2.3 有理数的乘方 讲义 2024-2025学年人教版数学七年级上册

              有理数的乘方 2.3     目录 探究1 有理数的乘方 2 探究2 科学记数法 4 探究3 近似值 6 探究4 有理数的混合运算 9 探究1 有理数的乘方 1．乘方的定义： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在an中，a叫做底数，可以是任意有理数，n叫做指数，是正整数．当an看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”． 2．乘方运算法则： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0． 3．乘方的运算方法： （1）转化为乘法，根据乘法法则计算． （2）先确定符号，再求幂的绝对值． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例1】　（2024•九龙坡区自主招生）计算：　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方计算法则即可得出答案． 【解答】解：原式． 故选：． 【例2】　（2023秋•无锡期末）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方法则分别计算即可判断． 【解答】解：、，故此选项不符合题意； 、，故此选项符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 故选：． 【例3】　（2023秋•仪征市期末）下列各数中，结果相等的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】 【分析】根据乘方的意义对各个选项的式子进行计算，然后根据计算结果进行判断即可． 【解答】解：．，，，故此选项不符合题意； ．，，，故此选项符合题意； ．，，，故此选项不符合题意； ．，，，故此选项不符合题意； 故选：． 1．乘方运算中，当底数为负数或分数时，必须用括号将底数括起来． 2．当底数互为相反数时，它们的奇次幂也互为相反数，偶次幂相等． 3．一个数可以看作这个数本身的一次幂．如：3就是31，m就是m1，指数1通常省略不写；指数是2时也读作平方，指数是3时也读作立方．如：32也读作“3的平方”，23也读作“2的立方”． 4．底数与指数的区别：底数是因数，指数是因数的个数． 5．乘方与幂的区别：乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究2 科学记数法 1．把大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学记数法． 2．科学记数法的形式a×10n中a和n的确定方法： （1）将小数点移到左起第1个数字的后边即可得到a的取值． （2）确定n方法有两种：一是数小数点移动的位数，小数点移动几位，n就是几；二是数原数的整数位数，原数的整数位数减1就是n的值． 3．还原用科学记数法表示的数的方法： 把用科学记数法表示的数a×10n（其中1<<10，n是正整数）还原成原数时，只需将小数点向右移动n位，并把乘号和10n去掉即可，注意，在移动小数点时，若数位不足，则需用0补齐． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例4】　（2024•宿迁）地球与月球的平均距离大约为，数据384000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【解答】解：． 故选：． 【例5】　（2024•顺河区校级一模）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由题意知，工作秒运算的次数为，根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【解答】解：由题意知，工作秒运算的次数为， 大于1，用科学记数法表示为，其中，， 用科学记数法表示为． 故选：． 【例6】　（2024•龙亭区校级一模）2023年冬季以来，受哈尔滨旅游“火出圈”的带动，黑龙江省人气火爆，热度屡创新高．2024年元旦期间，黑龙江省累计接待游客661.9万人次，同比增长，高出全国增幅18.4个百分点．数据“661.9万”用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据科学记数法表示较大的数的方法，可得661.9万，据此解答即可． 【解答】解：661.9万， ． 故选：． 1．科学记数法只改变数的形式，不改变数的性质和大小，带单位的数要先转化为原数，再用科学记数法表示． 2．用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后一致． 3．用科学记数法表示一个负数时，先写出它的相反数的形式，再添上负号就可以了． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究3 近似值 1．准确数：在日常生活和生产实际中，能准确地表示一些量的数，称为准确数．例如：三班共50人，小颖养了3条金鱼，数字“50”和“3”就是准确数． 2．近似数：与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数．例如：体重约为54 kg． 3．精确度：近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位就称这个数精确到哪一位，精确度是精确的程度． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例7】　（2024•天府新区校级开学）求24个偶数的平均数，保留一位小数得数是15.9，若保留两位小数得数应该是　　 A．15.91 B．15.92 C．15.93 D．15.94 【答案】 【分析】根据24个偶数的平均数，保留一位小数得数是15.9，可知这24个偶数的和在和之间，然后即可计算出这24个偶数的和，再除以24，结果保留两位小数即可． 【解答】解：，，24个偶数的平均数，保留一位小数得数是15.9， 这24个偶数的和为382， ， 故选：． 【例8】　（2023秋•任丘市期末）近似数65.07万精确到　　 A．百位 B．百分位 C．万位 D．个位 【答案】 【分析】先把65.07万化为650700，进而可得出结论． 【解答】解：65.07万， 数字7在百位，故精确到百位． 故选：． 【例9】　（2024•泰山区校级二模）下列说法正确的有　　 ①近似数7.4与7.40是一样的 ②近似数8.0精确到十分位，有效数字是8、0 ③近似数9.60精确到百分位，有效数字是9、6、0 ④由四舍五入法得到的近似数精确到千分位，有3个有效数字 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】 【分析】①的精确度不一样，7.4精确到十分位，7.40精确到百分位； ④近似数精确到千位； ②近似数8.0精确到十分位，有效数字是8、0，正确； ③近似数9.60精确到百分位，有效数字是9、6、0正确． 【解答】解：①7.4精确到十分位，7.40精确到百分位； ②③正确； ④近似数精确到千位，有3个有效数字，故错误， 故选：． 1．由近似数确定原数的取值范围的方法： （1）在近似数的最后一位之后再取一位，数值记为0； （2）在这一位上加5是最大数，减5是最小数，注意含小不含大． 2．取近似数的方法： 根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去尾法或进一法． （1）四舍五入法：四舍五入法是最常用的取近似数的方法．求一个精确到某一数位的近似数时，对这一数位后面的那个数进行四舍五入．例如，2．55精确到十分位为2．6． （2）去尾法：去尾法是去掉数的小数部分，取其整数部分的取近似数的方法．例如，把一根20cm长的钢筋截成6cm长的小段作零件，由20÷6=3．33…，可知能截得的零件数为3． （3）进一法：进一法是去掉多余部分的数后，在保留部分的最后一个数字上加1的取近似数的方法．例如，有112名学生外出旅游，计算租用45座的客车的辆数时，由于112÷45=2．488…，此时应取近似数3．即租用3辆45座的客车才能满足112名学生旅游所需． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究4 有理数的混合运算 1．通常把五种基本的代数运算分为三级：一级（最低）是加减，二级是乘除，三级（最高）是乘方． 2．先算高级运算，再算低级运算．有括号先算括号里的． 3．在运算过程中，通常先将小数化为分数，将带分数化为假分数，再进行乘方、乘除运算． 4．进行有理数混合运算时，一要注意运算顺序，二要注意运算符号． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例10】　（2024春•栾城区校级期末）已知，若，则　　 A．4047 B．4048 C． D． 【答案】 【分析】先根据有理数的乘方和相同加数的加法将已知式变形，再根据幂的乘方，同底数幂的乘法即可解答 【解答】解：， ， ， ， ． 故选：． 【例11】　（2024•苍溪县二模）定义一种新运算：※则※6的结果为　　 A． B．2 C．4 D．10 【答案】 【分析】根据题中的新定义化简原式，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：※6 ， 故选：． 【例12】　（2023秋•雨花区期末）计算：． 【答案】67． 【分析】先算括号内的式子和乘方，再算减法即可． 【解答】解： ． 有理数混合运算的顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 牛刀小试 1．（2024•凤台县二模）代数式可表示为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•香坊区校级月考）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2024•河南）计算的结果是　　 A． B． C． D． 4．（2024•邯郸三模）若，，则的值为　　 A． B．0 C．3 D．8 5．（2024•金安区校级一模）我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至2023年底，光缆线路总长度达至64580000千米，其中64580000用科学记数法可表示为　　 A． B． C． D． 6．（2024•远安县模拟）某会议参会人数准确数为513人，新闻报道参会人数约为5百人，报道理由是　　 A．人数统计精确到百位 B．人数统计精确到十位 C．人数统计精确到个位 D．人数统计精确到十分位 7．（2024•大荔县一模）1079.34精确到个位，则近似值为　　 A．1080 B．1079.3 C．1079 D．1070 8．（2024•西乡塘区校级开学）把8个边长都是3厘米的正方形，一个接一个地拼成长方形，这个长方形的周长是　　 A．24厘米 B．48厘米 C．54厘米 D．64厘米 9．（2024•湖北三模）2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦，据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元，数据34.45亿用科学记数法表示为 　　． 10．（2024春•海淀区校级期中）用四舍五入法将2.594精确到0.01，所得到的近似数是 　　． 11．（2024春•南岗区期末）用四舍五入法把0.0571精确到千分位为 　　． 12．（2024春•普陀区校级月考）计算：　　． 13．（2024春•秦都区校级月考）据生物学统计，一个健康的成年女子体内的血量一般不低于毫升，每毫升血中红细胞的数量约为个，那么一个健康的成年女子体内的红细胞一般不低于多少个？（结果用科学记数法表示） 14．（2024•莲湖区开学）一次检阅中，接受检阅的一列彩车车队共30辆车，每辆车长4米，前后相邻的两辆车相隔5米．如果车队每秒行驶2米，那么这列车要通过535米长的检阅场地，需要多长时间？ 15．（2024•天府新区校级开学）能简算的要简算． （1）； （2）； （3）； （4）． 参考答案 1．【答案】 【分析】求个相同因数的积的运算叫做有理数的乘方，由此解答即可． 【解答】解：， 故选：． 2．【答案】 【分析】根据有理数的乘方计算法则逐项计算即可解答． 【解答】解：、，原式计算错误，不符合题意； 、，原式计算错误，不符合题意； 、，原式计算错误，不符合题意； 、，原式计算正确，符合题意； 故选：． 3．【答案】 【分析】先根据乘方的意义把括号内的乘法写成乘方的形式，然后根据幂的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：原式， 故选：． 4．【答案】 【分析】根据题意得出，，代入代数式，即可求解． 【解答】解：，， ，， ， 故选：． 5．【答案】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【解答】解：． 故选：． 6．【答案】 【分析】根据某会议参会人数准确数为513人，新闻报道参会人数约为5百人，可知人数统计到百位． 【解答】解：由题意可得， 人数统计精确到百位， 故选：． 7．【答案】 【分析】把十分位上的十字3进行四舍五入即可． 【解答】解：（精确到个位）． 故选：． 8．【答案】 【分析】根据题意列出算式，然后根据有理数的混合运算法则计算即可． 【解答】解：根据题意得，（厘米）， 即这个长方形的周长是54厘米， 故选：． 9．【答案】． 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解答】解：34.45亿． 故答案为：． 10． 【分析】根据精确到0.01即精确到百分位，把千分位上的数按照四舍五入的要求取舍即可． 【解答】解：四舍五入法将2.594精确到0.01，可得：． 故答案为：2.59． 11．【答案】0.057． 【分析】把万分位上的数字8进行四舍五入即可． 【解答】解：用四舍五入法把0.0571精确到千分位为0.057． 故答案为：0.057． 12．【答案】0． 【分析】先计算乘方，再计算加减法即可得到答案． 【解答】解： ， 故答案为：0． 13．【答案】一个健康的成年女子体内的红细胞一般不低于个． 【分析】根据题意可知：一个健康的成年女子体内的红细胞一般不低于：个；接下来根据同底数幂乘法运算法则即可求解，注意要将结果用科学记数法表示． 【解答】解： ． 答：一个健康的成年女子体内的红细胞一般不低于个． 14．【答案】400秒． 【分析】这列车队要通过535米长的检阅场地，那么其行驶的路程为：车队的长度米．车队的长度为：．求出总路程后，据路程速度时间求出时间即可． 【解答】解：由题意得： ； （秒； 答：需要400秒． 15．【答案】（1）5.4；（2）3.7；（3）2500；（4）24． 【分析】（1）首先计算小括号里面的乘法、减法和加法，然后计算小括号外面的除法即可； （2）根据除法的性质、减法的性质计算即可； （3）根据加法交换律、加法结合律计算即可； （4）首先计算小括号里面的加法、减法，然后计算小括号外面的除法即可． 【解答】解：（1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 第1页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$