又 ， 所以， 所以. 题型四 向量法判断图形形状 例4．已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】由，可得，即可判断的形状. 【详解】因为，即，即， 所以，所以是等腰三角形. 故选：A. 跟踪训练 1．在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据向量的减法法则可得，化简可得，即可得出结果. 【详解】解：由题意可知：， 故，则， 故，即△ABC为直角三角形. 故选：D 2．已知非零向量与满足且，则为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】根据数量积的定义可得，进而结合得，即可判断. 【详解】在中，设内角的对边长分别为，则由已知有，所以，从而. 而，故. 所以是有一个内角是的等腰三角形，从而一定是等边三角形. 故选：D 3．已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 题型五 向量法求几何最值问题 例5．铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】取的中点，连接，由向量的加法和数量积结合图形运算即可； 【详解】 取的中点，连接（图略），则 ． 因为正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合， 所以，所以． 故选：B. 跟踪训练 1．已知平面向量，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】由题设分别在以为原点，半径为的圆上运动，且，数形结合及向量加法的几何意义确定的范围，即可得答案. 【详解】由题设，分别在以为原点，半径为的圆上运动，且， 所以，若是的中点，则，而，如下图示， 由图知，，而，即. 所以的最小值是. 故选：D. 2．已知点M是边长为2的正方形内部（包括边界）的一动点，点P是边的中点，则的最大值是 ；的最小值是 . 【答案】 【分析】第一空利用向量形式的三角不等式即可求解；第二空将转化为，再利用极化恒等式即可求解. 【详解】解：，当点与点重合时等号成立； 如图所示，取中点，连接，取的中点为，连接， 则． 又因为点为正方形内部（包括边界）一动点， 所以， 当点与点重合时，取得最小值． 故答案为，． 3．在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，求出各边长，建立平面直角坐标系，得到，求出，设，，故，求出，故，从而得到最小值. 【详解】过点作⊥于点， 因为等腰梯形中，， 所以，由勾股定理得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 是腰的中点，故， 所以， 设，，， 则，故，， 故， ， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：， 质量检测评价 一、单选题 1．已知向量，，则（     ） A．30° B．150° C．60° D．120° 【答案】B 【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角. 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：B. 2．已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【详解】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B 3．在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【详解】解：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 4．已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由三角形重心、外心性质得到是三角形的重心、外心，从而得到三角形为等边三角形. 【详解】因为，所以是三角形的重心，又因为，所以是三角形的外心， 所以三角形是等边三角形. 故选：D. 5．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ） A． B． C．13 D．26 【答案】C 【分析】根据判断AC与BD关系，根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半即可求解. 【详解】∵，∴AC⊥BD， 所以四边形ABCD面积为：. 故选：C. 6．在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的数量积与模的关系计算即可. 【详解】如图所示，由题意可得： ， 即，解之得. 故选：A 二、多选题 7．在中，已知，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，下列结论正确的是（    ） A． B． C．的余弦值为 D． 【答案】BD 【分析】画出图形，由同时平方可求；同理由同时平方可求；由，代换成基底向量可求的余弦值；结合重心性质全部代换成可验证选项D. 【详解】如图所示：由题可知，分别为中点，则， 同时平方得 ， 则，故A错误； 又， 同时平方得， 则，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 8．如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】建立直角坐标系，求出各点的坐标，利用向量逐项判断 【详解】如图建立直角坐标系， 则, 所以，故A错， ，故B对； ，故C对； ，故D对； 故选：BCD 三、填空题 9．已知中，，边上的高与边上的中线相等，则 . 【答案】 【分析】通过已知条件得到，通过平方关系对进行转化解得即可得到答案. 【详解】如下图所示，设边上的高为，边上的中线为，    在中，，所以， 由，平方得， 代入得，， 化简得，，解得， 又因为，所以，所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过平方将转化为数量关系，结合图形关系得到代入求解即可. 10．在△ABC中，，，，， . 【答案】/ 【分析】用表示出，两边同时平方，根据向量数量积即可求得答案. 【详解】由题意可得：， 故. 故答案为： 11．已知是边长为的正方形边上的三点，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 2 / 【分析】建立直解坐标系，设，利用不等式，考虑极限情况求范围. 【详解】建立如图所示的平面直解坐标系，易知， 不妨设，其中， 则， 当且仅当或时，等号成立， 又， 当且仅当，即或时，等号成立. 故答案为：，. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算，将几何问题代数化，再利用基本不等式，考虑极限情况即可求解. 四、解答题 12．如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 13．如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 14．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.1 平面几何中的向量方法 明确学习目标 课标要求 1.能用向量方法解决简单的几何问题. 2.体会向量在解决数学问题中的作用. 重点难点 能用向量方法解决简单的几何问题. 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 利用向量证明平面几何问题 (1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 上述过程，可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”. (2)向量运算有两种思路 ①基底法：先选取基底，再用基底表示相关向量，进行运算. ②坐标法：先建立平面直角坐标系，再写出各点和相关向量的坐标，从而进行运算. 知识点2 利用平面向量求几何中的长度问题 用向量法解决长度问题时，如果题目中能找到两条已知夹角和长度的线段，则可以选为基底，从而应用公式|a|2=a2求解；如果题目中能求出a的坐标(x，y)，则利用|a|=求解. 知识点3 利用平面向量求几何中的角度问题 (1)用向量法求角度(或余弦值)时，首先要将所求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，再转化为实际问题中的角即可. (2)要注意两向量的夹角和要求角的关系. 提升学科能力 题型一 向量法证明线段垂直 例1．如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    跟踪训练 1．用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 2．如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 3．如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 题型二 向量法求几何夹角问题 例2．在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 跟踪训练 1．已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 3．正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 题型三 向量法求线段长度 例3．如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（    ）    A． B． C． D． 跟踪训练 1．在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 2．已知向量，线段的中点为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 题型四 向量法判断图形形状 例4．已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 跟踪训练 1．在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 2．已知非零向量与满足且，则为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 3．已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 题型五 向量法求几何最值问题 例5．铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 跟踪训练 1．已知平面向量，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 2．已知点M是边长为2的正方形内部（包括边界）的一动点，点P是边的中点，则的最大值是 ；的最小值是 . 3．在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 质量检测评价 一、单选题 1．已知向量，，则（    ） A．30° B．150° C．60° D．120° 2．已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 3．在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 5．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ） A． B． C．13 D．26 6．在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在中，已知，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，下列结论正确的是（    ） A． B． C．的余弦值为 D． 8．如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知中，，边上的高与边上的中线相等，则 . 10．在△ABC中，，，，， . 11．已知是边长为的正方形边上的三点，则的最大值为 ，最小值为 . 四、解答题 12．如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 13．如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 14．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$