精品解析：山东省泰安市新泰第一中学老校区（新泰中学）2024-2025学年高二上学期期末模拟考试数学试题

新泰中学2023级高二上学期期末模拟考试 数学试题 2025.1 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知为等差数列的前项和，，则（ ） A. 240 B. 60 C. 180 D. 120 3. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 4. 直线：与直线：平行，则两直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 一条光线从点射出，经直线：反射后与圆：相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 不存在 7. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆相交于四点，从左往右依次为，若成等差数列，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，则下列说法正确的为（ ） A. 若该曲线是双曲线方程，则，或 B. 若，则该曲线为椭圆 C. 若该曲线离心率为，则 D. 若该曲线为焦点在轴上双曲线，则离心率 10. 设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 11. 已知在三棱台中，平面，，，.以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离为 三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 已知，则______. 13. 已知数列满足，且，若，则正整数为______. 14. 如图,椭圆的右焦点为,过的直线交椭圆于两点,点是点关于原点的对称点,若且,则椭圆的离心率为__________． 四、解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知圆经过点和，且圆心在直线：上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点作圆的切线，求该切线方程. 16. 已知正三棱柱中，，，，分别为，，的中点. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的正弦值. 17. 双曲线：，已知是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为1. （1）求双曲线的离心率； （2）若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 18. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 19. 已知椭圆的离心率是，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于A、B两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰中学2023级高二上学期期末模拟考试 数学试题 2025.1 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，代入即可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C 2. 已知为等差数列的前项和，，则（ ） A. 240 B. 60 C. 180 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，所以， 所以， 所以． 故选：D． 3. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 【答案】D 【解析】 【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得. 【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力. 4. 直线：与直线：平行，则两直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行求出，由公式求平行线间距离即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以且， 解得， 所以直线：与直线：间的距离为： . 故选：B 5. 已知数列满足，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推关系列举一些项，进而根据规律猜想得，即可求解. 【详解】由可得， 由，得，， ，， 由此猜想：， 当时，，此时，， 满足，故， 因此. 故选：C. 6. 一条光线从点射出，经直线：反射后与圆：相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】先求得点关于直线的对称点，再设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由题意知切线的斜率存在，设切线方程为：，即， 由，可得，半径， 则圆心到切线的距离等于半径，得， 解得，所以. 所以反射光线所在直线的斜率为或. 故选：B. 7. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，是平面的法向量，利用向量法求出线面角的正弦值即可求解. 【详解】 过点作的垂线，与交于点， 因为平面，又因为平面， 所以，又，平面， 所以平面, 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 所以，是平面的法向量， 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以， 所以直线与平面所成的角为. 故选：. 8. 已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆相交于四点，从左往右依次为，若成等差数列，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆的圆心，的长，设出直线的解析式，令直线和抛物线联立即可求出直线的斜率. 【详解】由题意， 在圆中, ，圆心, 半径为1, 在抛物线中，焦点为， ∴圆的圆心为抛物线的焦点， ∵圆心的直线与抛物线和圆相交于四点，从左往右依次为， ∴为圆的直径，即， ∵成等差数列，则， 解得：， ∵直线过，两点是过圆心点的直线与抛物线交点， 设的方程为,， 联立和，并化简得：， ∴， ∴， ∴，解得：， 故选：D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，则下列说法正确的为（ ） A. 若该曲线是双曲线方程，则，或 B. 若，则该曲线为椭圆 C. 若该曲线离心率为，则 D. 若该曲线为焦点在轴上双曲线，则离心率 【答案】AD 【解析】 【分析】由椭圆、双曲线的标准方程及离心率即可得到答案. 【详解】对于A选项，，所以，或，A正确. 对于B选项，该曲线为椭圆时,满足，所以，B错误. 对于C选项，若该曲线离心率为，该曲线表示椭圆； 若，则离心率，解得； 若，则离心率，解得，C错误. 对于D选项，由题意知，所以， 离心率，D正确. 故选：AD. 10. 设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意得，，可判断；由可判断；由可判断；可判断. 【详解】对于：由，，则，所以， 若时，由，可得， 所以，与已知条件矛盾，所以，故正确； 对于：由知，所以，故不正确； 对于：由知等比数列的公比为，且， 所以数列为单调递减数列，所以的最大值为，故不正确； 对于：由知，所以，故正确. 故选：. 11. 已知在三棱台中，平面，，，.以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意求出点和的坐标即可得的坐标可判断A；求出和的坐标，计算数量积可判断B；求出与的坐标，利用夹角公式可判断C；利用点到直线的距离的向量求法可判断D. 【详解】根据题意可得，，，则，故A正确； ，， 所以 ，，由，则， 则， 因为，所以，故B正确； ，，则，， 设异面直线与所成的角为，， 则，故C错误； ，则点到直线的距离为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 已知，则______. 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】由解析式求出，代入即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知数列满足，且，若，则正整数为______. 【答案】12 【解析】 【分析】由已知可得，，然后利用累加法可求得，再代入可求得答案. 【详解】因为，所以令，则， 因为，所以，得， 由，得， 所以当时， ， 当时，符合上式， 所以， 因为，所以， 所以，解得. 故答案为：12 14. 如图,椭圆的右焦点为,过的直线交椭圆于两点,点是点关于原点的对称点,若且,则椭圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作另一焦点,连接和和,则四边形为平行四边,进一步得到三角形为等腰直角三角形,设,求出,在三角形 中由勾股定理得,即可求出,则答案可求. 【详解】作另一焦点,连接和和,则四边形为平行四边, 所以,且,则三角形为等腰直角三角形, 设 ,则,解得, ,在三角形 中由勾股定理得, 所以, 故答案为:. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,属中档题. 四、解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知圆经过点和，且圆心在直线：上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点作圆的切线，求该切线方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先设圆的标准方程，再代入点的坐标及圆心在直线上即可求参； （2）设直线方程，利用直线与圆的位置关系计算即可求解. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 ，解得： ， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为圆的半径， 即，解得，此时. 综上，直线l的方程为或. 16. 已知正三棱柱中，，，，分别为，，的中点. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形、线面垂直的性质可得、，根据线面垂直的判定有面，再由线面垂直的性质、勾股定理有、，最后根据线面、面面垂直的判定证明结论. （2）构建空间直角坐标系，求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求法向量夹角余弦值，进而求二面角的正弦值. 【小问1详解】 在正中，为的中点，则， 因为面，面，则， 而，所以面，又平面 所以， 在中，连接， ，，，分别为，，的中点， 所以，， ，即， 又，平面， 又平面， 平面平面. 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， ， 由（1）知：平面的一个法向量为 设面的法向量为，则， 令，得， . 则二面角的正弦值为. 17. 双曲线：，已知是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为1. （1）求双曲线的离心率； （2）若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将坐标代入双曲线方程，结合直线的斜率公式，化简可得，再由离心率公式即可求解； （2）由题意可得，，双曲线的方程为，设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，运用消元法和代入法，可得的方程，即可得所求直线方程. 【小问1详解】 因为是双曲线上一点， 可得，即为. 由题意可得，，， 可得，即有. 【小问2详解】 由题意可得，，则双曲线的方程为， 易知直线斜率存在，设直线的方程为，， 联立直线与双曲线的方程，可得， 设，，则，①， 又，可得②， 由①②可得，， 代入①可得，解得， 则直线的方程为. 18. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【小问1详解】 依题意得，解得 ，即； 【小问2详解】 ①由， ， ， 所以 ， ②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立， 即转化为对一切恒成立， 令，则 又 当时，；时， 所以，且， 则 所以实数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离构造函数，差比判断函数的单调性. 19. 已知椭圆的离心率是，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于A、B两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）2. 【解析】 【分析】(1)根据已知条件列出关于a、b、c的方程组即可求得椭圆标准方程； (2)直线l和x轴垂直时，根据已知条件求出此时△AOB面积；直线l和x轴不垂直时，设直线方程为点斜式y＝kx＋t，代入椭圆方程得二次方程，结合韦达定理和弦长得k和t的关系，表示出△AOB的面积，结合基本不等式即可求解三角形面积最值. 【小问1详解】 由题知，解得， ∴椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 当轴时，位于轴上，且， 由可得，此时； 当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，， 由，得. 得，， 从而 已知，可得. ∵ . 设到直线的距离为，则， 结合化简得 此时的面积最大，最大值为2. 当且仅当即时取等号， 综上，的面积的最大值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $