1.2 有理数及其大小比较（第2课时） 讲义 2024-2025学年人教版数学七年级上册

              有理数及其大小比较 第2课时 1.2     目录 探究1 相反数 2 探究2 绝对值 4 探究3 有理数大小的比较 6 探究1 相反数 1．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数． 2．几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数． 3．代数意义：互为相反数中，“相反”的意思是说“只有符号相反”，即两个数除符号不同外其余都相同．例如：–3和+1，虽然符号相反，但不互为相反数，而–3和+3，–1和+1互为相反数． 4．相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个．正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例1】　（2024•武汉模拟）一个数的相反数是，则这个数是　　 A．2024 B． C． D． 【答案】 【分析】根据相反数的含义和求法，一个数的相反数是，则这个数是，据此求解即可． 【解答】解：一个数的相反数是，则这个数是． 故选：． 【例2】　（2024•新吴区二模）的相反数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：的相反数是， 故选：． 【例3】　（2024•长沙模拟）下列各组数中互为相反数的是　　 A．2与 B．2与 C．与 D．与 【答案】 【分析】根据相反数的定义进行解题即可． 【解答】解：、2于是相反数，符合题意； 、2与不是相反数，不符合题意； 、与不是相反数，不符合题意； 、与不是相反数，不符合题意； 故选：． 1．①相反数是成对出现的； ②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0． 2．相反数的判定与性质：求一个数的相反数，只需在这个数的前面加上“–”即可．若原数带符号，则应先添加括号．判断两数是否为相反数，除依据定义外，还可以看两个数的和是否为0，若和为0，则两个数互为相反数，即若a+b=0，则a，b互为相反数；反之，若两个数互为相反数，则这两个数的和一定是0，即若a，b互为相反数，则a+b=0． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究2 绝对值 1．绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值的意义： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 即： 或 ． （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 3．绝对值的性质： ①，即有最小值； ②若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零； ③若|x|=a（a>0），则x=±a． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例4】　（2024•龙亭区校级一模）的值是　　 A．2024 B． C． D． 【答案】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可求解． 【解答】解：， 故选：． 【例5】　（2024•钱塘区二模）已知三个非零实数，，满足，且，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何性质，可知实数在原点一侧，实数和在原点的另一侧，分类讨论，再根据不等式的性质即可求解． 【解答】解：， 表示实数的点在数轴上距离原点最远，表示，的点在数轴上距离原点比要近一些， ， 当在原点右侧时，则，在原点左侧；当在原点左侧时，则，在原点右侧， ，；或，， 或，， 故选：． 【例6】　（2023秋•临泉县期末）如果，那么的值是　　 A．6 B． C．8 D． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，，， 解得，， 所以，． 故选：． 1．任何数的绝对值都不小于它本身，即． 2．含有绝对值的加、减、乘、除运算，先按照“正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”的原则将绝对值符号去掉，然后再进行加、减、乘、除运算． 3．任何数都有唯一的绝对值，绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反数． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究3 有理数大小的比较 1．有理数比较大小的方法： （1）利用数轴（从形的角度）：在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从左到右顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． （2）利用法则（从数的角度）：①一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；②两个负数，绝对值大的反而小． 2．有理数的大小比较方法的特点： （1）不否定小学已学的数的大小比较； （2）不与现实生活相矛盾； （3）解决了0与负数、负数与负数之间大小比较． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例7】　（2024春•夹江县期末）在下面四个数中，比1大的是　　 A．0 B．2 C． D．0.5 【答案】 【分析】根据有理数大小比较的法则即可求解． 【解答】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 【例8】　（2024•西安开学）在，，，中，最大的数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先将分数化为小数，再根据正数大于负数，两个正数如果十分位相等，百分位大的这个数就大，依相类推比较大小即可． 【解答】解：， 在，，，中，最大的数是． 故选：． 【例9】　（2024•凉州区二模）若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据，，且，可得，，，据此判断出，，的大小关系即可． 【解答】解：，，且， ，，， ， ． 故选：． 1．在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数；即正数大于0，0大于负数，正数大于负数． 2．异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们绝对值的大小．利用绝对值比较有理数的大小时，正数的绝对值越大，该数就越大；负数的绝对值大，该数就越小． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 牛刀小试 1．（2024•临颍县二模）的相反数为　　 A．5 B． C． D． 2．（2024•榆次区一模）有理数2的相反数是　　 A．2 B． C． D． 3．（2024•江西）的相反数是　　 A． B．5 C． D． 4．（2024•思明区校级二模）的相反数是　　 A．2 B． C． D． 5．（2024•禹州市二模）的绝对值是　　 A． B． C． D． 6．（2024•大庆）下列各组数中，互为相反数的是　　 A．和 B．2024和 C．和2024 D．和 7．（2024•渝中区校级一模）已知，在多项式中任意选择相邻个字母，在不包含其中第一个字母前的符号的情况下添加一个绝对值符号，然后进行去绝对值运算， 例如：，，下列说法： ①至少有一种情况化简后与原式相等； ②在所有化简结果中，不能得到“”这一项； ③化简后一共有6种不同的结果． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2024•海宁市三模）下列计算结果为2的是　　 A． B． C． D． 9．（2024春•江岸区校级月考）在实数1，，0， 中，最小的实数是　　 A．1 B． C．0 D． 10．（2024•拱墅区开学）下列各数中，与990万最接近的是　　 A．9901000 B．1000000 C．9891000 D．9009999 11．（2024•河北三模）如图是甲、乙、丙、丁4个地区某日的平均气温，其中温度最低的地区是　　 某日的平均气温 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 12．（2024•宁津县二模）下列选项中，比小的数是　　 A． B．0 C． D． 13．（2024春•南岗区校级期中）已知为有理数，则的最小值为 　　． 14．（2023秋•中江县期末）若与互为相反数，则　　． 15．（2024春•东坡区期末）有理数、、在数轴上的位置如图： （1）请用“”比较、、、四个数的大小为 　　． （2）化简：． 16．（2024春•呼兰区校级月考）已知与互为相反数，求的值， 参考答案 1．【答案】 【分析】依据相反数的定义求解即可． 【解答】解：的相反数为． 故选：． 2．【答案】 【分析】根据相反数的定义求出2的相反数即可． 【解答】解：有理数2的相反数是， 故选：． 3．【答案】 【分析】根据相反数的定义直接求得结果． 【解答】解：的相反数是5． 故选：． 4．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：，的相反数是2． 故选：． 5．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答． 【解答】解：的绝对值是， 即． 故选：． 6．【答案】 【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 化简各个数，然后结合相反数的定义进行判断． 【解答】解： 、，2024 和 符号相反，互为相反数． 、2024 和 互为倒数． 、，两个数相等． 、和的符号相反，但绝对值不相等； 故选：． 7．【答案】 【分析】根据题意得出，用列举法讨论出所有情况在进行一一分析，逐项判断即可． 【解答】根据题意得出，用列举法讨论出所有情况在进行一一分析，逐项判断即可．可以等于2，3，4，5共四种情况； （1）选择任意相邻2个字母， ①，②，③，④； （2）选择任意相邻3个字母， ①，②，③； （3）选择任意相邻4个字母， ①，②； （4）选择任意相邻5个字母， ． 由以上列举可知没有任何一种情况与原式相等，所以题干中①错误； 很明显，化简中可以得到“ “这一项，所以题干中②错误； 化简后，一共有6种不同的结果，所以题干中的③正确． 综上只有1个结果正确． 故选：． 8．【答案】 【分析】直接利用绝对值的性质以及去括号法则分别判断得出答案． 【解答】解：．，故此选项符合题意； ．，故此选项不合题意； ．，故此选项不合题意； ．，故此选项不合题意． 故选：． 9．【答案】 【分析】根据负数小于0，0小于正数，即可解答． 【解答】解：在实数1，，0， 中， ， 最小的实数是， 故选：． 10．【答案】 【分析】求出990万和各选项的差，然后进行比较即可． 【解答】解：990万， ， ， ， ， ， 与990万最接近的是9901000， 故选：． 11．【答案】 【分析】根据，即可得出结果． 【解答】解：， 其中温度最低的地区是丁地区， 故选：． 12．【答案】 【分析】通过比较、、0、、的大小得结论． 【解答】解：， 比小的数是． 故选：． 13．【答案】4． 【分析】根据绝对值都是非负数，可得答案． 【解答】解：， 当时，的最小值是4． 故答案为：4． 14．【答案】． 【分析】根据绝对值的非负性和相反数的定义，可得，，进而求出和的值，代入求解即可． 【解答】解：与互为相反数， ， ，， ，， ． 故答案为：． 15．【答案】（1）； （2）0． 【分析】（1）根据、、在数轴上的位置，可得，，据此判断出，，，，的大小关系即可； （2）首先判断出、、的正负，然后求出的值是多少即可． 【解答】解：（1）由数轴可知：，，， ； 故答案为：； （2）由数轴知：，，， 原式． 16．【答案】． 【分析】直接利用绝对值的性质、互为相反数的定义得出，，进而求出答案． 【解答】解：与互为相反数， 又，， ， 解得， ， 解得， ， 答：的值是． 第1页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$