第3章 排列、组合与二项式定理 章末复习课 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

章末复习课 第三章　排列、组合与二项式定理 知识网络 内容索引 一、两个计数原理 二、排列与组合的综合应用 三、二项式定理及其应用 两个计数原理 一 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明导致增(漏)解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性. 2.掌握两个计数原理，提升逻辑推理和数学运算素养. 例1　(1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为 A.484 B.472 C.252 D.232 √ 6 (2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？ 7 方法一　设A，B代表2位老师傅. 所以共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)选派方法. 所以共有75＋100＋10＝185(种)选派方法. 所以共有35＋120＋30＝185(种)选派方法. 应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类. (4)选择计数原理进行计算. 反思感悟 10 跟踪训练1　(1)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中，若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有______个.(用数字作答) 60 11 1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类. 所以满足条件的三位数共有 12 (2)由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有______种. 30 13 排列与组合的综合应用 二 1.排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要树立先选后排，特殊元素(特殊位置)优先的原则. 2.明确排列和组合的运算，重点提升数学建模及数学运算的素养. 例2　在高三(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目. (1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ 根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序. 16 (2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ ×□×□×□×□×□×□× 根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604 800(种)安排顺序. 17 (3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？ 解决排列、组合综合问题要注意以下几点 (1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题. (2)对于含有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，再考虑是分类还是分步，分类时要不重不漏，分步时要步步相接. (3)对于含有“至多”“至少”的问题，常采用间接法，此时要考虑全面，排除干净. 反思感悟 19 跟踪训练2　6个女生(其中有1个领唱)和2个男生分成两排表演. (1)若每排4人，共有多少种不同的排法？ 要完成这件事分三步. 20 (2)领唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？ 21 二项式定理及其应用 三 1.二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于二项式相应展开式项的系数求解. 2.二项式原理所体现的是一种数学运算素养. 角度1　二项展开式的“赋值问题” 例3　(1)若(2x＋ )4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为 A.－1 　　　 B.0 　　　C.1 　　　 D.2 √ 24 两式相乘，得 所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(－4＋3)4＝1. (2)若(3x2－2x＋1)5＝a10x10＋a9x9＋a8x8＋…＋a1x＋a0(x∈C)，求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2. 令x＝1，得a0＋a1＋…＋a10＝25； 令x＝－1，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝65. 两式相乘，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝25×65＝125. 26 “赋值法”在二项展开式中的应用 (1)观察：先观察二项展开式左右两边式子的结构特征. (2)赋值：结合待求和上述特征，对变量x赋值，常见的赋值有x＝－1，x＝0，x＝1等等，具体视情况而定. (3)解方程：赋值后结合待求建立方程(组)，求解便可. 反思感悟 27 跟踪训练3　若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________. 5 令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5， 令x＝3，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5. 28 角度2　二项展开式的特定项问题 (1)求展开式中的所有有理项； 29 解得n＝10(负值舍去)， 于是有理项为T1＝x5和T7＝13 440. (2)求展开式中系数的绝对值最大的项； 31 设第k＋1项系数的绝对值最大，则 又因为k∈N，所以k＝7， 当k＝7时，T8＝－15 360　 ， 又因为当k＝0时，T1＝x5， 当k＝10时，T11＝(－2)10 ＝1 024 ， 所以系数的绝对值最大的项为T8＝－15 360 . 二项式特定项的求解策略 (1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素. (2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项. (3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数. (4)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质. 反思感悟 (1)求展开式的所有有理项(指数为整数)； 由题意得，2n＝1 024，解得n＝10， ∴展开式的通项为 (2)求(1－x)3＋(1－x)4＋…＋(1－x)n的展开式中x2项的系数. 根据题意，共有C种取法，其中每一种卡片各取3张，有4C种取法，取2张绿色卡片有C·C种取法，故所求的取法共有C－4C－C·C＝472(种).  A，B有一人在内且当钳工的选派方法有CCC＝20(种)，  A，B有一人在内且当车工的选派方法有CCC＝40(种)，  A，B都不在内的选派方法有CC＝5(种)，  A，B都在内且当钳工的选派方法有CCC＝10(种)，  A，B都在内且当车工的选派方法有CCC＝30(种)，  A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有ACC＝80(种)， 4名女车工有3名被选上的方法有CCC＋CCA＝120(种)， 4名女车工有2名被选上的方法有CCC＝30(种)， 方法二　5名男钳工有4名被选上的方法有CC＋CCC＋CCC＝75(种)， 5名男钳工有3名被选上的方法有CCC＋CCA＝100(种)， 5名男钳工有2名被选上的方法有CCC＝10(种)， 方法三　4名女车工都被选上的方法有CC＋CCC＋CCC＝35(种)， 分三类：①没有数字1和3时，满足条件的三位数有A个； ②只有1和3中的一个时，满足条件的三位数有2A个； ③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空中的1个即可，满足条件的三位数有C·C个. A＋2A＋C·C＝60(个). 从4人中选出两个人作为一个元素有C种方案，同其他两个元素在三个位置上排列有CA＝36(种)方案，其中有不符合条件的，即学生甲、乙同时参加同一竞赛，共有A＝6(种)方案，所以不同的参赛方案共有36－6＝30(种). 第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个舞蹈节目排序，有A＝24(种)方法. 第一步将6个演唱节目排成一列(如图中的“□”)，一共有A＝720(种)方法. 第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A＝840(种)方法. 若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的顺序有＝A＝132(种). 第一步，从8人中选4人站在前排，另4人站在后排，共有CC种不同的排法； 第二步，前排4人进行全排列，有A种不同的排法； 第三步，后排4人进行全排列，有A种不同的排法. 由分步乘法计数原理知，有CCAA＝40 320(种)不同的排法. 思路与(1)相同，有CAA＝5 760(种)不同的排法. 在(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中， 令x＝1，得(2＋)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (2＋)4·(－2＋)4＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4). 令x＝－1，得(－2＋)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4. 例4　已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3. 当5－为整数时，k可取0,6， 由C(－2)4∶C(－2)2＝56∶3， 通项为Tk＋1＝C()10－kk ＝(－2)kC 解得≤k≤， ＝＝. 原式＝10＋9C＋81C＋…＋910－1C (3)求n＋9C＋81C＋…＋9n－1C的值. ＝ ＝ 令5－∈Z，得k＝0,6. ∴有理项为T1＝Cx5＝x5，T7＝Cx4＝210x4. Tk＋1＝C()10－k(－)k＝(－1)kC 跟踪训练4　已知(－)n的展开式中所有项的二项式系数之和为1 024. ＝(－1)kC (k＝0,1，…，10)， ∵C＋C＝C， ∴C＝C－C， ∴x2项的系数为C＋C＋…＋C＝(C－C)＋(C－C)＋…＋(C－C)＝C－C＝164. $$