2.1 有理数的加法与减法 讲义 2024-2025学年人教版数学七年级上册

              有理数的加法与减法 2.1     目录 探究1 有理数的加法 2 探究2 有理数的减法 5 探究3 有理数的加减混合运算 7 探究1 有理数的加法 1．有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． 2．用字母表示有理数加法法则： ①同号两数相加： 若a>0，b>0，则； 若a<0，b<0，则． ②异号两数相加： 若a>0，b<0，且时，则； 若a>0，b<0，且时，则； 若a>0，b<0，且时，则a+b=0． ③a+0=a． 3．有理数的加法运算律： ①加法交换律： 文字语言：两个数相加，交换加数的位置，和不变． 符号语言：a+b=b+a． ②加法结合律： 文字语言：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 符号语言：（a+b）+c=a+（b+c）． 4．有理数加法的运算步骤： 一看：看两个加数是同号还是异号，有没有0； 二定：确定用法则的哪一条； 三计算：先定和的符号，再算和的绝对值． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例1】　（2024•盐都区校级模拟）计算的正确结果是　　 A． B． C．1 D． 【答案】 【分析】根据有理数加法的运算方法，求出算式的正确结果是多少即可． 【解答】解：． 故选：． 【例2】　（2024•雁塔区校级模拟）已知室外温度为，室内温度比室外温度高，则室内温度为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】用室外温度加上温度差即得到室内温度． 【解答】解：， 故选：． 【例3】　（2024春•青山区期末）小丽在四张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，　　一定不是小丽在纸片上写的数． A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】 【分析】分别列出两数相加为6，7，8，9的所有可能性求解． 【解答】解：相加得5的两个整数可能为：1，4或2，3， 相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3， 相加得7的两个整数可能为：1，6或2，5或3，4， 相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4， 每次所得两个整数和最小是5， 最小两个数字为2，3， 不是小丽在纸片上写的数为1． 故选：． 1．当一个加数为负数时，这个负数必须用括号括起来，即两个符号要用括号隔开，如（–2）+（–1）中–1必须用括号括起来，不要写成–2+–1这样的形式． 2．在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： （1）互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； （2）符号相同的两个数先相加——“同号结合法”； （3）分母相同的数先相加——“同分母结合法”； （4）几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”； （5）整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”． 3．使用有理数加法运算律的注意事项： （1）使用有理数加法的交换律时，要连同加数的符号一起交换，必要时要加括号． （2）有理数加法运算律也适用于三个或三个以上的数相加． （3）算式中的第一个加数如果是省略了加号的正数，交换时要补上加号． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究2 有理数的减法 1．有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 符号语言：a-b=a+（-b）． 2．减法是加法的逆运算，做有理数的减法运算时，常将减法转化为加法再计算，转化过程中，应注意“两变一不变”．“两变”是指运算符号“-”变成“+”，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数不变． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例4】　（2024春•绥棱县期末）某日，某地的气温是摄氏度，最高气温与最低气温相差　　摄氏度． A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】 【分析】用最高气温减去最低气温，利用有理数减法法则计算即可． 【解答】解：（摄氏度）， 即最高气温与最低气温相差10摄氏度． 故选：． 【例5】　（2024•东昌府区模拟）计算的结果是　　 A．2 B． C．12 D． 【答案】 【分析】先化简绝对值，然后根据减去一个数，等于加上这个数的相反数计算即可． 【解答】解：， 故选：． 【例6】　（2024春•馆陶县期中）比少　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】计算即可求解． 【解答】解：， 故选：． 两数相减时差的符号： （1）较大的数-较小的数=正数，即若a>b，则a-b>0． （2）较小的数-较大的数=负数，即若a<b，则a-b<0． （3）相等的两个数的差为0．即若a=b，则a-b=0． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究3 有理数的加减混合运算 1．有理数加减混合运算的步骤： （1）运用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为加法运算，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式． （2）适当运用加法运算律简化运算，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写． 2．省略加号和括号的和式通常有两种读法，如-9-12+3按式子所表示的意义读，读作“负9、负12、正3的和”，按运算的意义读，读作“负9减12加3”． 3．有理数加减混合运算的运算顺序：加减运算是同级运算，若没有括号，则按照从左向右的顺序进行计算；若有括号，先算括号里面的． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例7】　（2023秋•沈丘县期末）下列交换加数的位置的变形中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据加法交换律，在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动． 【解答】解：、，错误； 、，错误； 、，错误； 、，正确． 故选：． 【例8】　（2024•桥西区校级一模）式子有下面两种读法： 读法一：负2，负1，正6与负9的和； 读法二：负2减1加6减9． 则关于这两种读法，下列说法正确的是　　 A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确 【答案】 【分析】根据有理数的加减混合运算的读法，可知两种读法都是正确的，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， 两种读法都是正确的． 故选：． 【例9】　（2024•沂水县一模）小青双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用15分钟；扫地要用5分钟；擦家具要用11分钟；晾衣服要用3分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花　　分钟． A．15 B．18 C．19 D．20 【答案】 【分析】由于洗衣服和晾衣服是必须要花费时间的，因此要使时间最少，则在洗衣服期间可以扫地和搬家具，据此可得答案． 【解答】解：分钟， 她经过合理安排，做完这些事至少要花19分钟， 故选：． 1．在有理数运算中，“+”“-”有两种含义： （1）表示运算符号：加号与减号． （2）表示性质符号：正号与负号． 2．性质符号中的“+”号可以省略，但运算符号中的“+”号必须保留． 3．当有理数的加减混合运算中．有分数也有小数时，通常把分数和小数用运算律分别结合，再计算，或把分数化为小数（小数化为分数）的形式计算． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 牛刀小试 1．（2024春•崇川区校级月考）计算，正确的结果是　　 A． B． C． D．2 2．（2024•咸宁一模）武汉市元月份某一天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是　　 A． B． C． D． 3．（2024•文昌三模）下列各数中，与2024的和为0的是　　 A．2024 B． C． D． 4．（2024春•莆田期末）将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是　　 A．8 B．9 C．10 D．11 5．（2024•建邺区一模）计算的结果是　　 A．5 B． C．1 D． 6．（2024春•朝阳区校级月考）春节期间冰雪旅游大热，杭州的小明同学准备去旅游，考虑温差准备着装时，他查询气温，杭州的气温是，长春的气温是，则此刻两地的温差是　　 A． B． C． D． 7．（2024•长沙）“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•铁西区期末）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 9．（2024•罗湖区校级三模）一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是　　 A． B． C． D． 10．（2024春•肇源县校级月考）水位下降4厘米，又上升8厘米，那么现在的水位比原水位　　 A．上升3厘米 B．下降3厘米 C．上升4厘米 D．下降4厘米 11．（2024春•重庆月考）对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为，再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1，2，3进行“非负差值运算”， ． ①对，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是35； ②，、5的“非负差值运算”的最小值是； ③，，的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为　　 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 12．（2024•天府新区校级开学）一条直线上有2016个点，在每两个点之间插入一个点，这样叫做一次操作，经过这样的3次操作，这条直线上共有 　　个点． 13．（2024春•长宁区期中）计算：． 14．（2024•河北一模）某仓库5月份前6天，每天粮食相对于前一天（单位：袋）变化如图，增加粮食记作“”，减少粮食记作“”． （1）通过计算说明前6天，仓库粮食总共的变化情况； （2）在号中，如果前四天的仓库粮食变化情况是后三天变化精况的一半，求7号这天仓库粮食变化情况． 15．（2024•路南区二模）琪琪和佳佳计算算式“”． （1）琪琪不小心把运算符号“”错看成了“”，求此时的运算结果； （2）佳佳只将数字“11”抄错了，所得结果不超过7，求佳佳所抄数字的最小值． 参考答案 1．【答案】 【分析】根据有理数的加法法则进行解题即可． 【解答】解：， 故选：． 2．【答案】 【分析】用武汉市元月份某一天早晨的气温加上中午上升的温度，求出中午的气温是多少即可． 【解答】解： 中午的气温是． 故选：． 3．【答案】 【分析】根据相反数的定义、有理数的加法法则进行解题即可． 【解答】解：、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 4．【答案】 【分析】先求出所有数字之和，得出①②，且为整数，则，进而推出当①②时，有最大值，即可解答． 【解答】解：， 所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于， ①②，且为整数， 整理得：， 当①②最大时，有最大值， 为整数， 当①②时，有最大值， 此时， 故选：． 5．【答案】 【分析】先根据有理数的减法法则计算，再根据绝对值的性质化简即可． 【解答】解：， 故选：． 6．【答案】 【分析】用杭州此刻的气温减去长春此刻的气温，求出此刻两地的温差即可． 【解答】解： ． 答：此刻两地的温差是． 故选：． 7．【答案】 【分析】温差即为最高温度与最低温度的差，由此计算即可． 【解答】解：由题意得，， 故选：． 8．【答案】 【分析】根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项正确，符合题意； 故选：． 9．【答案】 【分析】根据有理数的加减混合运算的运算方法，用某地一天早晨的气温加上中午上升的温度，再减去半夜又下降的温度，求出半夜的气温是多少即可． 【解答】解： 答：半夜的气温是． 故选：． 10．【答案】 【分析】先规定下降上升的正负，再加减得结论． 【解答】解：下降记作负，上升记作正， 由题意得：． 现在的水位比原水位上升了4厘米． 故选：． 11．【答案】 【分析】根据题意分别求出“非负差值运算”，然后进行判断作答即可． 【解答】解：对，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是，①正确，故符合要求； 当时，； 当时，； 当时，； ，、5的“非负差值运算”的最小值是15，②错误，故不符合要求； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ，，的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，③正确，故符合要求； 故选：． 12．【答案】16121． 【分析】最初有2016个点，那么有2015个间隔，在每两个点之间插入一个点，增加2015个点，每一次增加的点都是间隔的数量，如此操作3次即可． 【解答】解：2016个点，有2015个间隔， （个， 4031个点，有4030个间隔， （个； 8061个点，有8060个间隔， （个． 所以经过这样的3次操作，这条直线上共有16121个点． 故答案为：16121． 13．【答案】． 【分析】根据有理数的减法法则，把减法化成加法，再写成省略加号和的形式，最后进行有理数的简便计算即可． 【解答】解：原式 ． 14．【答案】（1）前6天，仓库粮食减少7袋； （2）7号粮食减少2袋． 【分析】（1）由题意得，，计算可得； （2）设7号粮食变化袋，由题意得，，解得的值即为7号这天仓库粮食变化情况． 【解答】解：（1） 答：前6天，仓库粮食减少7袋； （2）设7号粮食变化袋，由题意得， ， 解得： 答：7号粮食减少2袋． 15．【答案】（1）； （2）佳佳所抄数字的最小值为1． 【分析】（1）把运算符号“”错看成了“”，根据有理数的减法法则计算即可求解； （2）设佳佳所抄数字为，根据题意可得：，解不等式求解即可． 【解答】解：（1） ； （2）设佳佳所抄数字为，根据题意可得： ， 解得． 佳佳所抄数字的最小值为1． 第1页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$