第10章 二元一次方程组单元测试培优卷（新教材）2024-2025学年七年级数学下册人教版2024

第10章 二元一次方程组单元测试培优卷 一、选择题（共10小题） 1．（2024春•沙坪坝区期中）下列方程是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用二元一次方程的定义（含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程）分析得出答案． 【解析】、含有未知数的项的最高次数为2，不符合二元一次方程定义，故此选项不合题意； 、只含有1个未知数，不符合二元一次方程定义，故此选项不合题意； 、符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故此选项符合题意； 、不是整式方程，所以不是二元一次方程，故此选项不合题意． 故选． 2．（2024秋•观山湖区期末）若是关于和的二元一次方程的解，则的值是　　 A． B．2 C． D．3 【答案】 【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入关于和的二元一次方程中即可求出的值． 【解析】把代入关于和的二元一次方程中，得， 解得， 故选． 3．（2023秋•万安县期末）已知二元一次方程组，则等于　　 A．2 B．3 C． D．5 【答案】 【分析】①②得出，方程两边都除以3即可求出答案． 【解析】， ①②得：， ， 故选． 4．（2023秋•成安县期末）已知二元一次方程组，把（2）代入（1），整理，得　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由代入消元法即可得出答案． 【解析】， 把（2）代入（1）得：， 整理，得：； 故选． 5．（2024春•北湖区校级期中）解以下两个方程组：①②较为简便方法的是　　 A．①②均用代入法 B．①②均用加减法 C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法 【答案】 【分析】根据方程的特点进行解答． 【解析】①中的方程中含的项互为相反数，用加减法比较合适；②是用表示的形式，用代入法解答合适； 故选． 6．（2024春•莲都区期末）用加减法解方程组时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形．以下四种变形中正确的是　　 ①；②；③；④． A．②③ B．②④ C．①③ D．①② 【答案】 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解析】若将的系数变为相等的，变形为； 若将的系数变为相反数，变形为； 综上，变形正确的是②③， 故选． 7．（2024春•儋州期末）方程组 的解为，则被遮盖的前后两个数分别为　　 A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、4 【答案】 【分析】根据方程组的解满足方程组中的每个方程，代入求值可求出被遮盖的前后两个数． 【解析】将代入第二个方程可得， 将，代入第一个方程可得 被遮盖的前后两个数分别为：5，1 故选． 8．（2024秋•海淀区校级期末）已知是二元一次方程2x﹣y＝0的三个解，，，是二元一次方程x+2y＝5的三个解，则二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的解的定义进行判断即可． 【解析】由二元一次方程组的解的定义可知，这个方程组的解为， 故选B． 9．（2024秋•太原期末）某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了，总支出比去年减少了，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的，表示的未知量分别为　　 A．今年的总收入为万元，总支出为万元 B．今年的总支出为万元，总收入为万元 C．去年的总收入为万元，总支出为万元 D．去年的总支出为万元，总收入为万元 【答案】 【分析】分析方程组可得方程组中的，表示的未知量分别为：去年的总收入为万元、总支出为万元，根据去年的利润（总收入总支出）为200万元，今年的利润为780万元，即可列方程组． 【解析】设去年的总收入为万元、总支出为万元， 由题意得，， 故选． 10．（2024春•九龙坡区期末）已知关于，的二元一次方程组的解为，且，则的值为　　 A．1 B． C．0 D．2024 【答案】 【分析】根据题意得出方程组的解为，求出、的值，然后代入计算即可． 【解析】关于，的二元一次方程组的解为， 的解为， 解得， ， 故选． 二、填空题（共6小题） 11．（2024秋•沙坪坝区校级期末）若关于，的方程是二元一次方程，则的值为　　． 【答案】． 【分析】由二元一次方程的定义可知，的次数为1，据此可列出方程，并求解． 【解析】关于，的方程是二元一次方程， 且， 解得， 故答案为：． 12．（2024春•丰城市校级月考）将三元一次方程组消去未知数，得到的二元一次方程组为 　　． 【答案】． 【分析】利用加减消元法解三元一次方程组即可得． 【解析】， 由②③得：④， ， 故答案为：． 13．（2024春•娄星区校级期中）已知，则　1　． 【答案】1． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解析】， ， ，， ． 故答案为：1． 14．（2024春•怀柔区期末）下面是小明同学解方程组过程的框图表示，请你帮他补充完整： 其中，①为 　代入　，②为 　　，③为 　　． 【答案】代入，消去，解得． 【分析】利用代入法求解二元一次方程组的一般步骤，即可得出答案． 【解析】由代入法求解二元一次方程组的步骤可知： ①为代入，②为消去，③为解得． 故答案为：代入，消去，解得． 15．（2024•谷城县一模）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为　　． 【答案】 【分析】设买美酒斗，买普通酒斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组． 【解析】依题意得：， 故答案为：． 16．（2024春•西湖区校级期中）已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 　①③　． ①当这个方程组的解、的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． 【答案】①③ 【分析】把两个方程相加，可以得出，从而可得，即可判断①，当时，原方程组的解满足，而方程的解满足，即可判断②，先解方程组，可得，然后再计算的值，即可判断③，将方程组中的字母消去，即可判断④． 【解析】， ①②得：， ， ①当这个方程组的解、的值互为相反数时，即， ， ， 则第一个结论正确， ②原方程组的解满足：， 当时，， 而当时，方程的解满足， 则第二个结论不正确， ③， 解得：， ， 无论取什么实数，的值始终不变， 则第三个结论正确， ④， 由方程①得：③， 把方程③代入方程②得： ， 解得：， 则第四个结论不正确， 正确的结论有：①③， 故答案为：①③． 三．解答题（共8小题） 17．（2024春•玄武区校级月考）解方程组： （1）用代入消元法； （2）用加减消元法； （3）； （4）． 【分析】（1）利用代入消元法求解可得； （2）利用加减消元法求解可得； （3）利用加减消元法求解可得； （4）利用加减消元法求解可得． 【解析】， 将①代入②，得：， 解得：， 将代入①，得：， 所以方程组的解为； （2）整理得， ①②，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， 所以方程组的解为； （3）， ①②，得：， 解得：， ①②，得：， 解得：， 所以方程组的解为； （4）设，则， ， ， ， ， ， ②①得：④， ③④得：， 解得：， 将代入②，得：， 将代入③，得：， 所以方程组的解为． 18．（2024春•舒兰市校级期末）已知是关于，的二元一次方程的一组解． （1）求的值； （2）请用含有的代数式表示． 【分析】（1）将代入，得出关于方程，解关于的方程即可； （2）把代入得，将看作未知数，看作已知数，解方程即可． 【解析】（1）将代入，得 ， 解得． （2）， 原方程可变为， ， ． 19．（2024春•聊城期中）黄玉骑自行车去香山，她先以8千米时的速度走平路，而后又以4千米时的速度上坡到达香山，共用了1.5小时，返回时，先以12千米时的速度下坡，而后以9千米时的速度经过平路，回到原出发点，共用去55分钟，求从出发点到香山的路程是多少千米？ 【分析】设平路为千米，坡路为千米，根据往返的用时不同可得到两个关于、的方程，求方程组的解即可，然后求、的和即得从出发点到香山的路程． 【解析】设平路为千米，坡路为千米，根据题意得： ， 解得：． 则（千米）． 答：从出发点到香山的路程是9千米． 20．（2024春•潮南区期末）已知关于，的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的，得到的方程组的解为，乙由于看错了，得到方程组的解为． （1）求，的值； （2）若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 【分析】（1）根据甲、乙看错的数，确定方程组的解是原方程组的哪一个方程的解，进而求出、的值即可； （2）根据、的值求出原方程组的解，再代入方程组进行适当的变形即可． 【解析】（1）由于甲看错了关于，的二元一次方程组中的，得到的方程组的解为， 满足方程，即， 解得， 由于乙看错了关于，的二元一次方程组中的吧，得到的方程组的解为， 满足方程，即， 解得， 答：；； （2）当，时，原方程可变为， 解得， 把代入方程组得，， 解得， ． 21．（2024春•平湖市期末）已知关于，的方程组，其中，为整数． （1）若方程组有无穷多组解，求实数与的值； （2）当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，根据的系数讨论方程组有无穷多组解时的取值即可； （2）要分类讨论，即和，再结合整数解的问题，进一步分析作答． 【解析】（1）依题意， 由①得，，③ 将③代入②得， 整理得出，④ 方程组有无穷多组解， 且时， 即，则， ， （2）解：没有，理由如下： 由（1）得， ， ， 整理得， ①当时，即，， 此时方程组为 则， ，为整数， 原方程没有整数解， ②当时，即，此时， 若时，显然无解， 若时，，代入得， 为整数， 不可能为整数， 原方程无整数解； 综上：原方程没有整数解． 22．（2024春•衡山县月考）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： （1）解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 　　； （2）如何解方程组呢，我们可以把，分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解； （3）若关于，的方程组，则方程组的解为 　　． 【分析】（1）用加减消元法即可； （2）把，分别看成一个整体，设，，即可解题； （3）设，，即可解题． 【解析】（1）相加得，即， 代入得， 故此方程组的解为； （2）由已知得， 解得，即， 解得； （3）设，， 得， 解得，即， 解得． 23．（2024春•崆峒区期末）阅读与思考： 【阅读材料】： 把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程” 中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程” 化为，其“完美值”为． 【任务】： （1）求“雅系二元一次方程” 的“完美值”； （2）是“雅系二元一次方程的“完美值”，求的值； （3）是否存在，使得“雅系二元一次方程与“雅系二元一次方程” 是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据定义，得到，解方程即可； （2）根据定义，得到，再把代入，解方程即可； （3）根据定义，得到，假设存在，则，方程无解，进而可判断结果． 【解析】（1）解：根据定义，得， 解得， “雅系二元一次方程” 的“完美值”为8； （2）根据定义，得到， 是“雅系二元一次方程” 的“完美值”， ， 解得； （3）不存在，理由如下： 根据定义，得， 解得， 假设存在，使得“雅系二元一次方程” 与“雅系二元一次方程” 是常数）的“完美值”相同， 则，无解， 不存在，使得“雅系二元一次方程” 与“雅系二元一次方程” 是常数）的“完美值”相同． 24．（2024春•廊坊月考）【问题呈现】为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任委派学习委员小明为获奖同学每人购买一件奖品．小明到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买4本笔记本和2支钢笔，需要86元；如果买3本笔记本和1支钢笔，需要57元．求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． 【解法展示】设每本笔记本元，每支钢笔元． 根据题意，得（Ⅰ） ②，得．③ ③①，得， 解得． 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为． 答：每本笔记本14元，每支钢笔15元． 【反思改进】 （1）解二元一次方程组（Ⅰ）时，如果先化简方程①，再用加减消元法求解也很方便．请同学们按照这种思路，写出解方程组（Ⅰ）的过程． （2）把题目中的数量关系列表表示如下： 笔记本本 钢笔支 总价元 第一种情况 4 2 86 第二种情况 3 1 57 增加量 请根据表格的提示，列出比二元一次方程组（Ⅰ）更简单的方程组解答此题，并写出完整的解题过程． 【分析】（1）先化简方程①，再用加减消元法求解即可； （2）根据增加量，可得，再列方程组解答即可． 【解析】（1）设每本笔记本元，每支钢笔元， 根据题意，得， 方程组化简为， ②①，得， 把代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为， 答：每本笔记本14元，每支钢笔15元； （2）设每本笔记本元，每支钢笔元， 根据增加量，可得， 列方程组为， ①②，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为， 答：每本笔记本14元，每支钢笔15元． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 二元一次方程组单元测试培优卷 一、选择题（共10小题） 1．（2024春•沙坪坝区期中）下列方程是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•观山湖区期末）若是关于和的二元一次方程的解，则的值是　　 A． B．2 C． D．3 3．（2023秋•万安县期末）已知二元一次方程组，则等于　　 A．2 B．3 C． D．5 4．（2023秋•成安县期末）已知二元一次方程组，把（2）代入（1），整理，得　　 A． B． C． D． 5．（2024春•北湖区校级期中）解以下两个方程组：①②较为简便方法的是　　 A．①②均用代入法 B．①②均用加减法 C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法 6．（2024春•莲都区期末）用加减法解方程组时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形．以下四种变形中正确的是　　 ①；②；③；④． A．②③ B．②④ C．①③ D．①② 7．（2024春•儋州期末）方程组 的解为，则被遮盖的前后两个数分别为　　 A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、4 8．（2024秋•海淀区校级期末）已知是二元一次方程2x﹣y＝0的三个解，，，是二元一次方程x+2y＝5的三个解，则二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 9．（2024秋•太原期末）某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了，总支出比去年减少了，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的，表示的未知量分别为　　 A．今年的总收入为万元，总支出为万元 B．今年的总支出为万元，总收入为万元 C．去年的总收入为万元，总支出为万元 D．去年的总支出为万元，总收入为万元 10．（2024春•九龙坡区期末）已知关于，的二元一次方程组的解为，且，则的值为　　 A．1 B． C．0 D．2024 二、填空题（共6小题） 11．（2024秋•沙坪坝区校级期末）若关于，的方程是二元一次方程，则的值为　　． 12．（2024春•丰城市校级月考）将三元一次方程组消去未知数，得到的二元一次方程组为 　　． 13．（2024春•娄星区校级期中）已知，则　　． 14．（2024春•怀柔区期末）下面是小明同学解方程组过程的框图表示，请你帮他补充完整： 其中，①为 　　，②为 　　，③为 　　． 15．（2024•谷城县一模）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为　　． 16．（2024春•西湖区校级期中）已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 　　． ①当这个方程组的解、的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． 三、解答题（共8小题） 17．（2024春•玄武区校级月考）解方程组： （1）用代入消元法； （2）用加减消元法； （3）； （4）． 18．（2024春•舒兰市校级期末）已知是关于，的二元一次方程的一组解． （1）求的值； （2）请用含有的代数式表示． 19．（2024春•聊城期中）黄玉骑自行车去香山，她先以8千米时的速度走平路，而后又以4千米时的速度上坡到达香山，共用了1.5小时，返回时，先以12千米时的速度下坡，而后以9千米时的速度经过平路，回到原出发点，共用去55分钟，求从出发点到香山的路程是多少千米？ 20．（2024春•潮南区期末）已知关于，的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的，得到的方程组的解为，乙由于看错了，得到方程组的解为． （1）求，的值； （2）若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 21．（2024春•平湖市期末）已知关于，的方程组，其中，为整数． （1）若方程组有无穷多组解，求实数与的值； （2）当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 22．（2024春•衡山县月考）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： （1）解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 　　； （2）如何解方程组呢，我们可以把，分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解； （3）若关于，的方程组，则方程组的解为 　　． 23．（2024春•崆峒区期末）阅读与思考： 【阅读材料】： 把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程” 中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程” 化为，其“完美值”为． 【任务】： （1）求“雅系二元一次方程” 的“完美值”； （2）是“雅系二元一次方程的“完美值”，求的值； （3）是否存在，使得“雅系二元一次方程与“雅系二元一次方程” 是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 24．（2024春•廊坊月考）【问题呈现】为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任委派学习委员小明为获奖同学每人购买一件奖品．小明到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买4本笔记本和2支钢笔，需要86元；如果买3本笔记本和1支钢笔，需要57元．求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． 【解法展示】设每本笔记本元，每支钢笔元． 根据题意，得（Ⅰ） ②，得．③ ③①，得， 解得． 把代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为． 答：每本笔记本14元，每支钢笔15元． 【反思改进】 （1）解二元一次方程组（Ⅰ）时，如果先化简方程①，再用加减消元法求解也很方便．请同学们按照这种思路，写出解方程组（Ⅰ）的过程． （2）把题目中的数量关系列表表示如下： 笔记本本 钢笔支 总价元 第一种情况 4 2 86 第二种情况 3 1 57 增加量 请根据表格的提示，列出比二元一次方程组（Ⅰ）更简单的方程组解答此题，并写出完整的解题过程． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$