第3章 排列、组合与二项式定理 章末检测试卷 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

章末检测试卷一(第三章) (时间：120分钟　满分：150分) 第三章　排列、组合与二项式定理 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (x－y)n的二项展开式中第m项为 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为 由题意知本题是一个分步计数问题，每名学生报名都有3种选择，根据分步乘法计数原理知，4名学生共有34种选择；每项冠军都有4种可能结果，根据分步乘法计数原理知，3项冠军共有43种可能结果. 17 18 19 20 21 22 √ 4.在某市安排的春季义务植树活动中，某中学派出了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个植树点，每个植树点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者的派遣方法种数为 A.20 　　　 B.14　　　 C.12 　　　 D.6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴不含x4项的系数和为1－1＝0. 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 　　　 B.11 　　　 C.12　　　 D.15 √ 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.某学校要求错峰有序吃饭，高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有 A.120种 　　　 B.156种 　　　 C.192种 　　　 D.240种 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图为我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图.现在提供5种颜色给5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为 A.120 　　　 B.26　　　 C.340 　　　 D.420 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示， 设5个区域依次为A，B，C，D，E，分4步进行分析： ①区域A有5种颜色可选； ②区域B与区域A相邻，有4种颜色可选； ③区域C与区域A，B相邻，有3种颜色可选； ④对于区域D，E，若D与B颜色相同，则区域E有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，则区域D有2种颜色可选，区域E有2种颜色可选，故区域D，E有3＋2×2＝7(种)选择. 综上可知，不同的涂色方案共有5×4×3×7＝420(种). 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.下列问题属于排列问题的是 A.从10个人中选2人分别去种树和扫地 B.从10个人中选2人去扫地 C.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D.从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算 17 18 19 20 21 22 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 根据题意，依次分析选项： 对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题； 对于B，从10个人中选2人去扫地，与顺序无关，是组合问题； 对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，是组合问题； 对于D，从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小赵、小李、小罗、小王、小张为5名志愿者，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有 A.若5人每人可任选一项工作，则有54种不同的方案 B.若每项工作至少安排1人，则有240种不同的方案 C.若礼仪工作必须安排2人，其余工作安排1人，则有60种不同的方案 D.已知5人身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，后排要 　求身高最高的站中间，则有40种不同的方案 17 18 19 20 21 22 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 对于A，若5人每人可任选一项工作，则每人都有4种选法，则5人共有4×4×4×4×4＝45(种)选法，因此A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，下列命题中正确的是 A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 023 17 18 19 20 21 22 √ √ √ 当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1， 当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＋a2 022－a2 023＝32 023， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.定义有n行的“杨辉三角”为n阶“杨辉三角”，如图就是一个8阶“杨辉三角”. 给出的下列命题中正确的是 17 18 19 20 21 22 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第i行各个数是(a＋b)i的展开式的二项式系数，则数列{aij}的通项公式为aij＝ 　，故A错误； 各行的所有数的和是各二项式系数和，第k行各个数的和是2k，故B正确； 17 18 19 20 21 22 n阶“杨辉三角”的所有数的和是1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 由题意可知2n＋6＝20－(n＋2)，解得n＝4. 17 18 19 20 21 22 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有______种.(用数字作答) 17 18 19 20 21 22 54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知m，n∈N＋，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中，含x项的系数为19，则当含x2项的系数最小时，展开式中含x7项的系数为________. 17 18 19 20 21 22 156 ∵m，n∈N＋，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中，含x项的系数为19， ∴m＋n＝19. ∴当n＝10或9时，含x2项的系数最小，为81. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16.某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 264 四、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.(10分)已知A＝{x|1<log2x<3，x∈N＋}，B＝{x||x－6|<3，x∈N＋}.试问： (1)从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}. A中元素作为横坐标，B中元素作为纵坐标，有5×5＝25(个)；B中元素作为横坐标，A中元素作为纵坐标，有5×5＝25(个).又两集合中有4个相同元素，故有4×4＝16(个)重复了两次，所以共有25＋25－16＝34(个)不同的点. 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)从A∪B中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解得n＝7. ∴展开式中二项式系数最大的项是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19.(12分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加研讨会. (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙2人至少有1人参加，有多少种选法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　(直接法)至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类： 1内4外；2内3外；3内2外；4内1外. 17 18 19 20 21 22 20.(12分)设x10－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，其中Q(x)是关于x的多项式，a，b∈R. (1)求a，b的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知等式，得[(x－1)＋1]10－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b， 17 18 19 20 21 22 ∴10x－12＝ax＋b， ∴a＝10，b＝－12. (2)若ax＋b＝28，求x10－3除以81的余数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵ax＋b＝28，即10x－12＝28，解得x＝4， ∴x10－3 ＝410－3 ＝(3＋1)10－3 17 18 19 20 21 22 ∴所求的余数为28. 21.(12分)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数. (1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将组成的三位数中所有偶数分为两类， 17 18 19 20 21 22 ②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(个)符合题意的三位数. 故共有12＋18＝30(个)符合题意的三位数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将这些“凹数”分为三类： 17 18 19 20 21 22 (2)在组成的三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； 故共有12＋6＋2＝20(个)符合题意的“凹数”. (3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将符合题意的五位数分为三类： 17 18 19 20 21 22 故共有12＋8＋8＝28(个)符合题意的五位数. (1)求n的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8. 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设常数项为第k＋1项，则 17 18 19 20 21 22 令8－2k＝0，即k＝4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (3)若(x＋m)n的展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知m>0，设第k＋1项系数最大， 17 18 19 20 21 22 由于只有第6项和第7项系数最大， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以m只能等于2. 17 18 19 20 21 22 A.C B.C C.C D.(－1)m－1C Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1 ＝C(－1)m－1ym－1xn－m＋1， 所以系数为C(－1)m－1. 由题意得m(m－1)(m－2)(m－3)＝18·，得m－3＝3，解得m＝6. 2.若A＝18C，则m等于 A.9 B.8 C.7 D.6 A.(34,34) B.(43,34) C.(34,43) D.(A，A) 依题意甲乙丙丁四人在同一组，有A＝2(种)； (甲乙)，(丙丁)不在同一组，先从其余4人选2人与甲乙作为一组，另外2人与丙丁作为一组，再安排到两个植树点，则有CA＝12(种)，综上可得，一共有2＋12＝14(种)安排方法. (2－)8的展开式的通项公式为Tk＋1＝C28－k(－)k＝(－1)k28－kC 5.(2－)8的展开式中不含x4项的系数的和为 A.－1 B.0 C.1 D.2 ∴x4项的系数为(－1)820C＝1， 又(2－)8的展开式的系数和为(2－)8＝1. 分类讨论：有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的数字相同，可得N＝C＋C＋1＝11. 丙丁捆绑在一起看作一个班，变成5个班进行排列，然后在后面4个位置中选1个排甲，这样可得排法为AAA＝192(种). 对于B，分两步分析：先将5人分为4组，将分好的4组安排四项不同的工作，有CA＝240(种)分配方法，因此B正确； 对于C，分两步分析：在5人中任选2人，安排礼仪工作，有C＝10(种)选法，再将其余3人安排余下的三项工作，有A＝6(种)情况，则由分步乘法计数原理可得，共有10×6＝60(种)不同的方案，因此C正确； 对于D，分两步分析：在5人中任选2人，安排在第一排有A＝20(种)排法，其余3人安排在第二排，要求身高最高的站中间，有2种排法，则有20×2＝40(种)不同的方案，因此D正确. B.展开式中所有奇次项系数的和为 C.展开式中所有偶次项系数的和为 D.＋＋＋…＋＝－1 由二项展开式的通项知，Tk＋1＝C(－2x)k＝(－2)kCxk， 则a1＝(－2)·C，a2＝(－2)2·C，…，a2 023＝(－2)2 023·C， 由二项式知C＋C＋…＋C＝(1＋1)2 023＝22 023，故A正确； 两式相减，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝，故B错误； 两式相加，可得a0＋a2＋a4＋…＋a2 022＝，故C正确； 所以＋＋＋…＋＝－C＋C－C＋…－C＋C－C＝(1－1)2 023－C＝－1，故D正确. A.记第i(i∈N＋)行中从左到右的第j(j∈N＋)个数为aij，则数列{aij}的通项 公式为aij＝C B.第k行各个数的和是2k C.n阶“杨辉三角”中共有个数 D.n阶“杨辉三角”的所有数的和是2n－1 第k行共有(k＋1)个数，从而n阶“杨辉三角”中共有1＋2＋…＋n＝个数，故C正确； C 13.若C＝C(n∈N＋)，则n＝________. 当甲、乙带不同兴趣小组时有AA＝36(种)，当甲、乙带同一个兴趣小组时，有CA＝18(种)，根据分类加法计数原理可得共有36＋18＝54(种). ∴f(x)＝(1＋x)9＋(1＋x)10.展开式中含x7项的系数为C＋C＝156. 则当m＝1或n＝1时，含x2项的系数为C＝153； 当m≠1，且n≠1时，含x2项的系数为C＋C＝ ＝＝n2－19n＋171＝2＋. 若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为CCA＝192；若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为CAA＝72，因此不同的演出顺序的种数为192＋72＝264.  A∪B＝{3,4,5,6,7,8}，则这样的三位数共有C＝20(个). 18.(12分)已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的，试求展开式中二项式系数最大的项. ∴ T4＝C(2)3＝280 或T5＝C(2)4＝560x2. 二项展开式的通项为Tk＋1＝C2k 由题意知展开式中第k＋1项系数是第k项系数的2倍，是第k＋2项系数的， 只需从其他18人中选3人即可，共有C＝816(种)选法. 只需从其他18人中选5人即可，共有C＝8 568(种)选法. 分两类：甲、乙中有1人参加；甲、乙都参加.则共有CC＋C＝6 936(种)选法. 所以共有CC＋CC＋CC＋CC＝14 656(种)选法. 方法二　(间接法)从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求，即共有C－(C＋C)＝14 656(种)选法. ∴C(x－1)10＋C(x－1)9＋…＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b， ∴[C(x－1)8＋C(x－1)7＋…＋C](x－1)2＋10x－12＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b， ＝C×310＋C×39＋…＋C×3＋C－3 ＝34×(C×36＋C×35＋…＋C)＋40×34＋5×34＋28 ＝81×(C×36＋C×35＋…＋C＋45)＋28， ①若个位数为0，则共有A＝12(个)符合题意的三位数； ①若十位上的数字为0，则共有A＝12(个)符合题意的“凹数”； ②若十位上的数字为1，则共有A＝6(个)符合题意的“凹数”； ③若十位上的数字为2，则共有A＝2(个)符合题意的“凹数”. ①若两个奇数数字在万位和百位上，则共有AA＝12(个)符合题意的五位数； ②若两个奇数数字在千位和十位上，则共有AAA＝8(个)符合题意的五位数； ③若两个奇数数字在百位和个位上，则共有AAA＝8(个)符合题意的五位数. 22.(12分)已知n的展开式的二项式系数之和为256. Tk＋1＝Cx8－kk＝Cmkx8－2k， (2)若展开式中常数项为，求m的值； 则Cm4＝，解得m＝±. 则 化简可得≤k≤. 所以即 $$