1.1 正数和负数 讲义 2024-2025学年人教版数学七年级上册

              正数和负数 1.1     目录 探究1 正数、负数的定义 2 探究2 用正数、负数表示具有相反意义的量 4 探究3 “0”的含义 6 探究4 正负数的实际应用 8 探究1 正数、负数的定义 正数、负数的概念和表示方法： 在数学中，像3，50，7.8%这样大于0的数叫作正数，像-3，-10，-0.7%这样在正数前加上符号“-”的数叫作负数，其中符号“-”是负号读作“负”．有时，为了明确表达意义，在正数的前面也加上符号“+”（读作“正”）． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例1】　（2024•锦江区校级模拟）下列各数中，是负数的是　　 A． B．0 C． D．1 【答案】 【分析】根据负数的概念得出结论即可． 【解答】解：．是负数，故本选项符合题意； ．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意； ．是正数，故本选项不合题意； ．1是正数，故本选项不合题意． 故选：． 【例2】　（2024春•道里区校级月考）在，，0，，中，正数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：，是负数； ，是正数； 0既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是正数； 正数有，，共2个． 故选：． 【例3】　（2024•吴兴区二模）下列数中，属于负数的是　　 A．2024 B． C． D．1 【答案】 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：．，是正数； ．，是负数； ．，是正数； ．，是正数； 故选：． 1．“正”与“负”的辨析与对比： 符号 读法 举例 注意 + 正 +2，读作正2 正数前面的“﹢”号一般省略不写，但有时为了明确表达意义，在正数前面也加上“﹢”号 – 负 –1，读作负1 负数前面的“﹣”号不能省略 2．小学学过的数，除了0以外，都是正数，在学习时为了简便把“+”都省略了． 3．带有“+”号的数不一定是正数，带有“–”号的数不一定是负数．如+（–2）是负数，–（–5）是正数． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究2 用正数、负数表示具有相反意义的量 1．具有相反意义的量包括三层含义： （1）具有相反意义； （2）具有数量； （3）具有同类性． 2．具有相反意义的量的特点： （1）成对性：单独一个量不能成为具有相反意义的量，如上升10米． （2）同类性：具有相反意义的量必须是同类量，如向东走20米与盈利20元就不是具有相反意义的量． （3）不唯一性：具有相反意义的量，不要求数量相等，如与盈利300元具有相反意义的量不唯一，可以是亏损400元，也可以是亏损100元等． 3．如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用正数和负数分别表示它们．通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示．例如，若规定收入1000元记作+1000元，则支出300元记作-300元；若规定前进10米记作+10米，则后退5米记作-5米． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例4】　（2023秋•东莞市校级期末）早在两千多年前，中国人就开始使用负数，如果收入100元记作元，那么支出80元可以记作　　 A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】 【分析】根据正数与负数的意义解答即可． 【解答】解：如果收入100元记作元，那么支出80元应记作元． 故选：． 【例5】　（2024•建湖县校级二模）若海平面以上2000米，记作米，则海平面以下2024米，记作　　 A．米 B．2024米 C．24米 D．米 【答案】 【分析】由题意可知，海平面以下用负数表示，即可得出答案． 【解答】解：根据题意，海平面以上2000米，记作米，则海平面以下2024米，记作米． 故选：． 【例6】　（2024春•文山州期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若向东走16米记作米，则向西走30米记作　　 A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】 【分析】根据正负数是表示具有相反意义的两种量进行求解即可． 【解答】解：若向东走16米记作米，则向西走30米记作， 故选：． 1．常见的表示相反意义的词语： 增加与减少；零上与零下； 前进与后退；收入与支出； 盈利与亏损；向东与向西； 上升与下降等． 2．用正数数负数表示具有相反反相反意义的量的步骤： （1）分析已知条件； （2）明确规定、明确基准； （3）用正数或负数数表示相关的量． 3．用正数和负数表示相反意义的量时，规定哪种意义的量为正是可以任意选定的（如将上升2米规定为+2米或–2米都可以），一旦选定一种意义的量为正，则另一种相反意义的量就只能为负． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究3 “0”的含义 1．0比任何正数都小，比任何负数都大，是正数与负数的分界． 2．0℃是一个确定的温度，也是零上和零下的分界点，常用来作为计量温度的基准；海拔0m表示海平面的平均高度． 3．0的意义已不仅是表示“没有”． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例7】　（2024•西安开学）一个整数，亿位上是最小的质数，十万位上是最小的合数，百位上是最大的一位数，其余各位上的数既不是正数也不是负数，这个数是　　 A．200400000 B．100400000 C．200400900 D．211411011 【答案】 【分析】最小的质数是2，所以亿位上是2，最小的合数是4，所以十万位上是4，最大的一位数是9，所以百位上是9，既不是正数也不是负数的数是0，所以其余各位上的数是0；再根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数． 【解答】解：根据题意得：亿位上是2，十万位上是4，百位上是9，其余各位上的数字是0，这个数是200400900． 故选：． 【例8】　（2024•五华区校级模拟）2024年2月昆明和北京的平均最低气温如图，表示零上6摄氏度，下列说法正确的是　　 昆明 北京 A．表示下降4摄氏度 B．表示零下摄氏度 C．表示零上4摄氏度 D．2024年2月昆明与北京平均最低气温的温差是10摄氏度 【答案】 【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：表示零上6摄氏度，则表示零下4摄氏度，2024年2月昆明与北京平均最低气温的温差为， 故选：． 【例9】　（2024•思明区校级二模）某运动项目的比赛规定，胜一场记作“”分，平局记作“0”分，如果某队得到“”分，则该队在比赛中　　 A．与对手打成平局 B．输给对手 C．打赢了对手 D．无法确定 【答案】 【分析】根据对正负数的理解即可解答． 【解答】解：某运动项目的比赛规定，胜一场记作“”分，平局记作“0”分，如果某队得到“”分，则该队在比赛中输给了对手． 故选：． 0表示数时，既不是正数，也不是负数；0表示实际意义时，可以表示什么都没有，也可以表示一个具体的量． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究4 正负数的实际应用 正数和负数的意义： 正数和负数的引入是为了在实际问题中区分表示相反意义的量．为了用数表示具有相反意义的量，我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为负的．负数是根据实际需要产生的． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例10】　（2024•南山区校级一模）一小袋味精的质量标准为“克”，那么下列四小袋味精质量符合要求的是　　 A．50.35克 B．49.80克 C．49.72克 D．50.40克 【答案】 【分析】先根据味精的质量标识，计算出合格味精的质量的取值范围，然后再进行判断． 【解答】解：由题意，知：合格味精的质量应该在克到克之间；即49.75克至50.25克之间，符合要求的是选项． 故选：． 【例11】　（2024•九龙坡区自主招生）正式排球比赛对所用的排球重量是有严格规定的，现检查4个排球的重量，超过规定重量的克数记作正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果为：第一个克，第二个为克，第三个为克，第四个为克，则哪个排球质量最好　　 A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】 【分析】根据题意，可以比较各个数的绝对值的大小，从而可以解答本题． 【解答】解：， 第三个排球质量最好． 故选：． 【例12】　（2024春•子洲县校级期末）初中生体能训练中有一项跳跃泥潭障碍训练，如图，小刚平时助跑跳跃距离约为米，他不确定自己是否能够跳过这个泥潭的长度），于是测量了相关长度，由于米尺长度有限，小刚测得米，米，根据小刚的测量，他 　　完成这项训练挑战．（填“能”或“不能” 【答案】能． 【分析】根据正数和负数的实际意义求得小刚平时助跑跳跃距离的范围，然后与比较大小即可． 【解答】解：由题意可得小刚平时助跑跳跃距离约为4.4米米， 米，米， （米米， 则根据小刚的测量，他能完成这项训练挑战， 故答案为：能． 正负数可用来表示允许偏差： 在现代工业生产中，产品的尺寸、质量等都有标准规格，但是，一般在实际加工中，每个产品不可能都做得与标准规格完全一样，通常在某个范围内．只要不影响使用，产品比标准规格稍大或稍小一点，稍轻或稍重一点，都属于合格品．而超出这个范围的产品就是不合格品． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 牛刀小试 1．（2024•深圳模拟）如果零上记作，那么零下记作　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•莱西市期末）一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉中合格的有　　 A．25.28千克 B．25.18千克 C．24.69千克 D．24.25千克 3．（2024•南宁二模）若向北走5步记作步，则向南走7步记作　　 A．步 B．步 C．步 D．步 4．（2024春•朝阳区校级月考）化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是　　 A． B． C． D． 5．（2024•长沙模拟）小戴同学的微信钱包账单如图所示，表示收入8元，下列说法正确的是　　 A．表示收入3元 B．表示支出3元 C．表示支出元 D．收支总和为11元 6．（2024•鞍山模拟）某校九年1班期末考试数学的平均成绩是82分，小明得了90分，记作分，若小亮的成绩记作分，表示小亮得了　　分． A．16 B．76 C．78 D．74 7．（2024•舟山一模）舟山市体育中考，女生立定跳远的测试中，以为满分标准，若小贺跳出了，可记作，则小郑跳出了，应记作　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•无锡期末）如果运进粮食3吨记作吨，那么吨表示　　． 9．（2024春•东坡区期末）某水果店盈利701元时我们记作元，那么亏本259元记作 　　元． 10．（2024春•南安市期末）若是正数，则 　　0．（填“”或“”或“” 11．（2024春•昌邑区期末）如图，灰太狼和喜羊羊、美羊羊、沸羊羊、懒羊羊在的方格（每个小方格的边长表示10米距离）图上沿着网格线运动．灰太狼从点处出发去寻找点，，，处的某只羊，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从点到点记为，从点到点记为，其中第一个数表示左右方向的移动情况，第二个数表示上下方向的移动情况． （1）填空：从点到点记为　　． （2）若灰太狼从点处出发去找点处的喜羊羊，行走路线依次为，，，，请在图中标出喜羊羊的位置点． （3）在（2）中，若灰太狼每走1米消耗0.5焦耳的能量，则灰太狼寻找喜羊羊的过程共消耗多少焦耳的能量？ 12．（2024春•浦东新区校级期中）某次唱歌比赛由4位评委通过打分决定选手是否进入决赛．规定一位评委能打的满分是10分，把6分记为0分，超过的用正数表示，不足的用负数表示，选手的总分达到25分可以晋级．5号选手小明的得分情况如表．小明的最后得分是多少？能否晋级？ 评委 1号 2号 3号 4号 分数 0 参考答案 1．【答案】 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：如果零上记作，那么零下记作， 故选：． 2．【答案】 【分析】根据一种面粉的质量标识为“千克”，可以求出合格面粉的质量的取值范围，从而可以解答本题． 【解答】解：一种面粉的质量标识为“千克”， 合格面粉的质量的取值范围是：千克千克， 即合格面粉的质量的取值范围是：24.75千克千克， 故选项不合格，选项不合格，选项合格，选项不合格． 故选：． 3．【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【解答】解：向北走5步记作步， 向南走7步记作步． 故选：． 4．【答案】 【分析】求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球． 【解答】解：通过求4个排球的绝对值得： ，，，． 的绝对值最小，所以这个砝码是最接近标准的球． 故选：． 5．【答案】 【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：表示收入8元，表示支出3元， 故选：． 6．【答案】 【分析】设与平均分相差1分记分，则，求得，可知每超过平均分1分记分，则每低于平均分1分记分，即可求出小亮得了78分，于是得到问题的答案． 【解答】解：设与平均分相差（1分）记分， 根据题意得， 解得， 每超过平均分（1分）记（1分），则每低于平均分（1分）记（1分）， （分， 小亮得了7（8分）， 故选：． 7．【答案】 【分析】根据多于标准的记为正，少于标准的即为负，直接解答即可． 【解答】解：以为满分标准，若小贺跳出了，可记作，则小郑跳出了，应记作：． 故选：． 8． 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以如果表示运进粮食3吨，那么表示运出粮食4吨． 【解答】解：根据正数和负数的定义可知，表示运出粮食4吨． 故答案为：运出粮食4吨． 9．【答案】． 【分析】根据题意可知盈利用“”表示，则亏损用“”表示，即可求出正确答案． 【解答】解：水果店盈利701元时我们记作元， 亏本259元记作元， 故答案为：． 10．【答案】． 【分析】根据“正数”进行作答即可得出答案． 【解答】解：是正数， ． 故答案为：． 11．【答案】（1）； （2）如图； （3）70焦耳． 【分析】（1）根据题干向右为正，向上为正，则到为先向右1格再向下2格，故应该是； （2）按照正为向右，负为向左，正为向上，负为向下，按照路线行进； （3）走1格消耗0.5焦耳，把所有的绝对值相加就是总路线． 【解答】解：（1）故答案为：； （2）如图： ； （3）（焦耳）， 故灰太狼共消耗了70焦耳能量． 12．【答案】小明的最后得分是28分，能晋级． 【分析】先求出小明的总分，在进行判断是否可以晋级． 【解答】解：（分， （分， ， 能晋级． 答：小明的最后得分是28分，能晋级． 第1页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$