2.2 有理数的乘法与除法 讲义2024-2025学年人教版数学七年级上册

              有理数的乘法与除法 2.2     目录 探究1 倒数 2 探究2 有理数的乘法 4 探究3 有理数的除法 6 探究4 有理数的乘除混合运算 9 探究1 倒数 1．倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数． 2．判断两个数是否互为倒数的唯一标准：两数相乘的积是否为“1”． 3．①0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母； ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；（即求一个数的倒数，不改变这个数的符号） ③倒数等于它本身的数有两个，分别是1和–1． ④真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例1】　（2024•宿迁）6的倒数是　　 A． B． C．6 D． 【答案】 【分析】根据倒数的定义计算即可． 【解答】解：6的倒数是． 故选：． 【例2】　（2024•周村区二模）如果□，那么“□”内应填的实数是　　 A． B．2024 C． D． 【答案】 【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案． 【解答】解：， “□”内应填的实数是． 故选：． 【例3】　（2024•兴宁市校级二模）下列选项中的各数，倒数是它本身的是　　 A．5 B．2 C．1 D．0 【答案】 【分析】根据倒数的定义逐项分析即可． 【解答】．5的倒数是，故不符合题意； ．2的倒数是，故不符合题意； ．1的倒数是1，故符合题意； ．0没有倒数，故不符合题意； 故选：． 1．求倒数的方法： ①求分数的倒数：交换分子、分母的位置． ②求整数的倒数：整数分之1． ③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数． ④求小数的倒数：先化成分数再求倒数． 2．倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在，单独一个数不能称为倒数．必须说清谁是谁的倒数． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究2 有理数的乘法 1．有理数的乘法法则：两个数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0； 2．有理数乘法的运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即ab=ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即（ab）c=a（bc）． （3）分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即a（b+c）=ab+bc． 3．有理数乘法法则的理解： （1）法则中的“同号得正，异号得负”是专指两数相乘，不要与有理数加法法则相混淆．在计算有理数的乘法时，若式中不含为0的因数，则先确定积的符号，再把绝对值相乘． （2）书写格式上，数与字母、字母与字母、数与括号之间可以省略乘号．若第一个因数是负数，可以不加括号，但后面的负因数必须加上括号．不能有类似“×-4”的写法出现．（乘和减两个运算符号不能连用） （3）在运算中，一般要把小数化为分数，带分数化为假分数，便于约分． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例4】　（2024•韩城市一模）计算的结果是　　 A．6 B． C．8 D． 【答案】 【分析】根据两数相乘同号得正异号得负，再把绝对值相乘，可得答案． 【解答】解：． 故选：． 【例5】　（2024•门头沟区一模）数轴上的两点所表示的数分别为，，且满足，，下列结论正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】根据有理数的乘法法则、有理数的加法法则进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ，， 与同号，且都为负数， 故只有符合． 故选：． 【例6】　（2024•吉林）若□的运算结果为正数，则□内的数字可以为　　 A．2 B．1 C．0 D． 【答案】 【分析】将选项代入，得出运算结果即可． 【解答】解：，故选项错误； ，故选项错误； ，故选项错误； ，故选项正确； 故选：． 1．几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 2．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 3．任何数同1相乘都等于它本身，任何数同-1相乘都等于它的相反数． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究3 有理数的除法 1．有理数除法法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即（b≠0）． 2．有理数除法法则二：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商，0除以任何一个不等于0的数，都得0． 3．有理数的除法没有交换律、结合律，更没有分配律． 4．两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数． 5．一般地，根据有理数的除法，形如（p，q是整数，q≠0）的数都 是有理数；有理数又都可以写成上述形式（整数可以看成分母为1的分数），这样，有理数就是形如（p，q是整数，q≠0）的数． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例7】　（2024•蔡甸区校级模拟）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 如2024年为甲辰年．依据上述规律推断，1949年应为　　 A．癸亥年 B．己丑年 C．癸酉年 D．甲子年 【答案】 【分析】天干10年为一周期，地支12年为一周期，计算出从1949年到2024年过了多少年，然后进行解答． 【解答】解：（年， ， ， 天干为己，地支为丑， 年应为己丑年． 故选：． 【例8】　（2024•右玉县二模）计算的结果是　　 A． B． C． D．6 【答案】 【分析】根据有理数的除法法进行解题即可． 【解答】解： ． 故选：． 【例9】　（2023秋•衢江区期末）下列运算，结果正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据有理数的两个除法法则进行计算即可作出判断． 【解答】解：、，故计算错误； 、，故计算错误； 、，故计算正确； 、，故计算错误； 故选：． 1．有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用，对于同一个除法运算，用不同的法则计算，所得的结果是相同的． 2．除法法则的选用原则： 两数相除，若能整除，选择法则二，先确定商的符号，再将两数的把除法转绝对值相除；若不能整除或两数中有分数或小数，则选择法则一，把除法化为乘法；除法算式中的小数常化成分数，带分数常化成假分数，以利于转化为乘法时约分；0不能作除数（即分母）． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究4 有理数的乘除混合运算 1．有理数乘除混合运算的步骤： （1）将除法转化为乘法，除数转化为倒数； （2）先确定积的符号，再把绝对值相乘； （3）运用乘法运算律简化计算； （4）求出最简结果． 2．有理数乘除混合运算中的注意事项： （1）除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法运算律简化运算． （2）积的符号由负因数的个数决定，口诀为“偶正奇负，见0为0”． （3）结果要化为最简分数或整数． （4）有理数的乘除运算是同级运算，若没有括号，则按照从左到右的顺序计算． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【例10】　（2024•邢台三模）计算：　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据有理数的乘除法法则进行解题即可． 【解答】解： ． 故选：． 【例11】　（2024春•松江区期末）计算：． 【答案】． 【分析】根据有理数的乘除法法则进行解题即可． 【解答】解：原式 ． 【例12】　（2024春•黄浦区期中）计算：． 【答案】． 【分析】先把除法运算化为乘法运算，再根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【解答】解： ． 易错点提醒： （1）多个有理数相乘时，积的符号容易出错 （2）进行乘除混合运算时，运算顺序容易出错； （3）将分配率用在除法中致错． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 牛刀小试 1．（2024•下陆区校级三模）2024的倒数是　　 A．2024 B． C． D． 2．（2024•来凤县模拟）的倒数是　　 A．2 B． C． D． 3．（2024•成都模拟）的倒数是　　 A． B． C． D． 4．（2024•二道区校级模拟）若与互为倒数，则的相反数是　　 A． B． C． D．2 5．（2024•郸城县模拟）计算的结果是　　 A． B． C．3 D．4 6．（2024•河东区校级三模）计算的结果是　　 A．2 B． C． D．18 7．（2023秋•金东区期末）如果4个数的乘积为负数，那么这4个数中正数有　　 A．1个或2个 B．1个或3个 C．2个或4个 D．3个或4个 8．（2024•大连一模）甲袋大米的和乙袋大米的相比较　　 A．甲袋大米的重 B．乙袋大米的重 C．一样重 D．无法比较 9．（2023秋•舞阳县期末）已知，，且，则的值等于　　 A．9或 B．9或 C．1或 D．或 10．（2024•天府新区校级开学）多功能教室长12米，宽8米，计划在地面上铺地砖，要求都用整块的方砖，且恰好铺满，方砖的边长可以是　　 A．70厘米 B．80厘米 C．60厘米 D．90厘米 11．（2024春•顺河区校级期末）某同学在计算时，误将“”看成“”而算得结果是，则的正确结果是　　 A．3 B．2 C． D． 12．（2024•红桥区一模）计算：的结果是　　 A． B． C．1 D．4 13．（2023秋•沙市区期末）计算的结果为　　 A． B．1 C．9 D． 14．（2024春•上海期中）计算：． 15．（2023秋•松江区期末）小杰半小时可以用电脑输入文字1250个，那么他用同样的速度12分钟可以输入多少个字？ 参考答案 1．【答案】 【分析】根据乘积是1的两数互为倒数解答即可． 【解答】解：2024的倒数是； 故选：． 2．【答案】 【分析】根据倒数的定义求解． 【解答】解：的倒数是2， 故选：． 3．【答案】 【分析】乘积是1的两数互为倒数，负数的绝对值等于它的相反数，由此即可得到答案． 【解答】解：， 的倒数是． 故选：． 4．【答案】 【分析】根据倒数的定义得出的值，根据相反数的定义得出答案． 【解答】解：根据倒数的定义得：， 解得． 根据相反数的定义， 的相反数， 故选：． 5．【答案】 【分析】根据有理数的乘法法则计算即可． 【解答】解：， 故选：． 6．【答案】 【分析】根据两个数相乘法则：同号相乘得正，并把绝对值相乘，进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 故选：． 7．【答案】 【分析】根据同号得正，异号得负，结合4个数的乘积为负数，则有奇数个负数，据此即可作答． 【解答】解：同号得正，异号得负，结合4个数的乘积为负数， 则这4个数中负数有1个或3个， 这4个数中正数有3个或1个． 故选：． 8．【答案】 【分析】根据求一个数的百分之几是多少用乘法计算列出算式，从而分情况进行比较． 【解答】解：甲袋大米的甲袋大米的重量， 乙袋大米的乙袋大米的重量， 甲袋大米与乙袋大米的重量是未知的， 甲袋大米的和乙袋大米的无法比较， 故选：． 9．【答案】 【分析】先由绝对值的性质求得、的值，然后由，分类计算即可． 【解答】解：，， ，． ， ，或，． 当，时，； 当，时，． 故选：． 10．【答案】 【分析】题目要求用整块的方砖且恰好铺满整个教室，那么方砖的边长必须是教室的长和宽的公因数． 【解答】解：12米厘米，8米厘米， 因为60、70、90都不是1200和800的公因数，而80是1200和800的公因数， 所以方砖的边长可以是80厘米， 故选：． 11．【答案】 【分析】根据题意先计算出的值，再将结果代入得出本题答案． 【解答】解：计算时，误将“”看成“”而算得结果是， ， ， ， 故选：． 12．【答案】 【分析】根据有理数的除法运算即可求出答案． 【解答】解：原式 ， 故选：． 13．【答案】 【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式 ． 故选：． 14． 【分析】将带分数变为假分数，除法变为乘法，再约分计算即可求解． 【解答】解： ． 15．【答案】500个字． 【分析】根据题意列出，然后计算即 【解答】解：半小时分钟， 由题意，得， 答：他用同样的速度12分钟可以输入500个字． 第1页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$