精品解析：江苏省南京市南京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

江苏省南京市南京师范大学附属中学2024-2025学年 高一上学期期末考试数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式和对数不等式，再利用交集的定义计算即可. 【详解】由，解得，则， 由，解得，则，所以. 故选：C. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可. 【详解】命题“”为存在量词命题，而存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题“”的否定为：“”. 故选：D. 3. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式、充分和必要条件等知识来确定正确答案. 【详解】若，则， 若，则可能等于， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义结合题意列方程求解即可. 【详解】因为角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且， 所以，化简得， 因为，所以. 故选：B 5. 已知点在幂函数的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性、幂函数、对数函数、三角函数等知识来确定正确答案. 【详解】由于点在幂函数的图象上， 所以， 在上单调递减， 由于，所以， ， 所以，即. 故选：D 6. 将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得， 再将得到的图象向右平移个单位长度，得. 故选：B 7. 设为实数，函数，若函数有四个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为与有四个不同的交点；在同一坐标系中画出与的图象，根据图象有四个交点可确定的取值范围. 【详解】若函数有四个零点，即函数和的图象有四个不同的交点， 作出函数图象（如图所示）， 与轴的交点为， 由图象，得当时，两者有4个不同交点. 故选：D. 8. 设是定义在上函数，若是偶函数，是奇函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，，两式相减得，即可求得. 【详解】因为是偶函数，是奇函数， 则，， 两式相减得， 则， 则. 故选：A. 二、多选题 9. 设a，b为实数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知可得，然后根据对数的运算性质逐个分析判断即可. 【详解】因为，所以， 对于A，，所以A正确； 对于B，，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，，所以D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的图象关于点中心对称 C. 的值域为 D. 在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用，即可求解；对于B，通过计算的函数值，即可求解；对于C，利用复合函数值域的求法，即可求解；对于D，利用复合函数单调性的判断方法，即可求解. 【详解】对于选项A，易知，所以对，，即的定义域为，故选项A正确， 对于选项B，因为，， 可知图象不关于点中心对称，所以选项B错误， 对于选项C，因为， 又，所以，则，得到，所以选项C正确， 对于选项D，令，则，易知在区间上单调递增，且， 又在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，故选项D错误， 故选：AC. 11. 已知定义在上的函数满足：，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法和换元思想逐项判断即可. 【详解】令，得A正确； 令，得B正确 令，得.再令得，所以C错误； 令得，即D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 如图，弦将圆分割成两个弓形区域．已知圆的半径为，则图中面积较小的弓形区域的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用扇形和三角形的面积的公式，即可求解. 【详解】如图，取中点，易知，因为，， 所以，，故， 又劣弧所在扇形的面积为， 所以图中面积较小的弓形区域的面积为， 故答案为：. 13. 设为实数，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，依题意可得，解得即可. 【详解】由，所以， 依题意可得，解得，所以的最小值为. 故答案为： 14. 设为实数，已知函数，若存在实数a，b同时满足和，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，，令，则，利用单调性求出最值即可求解. 【详解】，所以， 所以，所以为奇函数， 又函数在单调递增， 所以函数在上单调递增，. ，即， 令， ， 在上为减函数，所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知. （1）若，求的值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，然后结合同角三角函数关系式即可得到结果. （2）由，且，得出，代入即可得到结果. 【小问1详解】 ， ， ， . 【小问2详解】 ， ， ， ， ， . 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求在上的单调增区间； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的图象，依次求得的值. （2）利用整体代入法和赋值法来求得正确答案. （3）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式等知识来求得正确答案. 【小问1详解】 由图可知， ， 则，由， 得，则， 由于，所以，所以. 【小问2详解】 由于， 要使，则令得， 所以在上的单调增区间是. 【小问3详解】 ， . 17. 设定义在上的奇函数和偶函数，满足. （1）的值； （2）用函数单调性的定义证明：在上单调递减； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求得，从而求得的值. （2）利用函数单调性的定义，由来证得结论成立. （3）根据函数的单调性和奇偶性来求得不等式的解集. 【小问1详解】 依题意，定义在上的奇函数和偶函数， 有， 解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，任取， 所以 ， 由于上单调递增，所以， 所以， 所以在上单调递减. 【小问3详解】 由，得， 由（2）得在上单调递减， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 18. 设为实数，已知函数. （1）若是上的单调函数，求的取值范围； （2）已知. ①求的最小值； ②设函数.若区间，且对任意，都存在，使得成立，求的最小值. 【答案】（1）； （2）①；②14. 【解析】 【分析】（1）由题意结合二次函数的性质可得在上只能单调递减，从而可求出的取值范围； （2）①先分别求出函数在每一段上的最小值，从而可求出函数的最小值；②先由题意可得，从而由与的范围结合题意得，进而得，再结合基本不等式可求解. 【小问1详解】 因为是上的单调函数， 所以在上是单调函数， 所以在上是单调递减函数， 所以在上单调递减，所以，解得. 所以满足题意的的取值范围为. 【小问2详解】 当时，， ①时，；时，， 因为， 所以的最小值为； ②由题，且，所以， 又时，，， 所以对任意，不存在，使得，不符合题意， 所以， 所以， 因为对任意，都存在，使得成立， 所以，故， 所以，当且仅当 即时取等号， 所以的最小值为14. 【点睛】关键点点睛：第（2）问解题的关键是将问题转化为两集合的包含关系，从而得. 19. 若函数和的零点相同，则称和是“函数对”. （1）已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由； （2）设，若与为“函数对”，求的取值范围； （3）已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数和余弦函数的单调性，结合函数零点存在原理、函数单调性的性质、题中定义进行求解即可； （2）根据题中定义，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （3）根据题中定义，结合函数单调性的性质、对数的运算性质，通过构造新函数，利用新函数的单调性及单调性的性质进行求解即可. 小问1详解】 由函数单调性的性质可知函数是实数集上的增函数， 因为，所以函数在上有唯一零点， 当时，函数是单调递减函数， ，即， 所以函数在上没有零点，不符合题中定义，和不是“函数对”； 【小问2详解】 由得，， ，所以的零点是的零点， 由得，， 当时，，所以为的零点 而当时，必须使得无解， 否则的一些零点不能使得， 所以对成立， 所以，得，此时的零点也全是的零点，综上. 【小问3详解】 由， 因为函数与为“函数对”， 所以，取对得， 由， 因为函数与为“函数对”， 所以有， 因为在上单调递增，所以，即. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数单调性的性质、正弦函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $