专题9.2 向量的加减及数乘运算（八个重难点突破）-2024-2025学年高一数学下学期重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

专题9.2 向量的加减及数乘运算 一、加法运算及几何意义 五、三点共线问题 二、减法运算及几何意义 六、线性运算在几何问题中的应用 三、乘法运算及几何意义 七、向量共线定理的推论 四、向量共线问题 八、三角形重心、内心的向量表示 知识点1向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 知识点2相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 知识点3向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 知识点4向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 知识点5共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 重难点一、加法运算及几何意义 1．设是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于充分性，易知成立的条件是方向相反，且， 所以由可得，所以充分性成立； 对于必要性，若，的方向也可以相同，此时满足，因此必要性不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 2．飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京（如图），这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.从物理学的角度来看，上面实例中位移说明了什么？体现了向量的什么运算？    【答案】位移可以相加，体现了向量的加法运算 【详解】位移可以相加，体现了向量的加法运算. 3．如图所示， （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】 【详解】由图知道，，，，. 故答案为：，，，. 4．如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【详解】（1）根据向量加法的平行四边形法则可得，，分别如下图： （2）根据向量加法的平行四边形法则可得和分别如下图： 5．某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北走了450m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点．（1表示100m） (1)作出向量、、； (2)求． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【详解】（1）如图所示． （2）由，得四边形为平行四边形， 所以. 向量加法的三角形法则的作法：①把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示); ②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和 向量加法的平行四边形法则的作法：①把两个已知向量的始点平移到同一点; ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形; ③与已知向量同起点的对角线表示的向量就是这两个已知向量的和 重难点二、减法运算及几何意义 6．在中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由三角形法则计算可得. 故选：C. 7．向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 8．在矩形中，，，则 ， ． 【答案】 8 【详解】 在矩形中，因为， 所以． 因为， 所以． 故答案为：，8. 9．如图，在各小题中，已知，分别求作． 【答案】答案见解析 【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 如图，， 10．在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）（2）（3）成立，（4）不成立. 【详解】如图，分别作，的平行线，交于点， 因为在中，，， 所以四边形是正方形， （1）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（1）成立； （2）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（2）成立； （3）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（3）成立； （4）因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 故等式（4）不成立； 综上，等式（1）、（2）、（3）成立，等式（4）成立.    向量减法的三角形法则作图的方法：平移向量使之共起点，连接两向量的终点，方向指向被减向量 重难点三、乘法运算及几何意义 11．下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由数乘向量的运算律知，，D正确. 故选：B. 12．非零向量与方向 ，且的长度是的 倍. 【答案】 相反 【详解】非零向量与方向相反，且的长度是的倍. 故答案为：相反；. 13．化简： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）； （2）； （3）. 14．已知，求. 【答案】 【详解】因为， 所以 . 15．（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（    ） A．当时，的方向与的方向一定相反 B．当时，的方向具有任意性 C． D．当时，的方向与的方向一定相同 【答案】ABD 【详解】根据实数与向量的积的方向的规定，A正确； 对于B，当时，，零向量的方向具有任意性，故B正确； 对于D，由可得，同为正或同为负， 所以和或者都是与同向，或者都是与反向，所以与是同向的，故D正确； 对于C，，故C错误． 故选：ABD. （1）当时,与同向;当时, 与反向(). （2）当且时,或当且时, ,注意是,而不是. 重难点四、向量共线问题 16．已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则 . 【答案】2 【详解】因为与共线，所以， 即，又不共线，所以，所以. 故答案为： 17．如图，在中，已知，，试判断向量与向量是否共线，并简述理由. 【答案】共线，理由见解析 【详解】由， 所以向量与向量共线. 18．已知，是两个不共线的向量，命题甲：向量与共线；命题乙: 则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】对于命题甲，可设，即， 则，所以； 对于命题乙，时，，则有向量与共线. 故甲是乙的充要条件. 故选：C. 19．设，，分别是的边，，上的点，且，，，则与之间的关系为（    ） A．反向平行 B．同向平行 C．一定不平行 D．不能判断两个向量的关系 【答案】A 【解析】利用向量的线性运算，求得，由此判断出两者反向平行. 【详解】 故选：A. 【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量共线的条件，属于基础题. 20．已知向量，不共线，，，如果，那么（    ）． A．且与同向 B．且与反向 C．且与同向 D．且与反向 【答案】D 【详解】由，不共线可知，，∴， ∵，， ∴存在实数，使得，即， ∴，∴． 综上，，与反向， 故选：D． 用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路： （1）若,且与所在的直线无公共点,则这两条直线平行. （2）若,且与所在的直线有公共点,则这两条直线重合. 重难点五、三点共线问题 21．已知两个非零向量与不共线. (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和共线. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）由可得； 显然，即共线， 又因为它们有公共点， 所以可得三点共线； （2）若和共线，且向量与不共线， 则存在实数满足，因此， 解得； 即存在，使和共线. 22．已知向量不共线，且．若三点共线，则实数 ． 【答案】1 【详解】依题意，， 故， 因为三点共线，可设， 则， 所以，解得， 故． 故答案为：1 23．已知是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【详解】， 所以，所以三点共线，即B对． 同理，其它各项对应三点均不共线. 故选：B. 24．若A、B、C三点共线，对任意一点O，有成立，则 . 【答案】或，. 【详解】因为A、B、C三点共线，则， 则，则或，. 故答案为：或，. 25．已知与为非零向量，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故选：D 若，则三点共线 重难点六、线性运算在几何问题中的应用 26．（多选）正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】在正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且． 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，， 若，则，不合题意，D错误． 故选：AC 27．中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为 . 【答案】9 【详解】如下图所示： 因为，为边的中点，所以； 又三点共线，所以； 则， 当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值为9. 故答案为：9 28．如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以． 故选：A. 29．（多选）已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】    连接，因为为边的中点，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故A正确；BC错误； 由，可得，所以，故D正确. 故选：AD. 30．（多选）已知中，点是边的中点，点是所在平面内一点且满足，则下列结论正确的有（    ） A．点是中线的中点 B．点在中线上但不是的中点 C．与的面积之比为1 D．与的面积之比为 【答案】ACD 【详解】因为的中点为，所以. 又，所以， 所以，即为的中点，A正确，B错误. 由A正确可知，，所以C，D正确. 故选：ACD. ①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三向量之间的关系; ②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律;③注意在封闭图形中利用多边形法则. 重难点七、向量共线定理的推论 31．如图，在中，点是线段上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为三点共线，所以设， 即，整理得：， 因为，所以，解得： 故选：C 32．如图，已知分别是的中点，交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为分别是的中点，易知， 设， 由向量加法的平行四边形法则可得， 由于三点共线，则，解之得 从而=， 所以，则 故选：A. 33．在中，，点P在CD上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以， 又P，C，D三点共线，所以，得. 故选：D.    34．如图在△ABC， ， P是BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，故， 因为三点共线，故，解得：. 故选：C 35．在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于是的中点，故. 而点在直线上，故，即. 从而，当且仅当等号成立. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于采用恰当的配凑以运用基本不等式，从而求得最值. 设是平面内的任意一点，点共线的充要条件是存在唯一实数使得. 重难点八、三角形重心、内心的向量表示 36．已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示， 设为中点， 又为的重心， 则， 故选：B. 37．（多选）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（    ） A．三点共线 B． C． D．点在的内部 【答案】AC 【详解】 ， 因为点为的重心， 所以，所以， 所以三点共线，故A正确，B错误； ， 因为， 所以，即，故C正确； 因为， 所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误； 故选：AC． 38．已知的重心为，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设分别是的中点， 由于是三角形的重心， 所以. 故选：B. 39．已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【详解】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 40．已知点O是的内心，，，则 . 【答案】 【详解】连接并延长交于点，连接，因为O是的内心，所以为的平分线， 所以根据角平分线定理可得，所以， 因为三点共线，所以设， 则，因为， 所以. 故答案为： 重心向量式:设是的重心,为平面内任意一点,则有①;②； 内心向量式：若是的内心,则有① ②, 一、单选题 1．在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，. 故选：A. 2．化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 3．在中，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】， 则存在唯一的实数使，即， 所以． 故选：. 4．在中，记，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知有. 故. 故选：A. 5．在正六边形中，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】设正六边形的中心为， 所以，又因为，， 所以. 故选：A 6．已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点，连接，则， 由，知为的重心，则在上， 所以，而， 所以，，，四点共线，所以，即， 不妨令，则，，则， 所以．    故选：D． 二、多选题 7．在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】BC 【详解】AB选项，若，则， 所以四边形是平行四边形，而E，F分别为AD，BC的中点， 所以，但与是否垂直无法判断， 所以A选项错误，B选项正确. CD选项，连接， 则， 所以C选项正确，D选项错误. 故选：BC 8．已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】如图，为的重心，D为BC的中点， 因三角形重心到三顶点的距离不一定相等，A不正确； ，则，B正确； ，C正确. ，D不正确； 故选：BC 三、填空题 9．已知单位向量，…，，则的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【详解】当单位向量，…，方向相同时， 取得最大值， ； 当单位向量，…，首尾相连时，， 所以的最小值为. 故答案为：； 10．在平行四边形中，，且，则平行四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】在平行四边形中，，， 因为，即，所以四边形为矩形， 又，所以四边形为正方形，所以四边形的面积为.    故答案为： 11．已知所在平面内一点满足，则 ． 【答案】5 【详解】如图，取的中点，则， 故，故、、三点共线， 故，    故答案为：5 四、解答题 12．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）； （2） . 13．如图所示，O为△ABC内一点，，，，求作：.    【答案】作图见解析 【详解】方法一　以为邻边作，连接，，    则，. 方法二　作    连接，则， 14．已知点G为的重心． (1)求； (2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值． 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）点G为的重心， ，，， ， （2）点G为的重心， ， ， ， ， ， ， ， 与共线， 存在实数，使得， 则， 根据向量相等的定义可得， 消去可得， 两边同除，整理得. 15．在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    【答案】 【详解】如图，连接，   中，，， 点P满足， ， ， 又， ， 又三点共线， ， ， 当且仅当，即时取“”， 则的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.2 向量的加减及数乘运算 一、加法运算及几何意义 五、三点共线问题 二、减法运算及几何意义 六、线性运算在几何问题中的应用 三、乘法运算及几何意义 七、向量共线定理的推论 四、向量共线问题 八、三角形重心、内心的向量表示 知识点1向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 知识点2相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 知识点3向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 知识点4向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 知识点5共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 重难点一、加法运算及几何意义 1．设是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京（如图），这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.从物理学的角度来看，上面实例中位移说明了什么？体现了向量的什么运算？    3．如图所示， （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 4．如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 5．某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北走了450m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点．（1表示100m） (1)作出向量、、； (2)求． 向量加法的三角形法则的作法：①把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示); ②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和 向量加法的平行四边形法则的作法：①把两个已知向量的始点平移到同一点; ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形; ③与已知向量同起点的对角线表示的向量就是这两个已知向量的和 重难点二、减法运算及几何意义 6．在中，（    ） A． B． C． D． 7．向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 8．在矩形中，，，则 ， ． 9．如图，在各小题中，已知，分别求作． 10．在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 向量减法的三角形法则作图的方法：平移向量使之共起点，连接两向量的终点，方向指向被减向量 重难点三、乘法运算及几何意义 11．下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 12．非零向量与方向 ，且的长度是的 倍. 13．化简： (1)； (2)； (3) 14．已知，求. 15．（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（    ） A．当时，的方向与的方向一定相反 B．当时，的方向具有任意性 C． D．当时，的方向与的方向一定相同 （1）当时,与同向;当时, 与反向(). （2）当且时,或当且时, ,注意是,而不是. 重难点四、向量共线问题 16．已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则 . 17．如图，在中，已知，，试判断向量与向量是否共线，并简述理由. 18．已知，是两个不共线的向量，命题甲：向量与共线；命题乙: 则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．设，，分别是的边，，上的点，且，，，则与之间的关系为（    ） A．反向平行 B．同向平行 C．一定不平行 D．不能判断两个向量的关系 20．已知向量，不共线，，，如果，那么（    ）． A．且与同向 B．且与反向 C．且与同向 D．且与反向 用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路： （1）若,且与所在的直线无公共点,则这两条直线平行. （2）若,且与所在的直线有公共点,则这两条直线重合. 重难点五、三点共线问题 21．已知两个非零向量与不共线. (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和共线. 22．已知向量不共线，且．若三点共线，则实数 ． 23．已知是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 24．若A、B、C三点共线，对任意一点O，有成立，则 . 25．已知与为非零向量，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 若，则三点共线 重难点六、线性运算在几何问题中的应用 26．（多选）正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，则（    ） A． B． C． D． 27．中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为 . 28．如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 29．（多选）已知是所在平面内一点，为边的中点，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 30．（多选）已知中，点是边的中点，点是所在平面内一点且满足，则下列结论正确的有（    ） A．点是中线的中点 B．点在中线上但不是的中点 C．与的面积之比为1 D．与的面积之比为 ①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三向量之间的关系; ②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律;③注意在封闭图形中利用多边形法则. 重难点七、向量共线定理的推论 31．如图，在中，点是线段上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 32．如图，已知分别是的中点，交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 33．在中，，点P在CD上，且，则（    ） A． B． C． D． 34．如图在△ABC， ， P是BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 35．在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 设是平面内的任意一点，点共线的充要条件是存在唯一实数使得. 重难点八、三角形重心、内心的向量表示 36．已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 37．（多选）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（    ） A．三点共线 B． C． D．点在的内部 38．已知的重心为，则向量（    ） A． B． C． D． 39．已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 40．已知点O是的内心，，，则 . 重心向量式:设是的重心,为平面内任意一点,则有①;②； 内心向量式：若是的内心,则有① ②, 一、单选题 1．在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 3．在中，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．在中，记，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．在正六边形中，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 6．已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 8．已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知单位向量，…，，则的最大值是 ，最小值是 ． 10．在平行四边形中，，且，则平行四边形的面积为 ． 11．已知所在平面内一点满足，则 ． 四、解答题 12．化简： (1)； (2)． 13．如图所示，O为△ABC内一点，，，，求作：.    14．已知点G为的重心． (1)求； (2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值． 15．在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    2 学科网（北京）股份有限公司 $$