精品解析： 河南省三门峡市渑池县2024-2025学年八年级上学期期末学情检测数学试卷

2024—2025学年上学期期末学情检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 无论x取什么数，总有意义的分式是（ ） A. B. C. D. 4. 把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 不变 C. 扩大为原来的6倍 D. 扩大为原来的3倍 5. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（ ） A. 36° B. 30° C. 45° D. 40° 6. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 7. 如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 8. 如图，在中，于D，于E，交于F，若，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点D在△ABC的边BC上，且，则点D在线段（　　） A. 的垂直平分线上 B. 的垂直平分线上 C. 的垂直平分线上 D. 不能确定 10. 如图，点C是线段上的一点，以， 为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 12 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，将用科学记数法表示为______． 12. 某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是_______． 账号：shu xue le yuan 密码 13. 如图，已知的面积为12，平分，且 于点P，则的面积是____． 14. 若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为__． 15. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 把下列各式因式分解： （1） （2）． 17. 解下列方程． （1） （2） 18. 先化简，再求值：，从中选出合适的x的整数值代入求值． 19. 如图，在四边形中， 且 ，连接． （1）尺规作图：作的平分线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的基础上，若，请探究与有何数量关系，并说明理由． 20. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点， ． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 21. 【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】（1）①若，，则的值为 ； ②若，则 ； 【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若 ，，求一块三角板的面积． 22. 某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 （1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； （2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多元． ①请分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 23. 已知中，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，连接． （1）发现问题 如图1，当点D在边上时． ①请写出和之间的数量关系为______，位置关系为______； ②求证： （2）尝试探究 如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，请写出、、之间存在的数量关系并说明理由． （3）拓展延伸 如图3，当点D在的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上学期期末学情检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选C． 2. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方分别计算后即可判断． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 无论x取什么数，总有意义的分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，即分母不能为0，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵无论x取什么数，总有意义 ∴分母一定不为0 A、的分母为，当 时，分母为0，故该选项是错误的； B、的分母为，当 时，分母为0，故该选项是错误的； C、的分母为，无论 取任意实数，分母都不为0，故该选项是正确的； D、的分母为，当时，分母为0，故该选项是错误的； 故选：C 4. 把分式中的 ， 的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 不变 C. 扩大为原来的6倍 D. 扩大为原来的3倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化．熟练掌握利用分式的基本性质判断分式值的变化是解题的关键． 根据判断作答即可． 【详解】解：分式中的 ， 的值都扩大为原来的3倍得，， ∴分式的值不变， 故选：B． 5. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（ ） A. 36° B. 30° C. 45° D. 40° 【答案】A 【解析】 【详解】分析:根据多边形内角和公式和正五边形每个内角都相等可得∠ABC=108°,再根据等腰三角形和三角形内角和公式可得∠BAC=36°. 详解:因为正五边形 ABCDE, 所以∠ABC=108°, 因为三角形ABC是等腰三角形, 所以∠BAC=36°, 故选A. 点睛:本题主要考查正五边形的性质和等腰三角形的性质,解决本题的关键是要熟练运用正五边形和等腰三角形的性质. 6. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 7. 如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC的面积． 【详解】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图， ∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OD＝3， 同理可得OF＝OD＝3， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC ＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC ＝（AB+BC+AC）， ∵△ABC的周长是18， ∴S△ABC＝×18＝27（cm2）． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 8. 如图，在 中，于D，于E，交于F，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，根据垂直的定义得到，得到，由“”可证，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴ ， ∴， 故选：A． 9. 如图，点D在△ABC的边BC上，且，则点D在线段（　　） A. 的垂直平分线上 B. 的垂直平分线上 C. 的垂直平分线上 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件BC=BD+AD及图形知BC=BD+CD知AD=CD，根据线段垂直平分线的性质可判断出答案． 【详解】解：∵BC=BD+AD=BD+CD， ∴AD=CD， ∴点D在AC的垂直平分线上． 故选：B． 【点睛】此题主要考查线段垂直平分线的性质的逆定理：和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．得到AD=CD是正确解答本题的关键． 10. 如图，点C是线段上的一点，以， 为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在图形面积中的应用．设正方形的边长为 ，正方形 的边长为，可得， ，利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为 ，正方形 的边长为， 则：， ， 由 得：， 解得：， 图中阴影部分面积为：， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；据此即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是_______． 账号：shu xue le yuan 密码 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式是解题的关键；由题意可先进行单项式除以单项式的运算，然后问题可求解． 【详解】解：， ∴他输入的密码是2024； 故答案为：2024． 13. 如图，已知 的面积为12，平分，且 于点P，则的面积是____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积．延长 交于点E，先证明，得，再根据中线的性质即可得出结果． 【详解】解：延长 交于点E， ∵平分， ∴， ∵ ， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：6． 14. 若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为__． 【答案】m＞-10且m≠-6 【解析】 【分析】先解出这个分式方程的解，然后去掉增根以及解为正数列出不等式，从而得到的取值范围． 【详解】解：＝+5， 3x＝-m+5（x-2）， 3x＝-m+5x-10， 3x-5x＝-m-10， -2x＝-m-10， x＝， ∵x-2≠0， ∴x≠2， ∴≠2， ∴m≠-6． ∵方程的解为正数， ∴＞0， ∴m＞-10． ∴m的取值范围为：m＞-10且m≠-6． 故答案为：m＞-10且m≠-6． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式的解法，考核学生的计算能力，解题时注意解分式方程必须检验． 15. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，垂线段最短： 在边上截取，连接，，过点作 交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出 的长即可． 【详解】解：如图，在边上截取，连接，，过点作 交于点， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵， ， ∴，即：， ∴， 的最小值为； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 把下列各式因式分解： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. 解下列方程． （1） （2） 【答案】（1）原方程无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以 化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【小问1详解】 解：， 两边都乘以 ，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根，即原方程无解； 【小问2详解】 解：， 两边都乘以，得 ， 解得 ， 检验：当 时，， ∴ 是原方程的解． 18. 先化简，再求值：，从中选出合适的x的整数值代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式化简求值的步骤和方法进行即可 【详解】解：原式= 根据分式有意义的条件可知， ∴当x取范围内的整数时，只有x=0． ∴当x=0时，原式= 【点睛】本题考查了分式的化简求值的知识点，熟知分式化简求值的步骤和方法是解题的基础，掌握分式有意义的条件正确取x的值是解题的关键． 19. 如图，在四边形中， 且 ，连接． （1）尺规作图：作的平分线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的基础上，若，请探究与有何数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 如图所示，射线即为所求作： （2） ，理由如下： ∵，平分， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ． ∴ ， 在 和中， ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图步骤画图即可； （2）先根据等腰三角形的性质得到 ， ，再利用垂直定义和等角的余角相等证得 ，然后证明 得到 ，，进而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查基本尺规作图-作角平分线、等腰三角形“三线合一”的性质、全等三角形的性质等知识，熟练掌握基本尺规作图步骤，掌握等腰三角形的性质，会利用全等三角形的性质判断线段数量关系是解答的关键． 20. 如图，在 中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点， ． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形 的内角和为 列出方程即可求出x的值． 【小问1详解】 解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵ ， ∴， ∵D是 的中点， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质， ， ∵， ∴， 在 中，， 解得，， ∴． 21. 【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】（1）①若，，则的值为 ； ②若，则 ； 【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中， ，在一直线上，连接，，若 ，，求一块三角板的面积． 【答案】（1）①20；②13；（2）一块三角板的面积是22． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握并灵活运用完全平方公式是本题的关键． （1）①利用计算即可； ②令 ，，从而得到 、的和与积，再利用计算即可； （2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积． 【详解】解：（1）①由题意可知，， ，， ， 故答案为：20； ②令 ，， ， ， ， 故答案为：13； （2）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为， ，，即， ， ， ， 一块三角板的面积是22． 22. 某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 （1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； （2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多元． ①请分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】（1）燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元 （2）①燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低 【解析】 【分析】（1）根据表中的信息，可以表示出燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解决问题；②设每年行驶里程为x千米时，由年费用＝年行驶费用+年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：燃油车每千米行驶费用为（元）， 纯电新能源车每千米行驶费用为（元）， 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元； 【小问2详解】 解：①由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴ （元），（元）， 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为 元； ②设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得：， 解得：， 答：当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低． 【点睛】本题考查分式方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）正确列出代数式；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 23. 已知中，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，连接． （1）发现问题 如图1，当点D在边上时． ①请写出和之间的数量关系为______，位置关系为______； ②求证： （2）尝试探究 如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，请写出、、之间存在的数量关系并说明理由． （3）拓展延伸 如图3，当点D在的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长． 【答案】（1）①，；②证明见解析 （2），理由见解析 （3）8 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）①先证出 ，再证出 ，根据全等三角形的性质可得，，根据角的和差可得，则，由此即可得； ②根据和即可得证； （2）先证出 ，再证出 ，根据全等三角形的性质可得，然后根据 即可得出结论； （3）先证出 ，再证出 ，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【小问1详解】 解：①∵在中，，在中，， ∴， ∴ ，即 ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，． ②由（1）①已证：， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵在中，，在中，， ∴， ∴，即 ， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵ ， ∴． 【小问3详解】 解：∵在中，，在中，， ∴， ∴，即 ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $