专题9.1 向量概念（四个重难点突破）-2024-2025学年高一数学下学期重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

专题9.1向量概念 一、平面向量的基本概念 三、平行向量与相等向量 二、平面向量的表示 四、平面向量的简单应用 知识点1向量的概念及表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示: （1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.两个特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 知识点2向量间的关系 1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. 2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 重难点一、平面向量的基本概念 1．（多选）下列物理量中，不是向量的是（    ） A．质量 B．速度 C．力 D．路程 2．（多选）下列说法正确的是（    ） A．向量向量长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动 C．零向量都相等 D．向量可以比较大小 3．如果将平面内所有单位向量的起点放在同一点，那么它们的终点构成的图形是（    ） A．正方形 B．圆 C．线段 D．点 4．下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图，以方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？ 解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题. 重难点二、平面向量的表示 6．（多选）下列说法错误的是（    ） A．零向量没有方向 B．零向量与零向量共线 C．若，，则 D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 7．已知，若，则 . 8．小明从学校的教学楼出发，向北走了到达图书馆，后从图书馆向南偏东方向走了到食堂就餐，用餐后又从食堂向西走了来到操场运动．请用向量表示小明每次的位移以及从开始到最后的位移． 9．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛． （1）试作出向量； （2）求． 10．（1）如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点且模与相等的向量共有多少个？（除外） （2）如果扩展到的矩形呢？（除外） 向量的两种表示方法： （1）几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点. （2）字母表示法:为了便于运算,可用字母表示,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量,如等. 重难点三、平行向量与相等向量 11．（多选）下列说法错误的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与是共线向量，则四点共线 C．若非零向量与共线，则 D．若，则 12．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度为零，方向是任意的 D．就是所在的直线平行于所在的直线 13．设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 14．如图，在中，可以用同一条有向线段表示的向量是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 15．如图，分别是各边的中点，分别写出图中与、、相等的向量. （1）寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量. （2）寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是与已知向量方向相同的向量. 重难点四、平面向量的简单应用 16．已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 17．在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 18．如图，四边形中，，则必有（    ） A． B． C． D． 19．设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（    ） A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．共起点的向量 20．如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：. 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 2．下列说法正确的是（    ） A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； B．若，则与的长度相等且方向相同或相反； C．若，且与的方向相同，则 D．若，则与方向相同或相反 3．如图，在中，向量是（    ） A．有相同起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等的向量 4．若四边形中，，且，则对该四边形形状的说法中错误的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 5．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 6．若为任一非零向量，的模为1，给出下列各式：①；②﹔③；④.其中正确的是（    ） A．①④ B．③ C．①②③ D．②③ 二、多选题 7．下列命题正确的是（   ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若都为非零向量，则使 成立的条件是与反向共线 D．若，，则 8．如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 9．已知A，B，C是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则 . 10．已知在四边形中，且，则该四边形内切圆的面积是 . 11．给出下列命题： ①是向量的必要不充分条件； ②向量，相等的充要条件是； ③若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中正确的是 .（填序号） 四、解答题 12．中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    13．在如图所示的网格图中，每个小方格的边长为1个单位长度，请你用直尺和圆规画出下列向量．    (1)； (2)，使； (3)，使； (4)，使． 14．如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，试求集合T中元素的个数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.1向量概念 一、平面向量的基本概念 三、平行向量与相等向量 二、平面向量的表示 四、平面向量的简单应用 知识点1向量的概念及表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示: （1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.两个特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 知识点2向量间的关系 1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. 2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 重难点一、平面向量的基本概念 1．（多选）下列物理量中，不是向量的是（    ） A．质量 B．速度 C．力 D．路程 【答案】AD 【详解】因为向量是既有大小又有方向的量，而质量和路程只有大小， 故选：AD. 2．（多选）下列说法正确的是（    ） A．向量向量长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动 C．零向量都相等 D．向量可以比较大小 【答案】ABC 【详解】选项A：向量与向量为相反向量，方向相反，长度相等，A正确； 选项B：因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，B正确； 选项C：零向量都相等，C正确； 选项D：向量不可以比较大小，D错误． 故选：ABC 3．如果将平面内所有单位向量的起点放在同一点，那么它们的终点构成的图形是（    ） A．正方形 B．圆 C．线段 D．点 【答案】B 【详解】把所有单位向量的起点平行移动到同一点，向量终点的集合是距离点为单位长的点，那么它们的终点构成的图形是圆. 故选：B. 4．下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量； （2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的； （3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数； （4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量. 故选：A. 5．如图，以方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？ 【答案】答案见解析 【详解】模为的向量；模为的向量；模为的向量；模为的向量；模为的向量；模为的向量共有个模， 下面对方向分析，正方形的边对应的向量共有个方向，边长为的正方形的对角线对应的向量共个方向；的矩形的对角线对应的向量共个方向；的矩形对角线对应的向量共有个方向，所以共有个方向 解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题. 重难点二、平面向量的表示 6．（多选）下列说法错误的是（    ） A．零向量没有方向 B．零向量与零向量共线 C．若，，则 D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 【答案】AD 【详解】对于A，根据零向量的性质可知，零向量可以是任意方向的，故A错误； 对于B，根据零向量的性质可知，零向量与任意向量共线，故B正确； 对于C，根据向量的性质可知，若，则，故C正确； 对于D，温度只有正负，没有方向，则温度为数量，故D错误； 故选：AD. 7．已知，若，则 . 【答案】 【详解】由勾股定理可知，，即. 故答案为：. 8．小明从学校的教学楼出发，向北走了到达图书馆，后从图书馆向南偏东方向走了到食堂就餐，用餐后又从食堂向西走了来到操场运动．请用向量表示小明每次的位移以及从开始到最后的位移． 【答案】答案见解析 【详解】如图所示， 向量表示从教学楼到图书馆的位移； 向量表示从图书馆到食堂的位移； 向量表示从食堂到操场的位移； 向量表示从开始到最后的位移． 9．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛． （1）试作出向量； （2）求． 【答案】（1）作图见解析；（2）400（海里）． 【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求． （2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又， ∴在中，，故为平行四边形， ∴，则（海里）． 10．（1）如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点且模与相等的向量共有多少个？（除外） （2）如果扩展到的矩形呢？（除外） 【答案】（1）个；（2）个 【详解】（1）每个的矩形中有个符合要求的向量，这样的矩形共有个，则共有个向量的模与相等，但本身除外，故共有39个； （2）每个的矩形中有个符合要求的向量，这样的矩形共有个，则共有个向量的模与相等，但本身除外，故共有39个. 向量的两种表示方法： （1）几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点. （2）字母表示法:为了便于运算,可用字母表示,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量,如等. 重难点三、平行向量与相等向量 11．（多选）下列说法错误的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与是共线向量，则四点共线 C．若非零向量与共线，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误； 对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误； 对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误； 对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确． 故选：ABC. 12．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度为零，方向是任意的 D．就是所在的直线平行于所在的直线 【答案】C 【详解】A选项，长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确； B选项，方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确； C选项，零向量的长度为零，方向是任意的，C正确； D选项，当时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确． 故选：C． 13．设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【答案】(1) (2) (3)、、、、、. 【详解】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以； （2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以 （3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以、、、、、. 14．如图，在中，可以用同一条有向线段表示的向量是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量； 对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量， 对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量； 对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量； 所以只有向量和可以用同一条有向线段表示. 故选：B. 15．如图，分别是各边的中点，分别写出图中与、、相等的向量. 【答案】，，. 【详解】∵分别是各边的中点， ∴，，，，， ∴；；. （1）寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量. （2）寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是与已知向量方向相同的向量. 重难点四、平面向量的简单应用 16．已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 【答案】A 【详解】由题意，四边形中， 因为，可得且，所以四边形为平行四边形， 又因为，可得， 所以四边形为菱形. 故选：A. 17．在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【答案】D 【详解】由， 知四边形的对角线相互平分且相等， 所以四边形为矩形. 故选：D 18．如图，四边形中，，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】四边形中，，则且， 所以四边形是平行四边形； 则有，故A错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确； 由图可知，C错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误． 故选：B． 19．设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（    ） A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．共起点的向量 【答案】B 【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量， 到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量. 故选：B 20．如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：. 【答案】见解析 【解析】根据平行四边形及向量相等的定理即可证明； 【详解】解：因为，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以且. 又与的方向相同，所以. 同理可证，四边形是平行四边形，所以. 因为，，所以， 又与的方向相同，所以 【点睛】本题考查向量相等的定义的应用，属于基础题. 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于选项A：因为为向量，均为数量，故A错误； 对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知，即有，故B正确； 对于选项C：例如，满足且，但，故C错误； 对于选项D：由零向量可知：对任意，均有，即不一定成立，故D错误； 故选：B 2．下列说法正确的是（    ） A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； B．若，则与的长度相等且方向相同或相反； C．若，且与的方向相同，则 D．若，则与方向相同或相反 【答案】C 【详解】对于A，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故A错误： 对于B，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故B错误； 对于C，因为，且与同向，由两向量相等的条件，可得，故C正确； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：C． 3．如图，在中，向量是（    ） A．有相同起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等的向量 【答案】B 【详解】对于A，根据图形，可得向量，，不是相同起点的向量，∴A错误； 对于B，因为O是圆心，那么向量，，的模长是一样的，∴B正确； 对于C，共线向量知识点是方向相同或者相反的向量，∴C错误； 对于D，相等的向量指的是大小相等，方向相同的向量，∴D错误， 故选：B． 4．若四边形中，，且，则对该四边形形状的说法中错误的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【详解】四边形中，则其为平行四边形， 若同时满足，即邻边相等，就是菱形， 最后，即对角线相等，就满足了矩形的条件. 于是三项都满足的四边形为正方形，故A，B，D正确，C错误. 故选：C. 5．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错； 因为，则，则，则， 即，即， ，则，，即为的中点， 所以，，C错，D对. 故选：D. 6．若为任一非零向量，的模为1，给出下列各式：①；②﹔③；④.其中正确的是（    ） A．①④ B．③ C．①②③ D．②③ 【答案】B 【详解】对于①，的大小不能确定；对于②，两个非零向量的方向不确定；对于④，向量的模是一个非负实数，只有③正确． 故选：B． 二、多选题 7．下列命题正确的是（   ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若都为非零向量，则使 成立的条件是与反向共线 D．若，，则 【答案】BCD 【详解】A.零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； B.由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确； C.因为，都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与反向共线时才成立，故C正确； D.由向量相等的定义知D正确； 故选：BCD. 8．如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由正六边形的结构特征可知， 与方向相同，长度相等，，故选项A正确， 与方向相反，，故选项B正确， 由正六边形的性质可知，，故选项C正确， 与不共线，所以不会相等，故选项D错误， 故选：ABC． 三、填空题 9．已知A，B，C是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则 . 【答案】 【详解】与不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行. 故答案为：. 10．已知在四边形中，且，则该四边形内切圆的面积是 . 【答案】/ 【详解】由可知四边形为平行四边形，由 可知四边形为菱形，为等边三角形，故， 菱形的内切圆圆心O在对角线的中点处，令其半径为r， 则，所以. 故答案为： 11．给出下列命题： ①是向量的必要不充分条件； ②向量，相等的充要条件是； ③若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中正确的是 .（填序号） 【答案】①③ 【详解】对于①，由，而显然. 从而是向量的必要不充分条件，故①正确. 对于②，向量，不相等，但满足且，故②错误. 对于③，因为，则且， 又不共线，所以四边形是平行四边形. 反之，在平行四边形中，由于平行四边形对边平行且长度相等，故有. 所以是四边形为平行四边形的充要条件，故③正确. 故答案为：①③. 四、解答题 12．中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    【答案】，，，这三个向量不相等，马在点走一步的向量为：． 【详解】解：，，，这三个向量的方向不同，不相等， 如图，马在点走一步的向量为：．    13．在如图所示的网格图中，每个小方格的边长为1个单位长度，请你用直尺和圆规画出下列向量．    (1)； (2)，使； (3)，使； (4)，使． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【详解】（1）    （2）答案不唯一，向量的终点在以为圆心2为半径的圆弧上即可.    （3）答案不唯一，向量只要和向量同向等长即可.    （4）答案不唯一，向量只要和向量平行即可.    14．如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，试求集合T中元素的个数． 【答案】12 【详解】由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个， 即，，，；，，，； ，，，；，，，； ，，，. 由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝. 又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$